Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Tích phân tính thể tích thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn
cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 y  f ( x)

 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường  y  g ( x)
 x  a; x  b  a


 Chú ý : Nếu H giới hạn bởi các đường được viết dưới dạng:
b

S

x

h
(
y
)




Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

2 ln x

du 
dx
2


u  ln x

x
2
2
2
2

Khi đó VOx    x ln xdx   I (*) . Tính I   x ln xdx Đặt 
3
2
dv  x dx v  x
1
1

3


3
e

e

e

e

x3 ln x
1
e3 x 3
2e3  1
Suy ra J 
  x 2 dx  

3 1 31
3 9 1
9
e

Thay (2*) vào (*) ta được: VOx 

  5e3  2 
27

. Khi đó I 

e3 2 2e3  1 5e3  2

2

VOx    y 2 dx    (2 x  x 2 )2 dx    (4 x 2  4 x3  x 4 )dx
0

2

 4 x3
x5 
16
 
 x4   
5  0 15
 3
2) Phương trình tung độ giao điểm của ( P) và trục hoành là: y  0
Ta có ( P) : y  2 x  x2  x2  2 x  y  0

 x  1  1  y ( P1 )
 '  1  y  0  y  1 Suy ra: 
 x  1  1  y ( P2 )
Phương trình hoành độ giao điểm của ( P1 ) và ( P2 ) là : y  1 . Do đó thể tích hình phẳng ( H ) quay
1



quanh trục Oy là: VOy     1  1  y

0

1

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

Giải

Giáo viên
Nguồn

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

 y  8x
1) +) Ta có y 2  8 x  
và y  8 x và y   8x đối xứng nhau qua trục Ox
 y   8 x
Do đó thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox cũng chính là thể tích của khối





tròn xoay khi quay hình phẳng D '  y  8x ; y  0; x  2 quay quanh trục Ox
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của y  8 x và y  0 (trục Ox ) là:
2

8
y2
 2  y 2  16  y  4
8

4
2
4

 y2  


y2 
y3 
94
2
+) Khi đó VOy     2    dy     4  dy    4 y 
 
64 
192  4
3
 8  

4 
4 

Nhận xét:
Qua 2 ý của ví dụ trên ta nhận thấy, khi đi tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình
phẳng D  D1  D2 :
4


Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.