Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
a
b
Trong mp cho miền
D giới hạn bởi
1 2
( ) ( )
a x b
f x y f x
≤ ≤


≤ ≤

y=f
1
(x)
y=f
2
(x)
Từ định nghĩa tp
xác định ta suy ra
( )
2 1
( ) ( ) ( )
b
a
S D f x f x dx= −
∫
Hoặc chưa xác định được đường nằm trên, dưới thì
2 1

2
2
2
0
( ) 2
2
x
S D x dx
 
= −
 ÷
∫
 ÷
 
4
3
=
Giao điểm
2
2
2
x
x =
4
4
2 8
4
x
x x x⇔ = ⇔ =
0, 2x x⇔ = =

22
2 8x xy = −=
2, 4x x⇔ = = −
Ta loại nghiệm x=-4 vì x>0
Từ hình vẽ suy ra
2 8
2
0 2
( ) 2 2 2 8S D xdx x dx= + −
∫ ∫
Hoặc tính theo y
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Cho vật thể V giới hạn bởi 1 mặt cong kín và bị chặn
giữa 2 mặt phẳng x=a, x=b
x=x
i+1
Chia V thành n phần bởi
các mặt phẳng x=x
i
:
a=x
0
<x
1
<…<x
n
=b.
Trong mỗi đoạn [x
i
,x

0
lim ( ).
i
n
i i
x
i
S M x
−
∆ →
=
∆
∑
Theo định nghĩa tích phân, ta có công thức tính thể
tích vật thể:
( )
b
a
V S x dx
=
∫
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Trường hợp đặc biệt: V là vật thể tạo ra khi quay hình
thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Ox thì:
2
( ) ( )S x f x
π
= →
2
( )

 
 
272
25
π
=
Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Quay hình thang cong y=f(x), a<x<b quanh trục Oy:
a bx x+Δx
y
y+Δy
A E
D
C
B
Ta đặt V=V[a,b] là thể tích
cần tính và V(x)=V[a,x]
Suy ra: ΔV = V(x+Δx)-V(x)
=V[a, x+Δx]-V[a,x]
= V[x,x+Δx]
Gọi V
1
, V
2
, V
3
lần lượt là
thể tích vật thể tạo ra khi
quay hình chữ nhật AEDB,
F

π π π
= + ∆ ∆ − ∆ = ∆ + ∆ ∆
( )o x= ∆
Do hàm f(x) liên tục nên :
( ) ( )
0 0x y∆ → → ∆ →
Mà V
2
<V
3
nên V
2
=o(Δx). Suy ra:
2 2 ( )
b b
a a
b
y
a
V xf x dxdV xydx
π π
=⇒ = =
∫ ∫ ∫
( )
2
1 2
2 ( ) 2 ( )V V V x x x y o x xy x o x
π π
∆ = + = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ + ∆
2dV xy x

1 1
x x
e e
− −
− = +
2
2 0
x x
e e
− −
⇔ − − =
ln 2x
⇔ = −
( )
0
ln
2
2
( 1) ( )2 1
y
x x
x e eV dx
π
−
− −
+ − −=
∫
Lưu ý: Khi chưa xác định
dấu của hàm x.f(x), ta nên
viết |x.f(x)| trong công

2
2 2
2
( 4)
X
V X dX
π
−
= −
∫
Đặt X=x, Y=y-5 thì x=X, y=Y+5
Miền D giới hạn bởi : Y=0, Y=X
2
-4
512
15
π
=
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục
Ox sẽ tạo thành 1 mặt cong.
Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y
bằng cách tính x=x(y) từ pt y=f(x)
2
2 | | 2 | | 1
b b
a a
S y dl y y dx
π π
′

2
1 / 4, 2 2y x x= − − ≤ ≤
2
4
x
y
x
−
′
=
−
2
2
2
1
4
y
x
′
⇒ + =
−
2
2
2
2
4 2
2
2
4
x

( 4)
2 (12 ) 1
6 16
x
x x
S x dx
x
π
−
= − +
∫
12
1
( 4)(12 )
2
24
x x
dx
π
+ −
=
∫
1573
36
π
=
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
quanh trục Oy
2

1
1
0
lim
n
i i
n
i
L P P
−
+
→∞
=
=
∑
Đặt Δy=y
i+1
-y
i
thì :
2 2 2 2
1 1 1
( ) ( )
i i i i i i
P P x x y y x y
+ + +
= − + − = ∆ + ∆
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Theo định lý giá trị trung bình: tồn tại c trong đoạn
[x

∆ = ∆⇔
Thay vào đẳng thức tính L ở trên:
( )
1 1
2
1
0 0
lim lim 1 ( )
n n
i i
n n
i i
L P P x f c
− −
+
→∞ →∞
= =
′
= − = ∆ +
∑ ∑
Dựa vào định nghĩa tích phân xác định, ta được:
2
1 ( )
b
a
L f x dx
′
= +
∫
Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x

Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Ví dụ: Tính độ dài phần đường cong
nằm trong parabol y
2
=2x , với x≤1
2 2
8
( 1)
27
y x= −
2
8( 1) 35 3 129
2
27 8
x
x x
− ±
= ⇔ =
2 2(1 )
3 3
x
y
−
=
1
35 3 129
8
35
2
27