WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-


x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4cos x 4sinxdx
p
= - -
ò
.
Giải

6 2
0
6
I 2sin x 1 dx 2sinx 1 dx 2 3 2
6
p p
p
p
= - - + - = - -
ò ò
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện:
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0

thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +

Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln3 2 ln3 2
æ ö
÷
ç
= + - = + - = +
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
.
B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
WWW.ToanCapBa.Net

e e
e
1
1 1
S lnx dx lnxdx x ln x 1 1= = = - =
ò ò
.
Vậy
S 1=
(đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = =
và
Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ò ò

1 3
3 3
2 2
0 1

Phương pháp giải toán
WWW.ToanCapBa.Net
4
WWW.ToanCapBa.Net
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx-
ò
.
2.2. Trường hợp 2
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường
y f(x), y g(x)= =
là:
b
a
ò
S = f(x) - g(x) dx
.
Trong đó
, a b
là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình
f(x) g(x)=
( )
a b£ a < b £
.

Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -
ò ò

1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + - + - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
5
S

1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - - - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
1
S
2
=
(vdt).
Chỳ ý:
1) Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ phi v hỡnh, tuy nhiờn hu ht rt
khú xỏc nh ỳng min phng cn tớnh din tớch (cú th vỡ th m thi i hc khụng
ra).
2) Nu trong khong
( )
; a b
phng trỡnh
f(x) g(x)=
khụng cú nghim thỡ ta cú th

x x
2x 2x 8
4 4
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
S 8=
(vdt).
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4 x 3= - +
v trc honh.
Gii
Phng trỡnh honh giao im:
WWW.ToanCapBa.Net
6
WWW.ToanCapBa.Net
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = =
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3

2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + + - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
Vy
16
S
3
=
(vdt).
Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3= - +
v
y x 3= +

ù
- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5
2
x 4x 3- +
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dxị = - + - + - + -
ũ ũ ũ

1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + - =
ữ ữ ữ

ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù
ù
ộ
- = +
=
ớ ớ
ờ
=ù ù
ù ù
ợ
ờ
ù
- = - -
ờ
ù
ợ ở
( ) ( )
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
-
ị = - - + = - - +
ũ ũ

è ø è ø
.
Vậy
73
S
3
=
(đvdt).
Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x, y 0, y 2 x= = = -
.
Giải
Ta có:
2 2
y 2 x x 2 y , x 0= - Û = - ³
.
Phương trình tung độ giao điểm:
2
y 2 y y 1= - Û =
.
( )
1 1
2 2
0 0
S 2 y y dy 2 y y dyÞ = - - = - -
ò ò

( )
1

1
S R
8 4
p
= p =
.
II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
[ ]
y f(x) 0 x a;b= ³ " Î
,
y 0=
,
x a=
và
x b (a b)= <
quay quanh trục Ox là:
b
2
a
V f (x)dx= p
ò
.
Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
(C) : x y R+ =
quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là

è ø
.
WWW.ToanCapBa.Net
8
WWW.ToanCapBa.Net
Vy
3
4 R
V
3
p
=
(vtt).
2. Trng hp 2
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
x g(y) 0 y c;d= " ẻ
,
x 0=
,
y c=
v
y d (c d)= <
quay quanh trc Oy l:
d
2
c
V g (y)dy= p
ũ
.

a y a y
V a dy 2 a dy
b b
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ị = p - = p -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ũ ũ
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - =
ữ
ỗ

2
= x quay
quanh Ox.
Gii
Honh giao im:
4
x 0
x 0
x 1
x x

=
ỡ
ộ
ù
ù
ờ

ớ
ờ
=ù
=
ù
ở
ợ
.
( )
1 1
4 4
0 0

quay quanh trc Oy l:
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= p -
ũ
.
Vớ d 4. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
x y 5= - +
,
x 3 y= -
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im:
2
y 1
y 5 3 y
y 2
= -
ộ
ờ
- + = -
ờ
=
ở
.
( )
( )
2

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
153
V
5
p
=
(vtt).
BI TP
Bi 1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng cú phng trỡnh sau
1)
y sinx, y 0= =
,
x 0, x 2= = p
2)
3
y x , y 0= =
,
x 1, x 2= - =
3)
2 2
y x 2x, y x 4x= - = - +
4)
3
y x , y 4x= =

= - =
11)
2 2
y 4 x , x 3y 0= - - + =
12)
2
y x 4x 3 , y 3= - + =
13)
2
y x 4 x 3 , y 0= - + =
WWW.ToanCapBa.Net
10
WWW.ToanCapBa.Net
14)
2
3
x y, x
4 y
= =
-
15)
( )
2
2
2 1
x , x , y 2 y 0
y
8 y
= = = ³
-

,
x 2, x e= =
21)
2 2
1 1
y , y
sin x cos x
= =
,
x , x
6 3
p p
= =
22)
2 2
y x , y 4x= =
,
y 4=
23)
y x(x 1)(x 2), y 0= + - =
,
x 2, x 2= - =
24)
x
y xe , y 0= =
,
x 1, x 2= - =
25)
2
y 4x, x y 1 0= - + =

5)
2 2
(C) : x (y 4) 4+ - =
quay quanh Oy
6) ellipse
2 2
x y
(E) : 1
16 9
+ =
quay quanh Ox
7) ellipse
2 2
x x
(E) : 1
16 9
+ =
quay quanh Oy
8)
2 2
y x 2, y 4 x= + = -
quay quanh Ox
9)
2
y x , y x= =
quay quanh Ox
10)
2 2
y 4 x , x 3y 0= - - + =
quay quanh Ox

4 4
1 0
x x 17
4 4 4
-
= + =
(đvdt).
3)
2 2
x 2x x 4x x 0 x 3- = - + Û = Ú =
3
2 2
0
S (x 2x) ( x 4x) dxÞ = - - - +
ò
3
3
3
2 2
0
0
2x
(2x 6x)dx 3x
3
æ ö
÷
ç
= - = -
÷
ç

ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
23
S
4
=
(đvdt).
5)
2
x 6x 5 0 x 1 x 5- + = Û = Ú =
(loại).
1
2
0
S x 6x 5 dxÞ = - +
ò
1
1
3
2 2
0
0
x
(x 6x 5)dx 3x 5x
3
æ ö


1 2
3 2 3 2
0 1
x 3x x 3x
2x 2x
3 2 3 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
= 1(đvdt).
7)
2
x 2x x 2 x 2 x 1- - = - - Û = - Ú =
.
1
2
2
S x x 2 dx
-
Þ = + -
ò
1
1

WWW.ToanCapBa.Net
12
WWW.ToanCapBa.Net
2
3 2
1
S x 2x x 2 dx
-
ị = - - +
ũ
1 2
3 2 3 2
1 1
(x 2x x 2)dx (x 2x x 2)dx
-
= - - + + - - +
ũ ũ

1 2
4 3 2 4 3 2
1 1
x 2x x x 2x x
2x 2x
4 3 2 4 3 2
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + + - - +
ữ ữ

t 1
x 2
t 2
=
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ờ
=
ộ

ớ
ờ
ờ
ù
=
ù
ở
ờ
=
ù
ù
ợ ở
.
2 2
2 3 2

2 2
4 2
x x
4 x 8x 128 0 x 2 2
4
4 2
- = + - = =
2 2
2 2
2 2
x x
S 4 dx
4
4 2
-
ị = - -
ũ
2 2
2 2
2 2
x x
4 dx
4
4 2
-
ổ ử
ữ
ỗ
= - -
ữ

2 2
= - -
ũ ũ

2 2
4
2 2
0 0
1
16 cos tdt x dx
2 2
p
= -
ũ ũ
( )
2 2
3
4
0
0
1 1 x
8 t sin2t
2 32 2
p
= + -
.
Vy
4
S 2
3

WWW.ToanCapBa.Net
13
WWW.ToanCapBa.Net

3 3 3
3
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
2 4 x dx x dx 2 4 cos tdt x dx
3 3
p
= - - = -
ũ ũ ũ ũ
( )
3
3
3
0
0
1 x
2 2 t sin2t
2 9
p
= + -
.
Vy
4 3
S
3

x 4x 3- +
+ 0 0 +
4
2
0
S x 4x 3 3 dxị = - + -
ũ
( ) ( ) ( )
1 3 4
2 2 2
0 1 3
x 4x dx x 4x 6 dx x 4x dx= - + - + - + -
ũ ũ ũ

1 3 4
3 3 3
2 2 2
0 1 3
x x x
2x 2x 6x 2x
3 3 3
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ

2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + - - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ

1 3
3 3
2 2
0 1
x x
2 2x 3x 2x 3x
3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + - - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ

3 3
S y dy y dy
4 y 4 y
æ ö
÷
ç
Þ = - = -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
- -
ò ò
= …
Vậy
3
S 1
6
p
= -
(đvdt).
15) Tung độ giao điểm
2
2
2 1
y 2
y
8 y

3
2
2
S (2 cosx)sinx dx
p
p
= +
ò
3
2
2
(2 cosx)sinxdx (2 cosx)sinxdx
p
p
p
p
= + - +
ò ò

( ) ( )
3
2
2
1 1
2cosx cos2x 2cosx cos2x
4 4
p
p
p
p

( )
e e
1 1
lnx lnx lnx
S dx dx 0 x 1; e
2 x 2 x 2 x
= = > " Î
ò ò
.
Đặt
t t
t lnx x e dx e dt= Þ = Þ =

x 1 t 0, x e t 1= Þ = = Þ =
( )
1 1
t
t
t
0 0
tedt
S td e
2 e
Þ = =
ò ò
1
1 1
t t t
0 0
0

1
1 1
2
S t.2tdt 2t dt t
3
ị = = =
ũ ũ
.
Vy
4 2 2
S
3
-
=
(vdt).
20)
e e e
e
2
2 2 2
S lnx dx lnxdx xlnx dx= = = -
ũ ũ ũ
.
Vy
S 2 2ln2= -
.
21)
2 2
1 1
x ;

2 2 2 2
6 4
1 1 1 1
dx dx
cos x sin x cos x sin x
p p
p p
= - + -
ũ ũ

( ) ( )
4 3
6 4
tgx cotgx tgx cotgx
p p
p p
= + + +
.
Vy
8 3 12
S
3
-
=
(vdt).
22) Ta giao im
2
2
y x x 0
y 0

=
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
=
=
ù ù
ợ
ù
ù
ợ
( )
4
4
3
0
0
1 y
S y y dy
2 3
ị = - =
ũ
.
Vy
8
S
3

ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - - + - - + - -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
WWW.ToanCapBa.Net
16
WWW.ToanCapBa.Net
Vậy
37
S
6
=
(đvdt).
24)
2 2 0
x x x
1 0 1
S xe dx xe dx xe dx
- -
= = -
ò ò ò
( ) ( )
2 0
x x
0 1

Û
í í
ï ï
- + =
= -
ï ï
î
ï
î
2
1
y y 1 y 2
4
Þ = - Û =
2
2
0
1
S y (y 1) dy
4
Þ = - -
ò
( )
2
2
3
2 2
0
0
1 1 y

+ - = = -
ï ï
î î
3 3
y 1 1 y y y 2 0 y 1Þ - = - Û + - = Û =
( )
( )
1
1
3 4 2
0
0
1 1
S y y 2 dy y y 2y
4 2
Þ = + - = + -
ò
.
Vậy
5
S
4
=
.
Bài 2.
1)
( )
1 1
1
3

V x dy 2ydy yÞ = p = p = p
ò ò
.
Vậy
V 12= p
(đvtt).
3) Ta có
3
(x 1) 0 x 1- = Û =
2 2
2
4
2 3
1
1 1
(x 1)
V y dx (x 1) dx
4
-
Þ = p = p - = p
ò ò
.
Vậy
V
4
p
=
(đvtt).
4) Ta có
2 2

ỗ
ị = p - = p - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ
.
Vy
512
V
15
p
=
(vtt).
5) Tung giao im
2 2
(C) : x (y 4) 4+ - =
v Oy:
2
y 4 2 y 6
(y 4) 4
y 4 2 y 2
- = =
ộ ộ
ờ ờ
- =
ờ ờ
- = - =

. Vy
32
V
3
p
=
(vtt).
6) Honh giao im
2 2
x y
(E) : 1
16 9
+ =
v Ox l
x 4=
.
Ta cú:
( )
2 2
2 2
x y 9
1 y 16 x
16 9 16
+ = = -
4 4
4
3
2 2
0
4 4

2 2
2 2
x y 16
1 x 9 y
16 9 9
+ = = -
4 3
3
3
2 2
0
4 3
16 32 y
V x dy (9 y )dy 9y
9 9 3
- -
ổ ử
p p
ữ
ỗ
ị = p = - = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ
.
Vy
V 64= p

ố ứ
ũ
.
Vy
V 16= p
(vtt).
9) Honh giao im
2 4
x x x x x 0 x 1= = = =
( )
1 1
1
5 2
4 4
0
0 0
x x
V x x dx x x dx
5 2
ổ ử
ữ
ỗ
ị = p - = p - = p -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ
.

3
5
3 4 3
0
0
2 2 x
36 3x x dx 36x 3x
9 9 5
æ ö
p p
÷
ç
= - - = - -
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
28 3
V
5
p
=
(đvtt).
WWW.ToanCapBa.Net
19