Netschool.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

I

f(x) dx

Giả sử cần tính tích phân
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
a

x

a

f(x)
b

I

x2

0


.

2

x2

I
Ví dụ 1. Tính tích phân

3x

2 dx

3

.
Giải

Bảng xét dấu
2

x

x
3x

3

1


59
2

.

2

I
Ví dụ 2. Tính tích phân

5

4 cos2 x

4 sin xdx

0

.
Giải

2

2
2

I

4 sin x


Netschool.edu.vn
6

2

I

2 sin x

1 dx

2 sin x

0

1 dx

2 3

2

6
.

6

2. Dạng 2
b



g(x) dx

a

rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

a

Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

I

x

Ví dụ 3. Tính tích phân

x

1 dx

1

.
Giải

Cách 1.

1)dx

1

2

x2
2

0

1 dx

(x

1)dx

1

1

x2
2

x
1
2

1


–
–

0

I

0
0

1
+
–

0

2
+
+

1

x

x

1 dx

1


0.

3. Dạng 3
Netschool.edu.vn
2

0

.

x

1 dx


Netschool.edu.vn
b

I

b

max f(x), g(x) dx

Để tính các tích phân
thực hiện các bước sau:

f(x)

0 thì max f(x), g(x)

max x2

I

Ví dụ 4. Tính tích phân

2 dx

.
x2

h(x)

Đặt

1, 4x

0

Giải
4x

1

x2

2

4x



2

1 dx

4

4x

0

x2

2 dx

1

1 dx

3

80
3

.

2

min 3x , 4


–

1
0

2
x

I

0
4

x dx

1

2
+

3x 1
ln 3 0

4x

B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong



S=

f(x) dx
.

a

Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b

f(x) dx

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

a

.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
Giải
1; e nên:
Do ln x 0 x
e

ln x, x

ln x dx


0
+
0
1

S

4x

3, x

0, x

3 và

3

x

2

4x

x2

3 dx

0

4x


3

2x

2

3x
1

8
3 (đvdt).

8
3.

2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
b

các đường y

f(x), y

g(x), x

a, x

b là:

2.2. Trường hợp 2
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y
Trong đó ,

f(x), y

S=

g(x) là:

f(x) - g(x) dx
.

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x)
b .

a

g(x)

Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x)

g(x) .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)

g(x) trên đoạn
f(x)


3

2.

6

Bảng xét dấu
x 0
h(x)
1

S

x

6x

2
0

2

11x

x3

6 dx

6x2


11x
2

1

2

6x
0

x4
4

2x

3

11x2
2

2

6x
1

5
2 (đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y

6

Bảng xét dấu
x 1
h(x) 0

+

2

6x2

11x

x3

6 dx

1

Vậy

–
6x2

11x

6 dx

2

3

11x2
2

2x3

1
2.

6x
2

1
2 (đvdt).

Chú ý:
1) Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì phải vẽ hình, tuy nhiên hầu hết rất
khó xác định đúng miền phẳng cần tính diện tích (có thể vì thế mà đề thi Đại học không
ra).
2) Nếu trong khoảng
dùng công thức:

;

phương trình f(x)

f(x)

g(x) dx

x

2

x

0

x

2

2

S
x4
4

4x

4x dx

0
0

2x 2
2

x4
4

t 1
t

3

3

t2

0
x

1

4t
x

x

3

x

3
1
3

3

0, t


4x

x2

3 dx

0

4x

3 dx

1

x3
3

2

1

2x 2

3

x3
3

3x


4x

3

x2

y

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 3 0

x2

0

3

S

Vậy

x

x

4x


2

x

4x

1

S

x

x

3x

6 dx

1
3

x
3

5x
2

2

1

0

x2

5x dx

5x 2
2

5

3
3

3x
2

3

2

3

x
3

6x
1

3


2

1

x

5 dx

x2

2

x

0

3

1

0

Netschool.edu.vn
7

x

0



0
–

1

1

S

x2

x

x2

4 dx

0

Vậy

3
+

3

2

x

x2
2

73
3

6x
1

73
3 (đvdt).

S

Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
Giải
2
2
2 x
x
2 y , x 0.
Ta có: y
Phương trình tung độ giao điểm: y
1

2

y2

.


y dy

0

1

4
2

2 cos tdt

ydy

0

t

0

1
sin 2t
2

1

y2
2

4

II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y

b

y

0, x

a và x

b (a

b) quay quanh trục Ox là:

f 2 (x)dx

V
a

.
(C)
:
x
y
R
Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn
quay quanh Ox.


2

x

2

dx

R2

2

x 2 dx

2

0

Netschool.edu.vn
8

R2 x

2

x3
3

R

g2 (y)dy

V

d) quay quanh trục Oy là:
c
.
2
2
x
y
(E) : 2
1
a
b2
Ví dụ 2. Tính thể tích hình khối do ellipse
quay quanh Oy.
Giải
y2
1
y
b
2
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là b
.
2
2
2 2
x
y

dy
b2

a 2 y2
dy
b2

a2

2
0

2

a2 y

a2 y3
3b2

R

4 a2 b
3 .

0

2

Vậy



1

V

x4

x dx

0

Vậy

1

.

1

x4

V

x

x

x dx

0

c; d ) quay quanh trục Oy là:
d

f 2 (y)

V

g2 (y) dy

c

.

Ví dụ 4. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x
x 3 y quay quanh Oy.
2

y

5

3

Giải
y

y

1


6y

16 dy

1

1

V

.

2

2

2

3

y
5

11y
3

153
5

(đvtt).

4x

4) y
5) y

x3, y
x2

5, y

6x , x

0, x

1

6) y
7) y

x2

2, y

3x, x

0, x

2

x2

2 và trục hoành
x 2 và trục hoành

x2
, y
4

4

1, x

x

x

2x2

x3

10)
11) y
y
12)
y
13)

4x , x

3y


18)
19)

3

x

y

20) y
y

21)
22) y
23) y
24) y
2
25) y
26) x

(2

4

y2
1
, y
8 y2

cos x)sin x, y

2
sin x
cos2 x ,
6
3
2
2
x , y 4x , y 4
x(x

1)(x

x

xe , y

0, x

4x, x

y

3

0, x

y

1


2)
2
3) y
2
4) y

x2
, y 2 y 4, x 0
2
,
quay quanh Oy
3
(x 1) , x 2 và y 0 quay quanh Ox
4 x, x 0 quay quanh Oy

2
5) (C) : x

(y 4)2 4 quay quanh Oy
x2
y2
(E) :
1
16
9
6) ellipse
quay quanh Ox
2
2
x


Bài 1.
2

2

S

sin x dx

1)
(đvdt).

sin xdx

0

2

0

2

3

S

3

x dx


x

(x

2

2x)

( x

2

1

2

(2x

4x) dx

2

17
4

0

9(đvdt).
3


1
0

2x 2

x
4

S

23
4 (đvdt).

1

6x

5

0

4x)dx

0

2x 2
0

x

4x dx

1
4

3
2

2 (loại).

0
3

(x2

5 dx

6x

1

x3
3

5)dx

0

0


2

1

3x

x
3

3x
2

2x

x
3

0

x

2

x

x2

S

x


0

x

2

= 1(đvdt).

1.

2

2

2)dx

2

2

1

1

3x

1
3


3

0

0

7)

x4
4

3

S

Vậy
2
6) x

0

cos x 2

3

3

Vậy
2
5) x

Netschool.edu.vn
2

x3

S

2x2

x

2 dx

1

1

2

(x

3

2

2x

x

(x3

0

t

x

0

t3

2t2

t

2

2x
1

2x2

x3

x

2 dx

2

2


2

2 2
2 2

2
0

2x2

x

2 dx

(x3

2x2

x

2)dx

128

16 cos tdt

2 2

0

sin2t
2

8 t

0

4
0

4
3 (đvdt).

2

0

x2
3

y

9x 2

36

0

3


x2
dx
3

x2
3

x2

4
3
3

2

4
0

x2

x2
dx
3

Netschool.edu.vn
13

x

1

dx
4 2

x2
4

4

3y

x3

x4
2
4

2x

x4

x2
4

4

1

2

x

0
2

1

4

.

2

S

x4

2

x2
2

t

9)

x2

2)dx

37
12 (đvdt).


2

4

x dx

0

1
sin 2t
2

22 t

4

S

Vậy

x

3
2

x dx

2 4



2

3

1
3

2

(đvdt).

4x

3

3

12)
Bảng xét dấu

x2

4x

3

x2

4x

3
0

–

.
4

+

4

x2

S

4x

3

3 dx

0

1

3
2

x

2

6x
1

x2

0

4 x

3

x
2

x

4x

3

2x

x

1

= 8(đvdt).
x

x2

4x

3 dx

x2

4x

3 dx

0
3

1

x2

2

4x

3 dx

0

1
1


0

x2 4 x
13)
Bảng xét dấu

S

x2

6 dx

x
3

2x

2

x3
3

3x
0

3

2x

2

3

3

.


Netschool.edu.vn
3

S

Vậy

y

2
y2

2

S

Vậy

=…

6

(đvdt).

S

3

3

1
2

1
8

2

1

y

2

2
y2

dy

2

y

y2


1
cos2x
4

1

2

x

x2 dx

x 1
0

x2 d(1

lnx
1

0

t

2
e

x


e

t

t e

t 1
0

et dt

0

ln x
x

1

0 x

0

dx

1

1, x

t2


15

e

2 et

1
0

.

e (đvdt).

1

t

e

0, x

1

S

t

x

tet dt

x

3
2

x2 dx

1
(1
3

x2 )

0

Vậy S

cos x) sin xdx

0

1

18)
Đặt t
x

0

x 1


1
2

(2


Netschool.edu.vn
2

2

S
1

1

e

S
20)
Vậy S

1

.

4 2 2
3
(đvdt).


2
1
2
21) cos x

2 ln 2 .
1
sin2 x

1
cos2 x

S

e
e
2
2

x

4

;

6
4

1

1
dx
sin2 x

3

6

4

8 3 12
3
(đvdt).
y x2
4x2

y

22) Tọa độ giao điểm

y

x2

x

y

y



tgx

Vậy

1
cos2 x

4

6

Vậy

3

1
dx
sin2 x

6

4

S

.

8
3 (đvdt).


1

0

x

3

2

x

2x dx

x

2

x4
4

2
3

2

x

x3

16

x4
4

x3
3

2

x2
0

.


Netschool.edu.vn
37
6 (đvdt).

S

Vậy

2

2

xex dx



x
1

0

1 2
y
4

S

x

2
0

(y

1) dy

1 2
y
4

y

1

y


2
2

1 y3
4 3

4 dy

0

2y2

4y
0

x

1

y3

S

y

.

1
y

4x
y

1

2

25)

S

xe x dx

0

2

x

0

xe x dx

1

y3

y

y

2

x dx

8 x3
3

2

8

x dx

0

1)
Vậy

1
2

0

8
3 (đvtt).

V

4


Vậy

V

4) Ta có

4
2

.

(đvtt).
2

3) Ta có (x

y2

1)3

0

x

V

1

y dx
1


(x

1)3 dx

1)4

(x
4

2

1

.


Netschool.edu.vn
2

V

4

y

2 2

dy



4

4)2 4 và Oy:
y 4 2
y

4

2

6
2

V

(y

x dy

4

2

4) dy

2

y



V

Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên
x2
y2
(E) :
1
16
9
6) Hoành độ giao điểm
và Ox là x
2
2
x
y
9
1
y2
16 x2
16
9
16
Ta có:
4

9
16

2

9
y2
9

(9
3

2

x2

4

x

x

2

2

2

1

4

x

2 2

1

x

4

x dx

0

V

.

1

1

Vậy

0

1

1

Vậy V

4


8

x2 )dx

(16

(đvtt).

(đvtt).

7) Tung độ giao điểm

V

4

32
3

x

4

x dx

0

x

0


Netschool.edu.vn

10) Hoành độ giao điểm
3

V
3

2
9
Vậy

V

3

3x3

36

x4 dx

0

28

x

x2


2

(đvtt).

Netschool.edu.vn
19

3

0

.

3