Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình oxyz

TÌM ĐIỂM LOẠI 2 VÀ 3
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Tìm điểm loại 2 và 3 thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc
gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn
cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;0 , B  2;0; 1 và mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  1  0 . Tìm tọa độ điểm C trên  P 
 P  và tam giác ABC có diện tích bằng 14 .

sao cho mặt phẳng  ABC  vuông góc với mặt phẳng

Giải
Giả sử C  a; b; c  , nP   2;1;1 là vecto pháp tuyến của  P  . Do C   P   2a  b  c  1  0 (1)

 AB  1;1; 1
Ta có: 
  AB, AC    c  b  1;1  a  c; b  a  2 
AC

a

1;
b

Thay vào (3) ta được:  2a    3a   a 2  4.14  a 2  4  
 a  2  b  6, c  9
Vậy tọa độ điểm C thỏa mãn đề bài là: C  2; 2; 7  hoặc C  2; 6;9  .
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hình vuông MNPQ có M (5;3; 1), P(2;3;  4) . Tìm toạ
độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng ( ) : x  y  z  6  0.
Giải.
Giả sử N ( x; y; z ) . Vì N  ( )  x  y  z  6  0 (1)

 MN  PN
MNPQ là hình vuông  MNP vuông cân tại N  

 MN .PN  0
2
2
2
2
2
2

( x  5)  ( y  3)  ( z  1)  ( x  2)  ( y  3)  ( z  4)

2

( x  5)( x  2)  ( y  3)  ( z  1)( z  4)  0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

2

+) Nếu N (2;3  1) thì Q(5;3;  4).

+) Nếu N (3;1;  2) thì Q(4;5;  3).

Vậy Q(5;3;  4) hoặc Q(4;5;  3) .
Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) và mặt phẳng
( ) : x  2 y  2  0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ).

Giải.
Giả sử M ( x; y; z ) . Khi đó từ giả thiết ta có: MA  MB  MC

 ( x  1)2  y 2  z 2  x 2  ( y  1)2  z 2  x 2  ( y  3)2  ( z  2)2 

( x  1) 2  y 2  z 2  x 2  ( y  1) 2  z 2

  x 2  ( y  1) 2  z 2  x 2  ( y  3) 2  ( z  2) 2

2
( x  1) 2  y 2  z 2  ( x  2 y  2)

5

x  2y  2
5

(1)
(2)
(3)


cắt mặt cầu  S  . Tìm tọa độ tâm H của đường

Giải
Mặt cầu  S  có tâm I 1;1; 2  và bán kính R  3 .

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  là: d  I ,  P   

1  2.1   2   11
1  2   1
2

2

2

Hình oxyz




Giả sử H  x; y; z  . Ta có IH cùng phương với vecto pháp tuyến n p  (2;3;1) của mặt phẳng  P  nên

 x  1  2t
 x  1  2t


IH  t.nP   y  2  3t   y  2  3t
z 1  t
z  1 t



(thực chất là phương trình IH )  H (1  2t; 2  3t;1  t )

Khi đó H  ( P)  2(1  2t )  3(2  3t )  1  t 11  0  t  1  H 3;1;2  .
Vậy tiếp điểm của  P  và  S  là H  3;1; 2  .
x  2 y 1 z 1
và mặt


2
1
1
phẳng ( P) : x  y  z  2  0. Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng ( P) biết đường thẳng AM vuông góc với

Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M (1;  1; 0) đường thẳng  :

 và khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  bằng

33

2 2


Ta có d ( A, )  AH 

33
8
 14t 2  2t  16  0  t  1 hoặc t 
2
7

 23 8 17 
Suy ra A(1;  1; 4) hoặc A  ; ;   .
7
 7 7

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;3; 4 , B  5;3; 1 và mặt phẳng

 P  : x  y  z  4  0 . Tìm tọa độ điểm C

trên  P  sao cho tam giác ABC vuông cân tại C .

Giải
Gọi C  x; y; x  y  4   P  , suy ra : AC   x  2; y  3; x  y  , BC   x  5; y  3; x  y  3 .
Tam giác ABC vuông cân tại C nên

 x  2  x  5   y  32   x  y  x  y  3  0
 AC.BC  0

 2

Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là n   AB, AC   (8; 4; 4). Suy ra (ABC): 2 x  y  z  1  0

 x  y  z 1  0
x  0


Giải hệ:  y  z  3  0   y  2 . Suy ra tâm đường tròn là I (0; 2;1).
2 x  y  z  1  0  z  1



Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình oxyz

Bán kính là R  IA  (1  0)2  (0  2)2  (1  1)2  5.
Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện OABC với A(1;2; 1), B(2; 1;3), C(2;3;3).
Tính thể tích tứ diện OABC và tìm tọa độ điểm D nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho tứ diện ABCD có
các cạnh đối điện vuông góc với nhau.
Giải



Bài 10. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1;1;1) ,
B(1;2;0), C(1;3; 1) . Tìm tọa độ điểm D.

Giải

 AB  (2;1; 1)

  AB, AC   (0; 4; 4)  0  AB, AC không cùng phương nên A, B, C không thẳng

AC

(0;
2;

2)


0 2 2
hàng. (có thể trình bày bằng cách
 
 AB  k . AC , suy ra A, B, C không thẳng hàng)
2 2 1

CD // AB nên chọn uCD

 x  1  2t

 AB  (2;1;  1) . Suy ra phương trình CD :  y  3  t  D(1  2t;3  t; 1  t )
 z  1  t


2
2

ABCD có A(1;0;0), C (2;2;2), D  d . Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2 .
Giải.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Ta có D  d :

Hình oxyz

x  2 y  3 z 1
3 2


 D(t  2 ;  2t  3 ;  2t  1) , khi đó: S ABCD  3 2  S ACD 
2
1
2
2


 IA2  ID 2

1

 x  12  y 2  z 2  x 2   y  2 2  z 2
x

2
x

4
y


3

2


3
2
2


1
2
2
2
2
  x  1  y  z  x  y   z  3

 xG 
3
3

2

1

3
2

4 2 4
   G ; ; 
là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:  yG 
3
3
3 3 3

1

0

3
4


 zG 
3
3


 Oxy  , tọa độ điểm C

thuộc trục Oz sao cho A, B, C phân biệt, thẳng hằng và AB  35 .

Giải

 B  x; y;0  
 B  (Oxy ) 
 AB   x  1; y  3; 5 


Do 
C  Oz

C  0;0; z  
 AC   1; 3; z  5 
 x  1  k

Ta có A, B, C thẳng hằng  AB  k AC   y  3  3k  k  0 
5  k z  5
 


Mặt khác: AB  35  ( x  1)2  ( y  3)2   5  35   k    3k   10  k  1
2

2




Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -