Chủ đề I
A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

y=
I / Hàm số :
1) Tập xác định : +/ D = R \{ 2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ =

•

ad − bc
(cx + d ) 2

.

d
c

ax + b
cx + d

.}

∀x ∈

y’ > 0 ( y’ < 0 ) ,
D
+/ Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (…..)
+/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :

•

−

+

y’

?

?

y

?

?

3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y =

b
d

−b
a

.

*Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =
,

: Hàm số Nghịch biến .
•
•

+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :

lim y =
x → −∞

?
;
+/ Bảng biến thiên :
x -∞
?
y’
?
?
y

lim y =
x → +∞

?.

?
?
?

Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :

lim y =
x → −∞

lim y =
?

x →+∞

;

+/ Bảng biến thiên :
x -∞
?
y’
?
y
?

?.

?
?
?

?
?


x+3
x −1

y=
c)

2x +1
1− x

.

d)y =

x +1
x−2

Cách giải: a)
1) Tập xác định : +/ D = R \{ ….. }
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
y’ =

•

..... − .....
(... x + ...) 2

∀x ∈


x →.....

=> tiệm cận đứng : x =…. .
+∞

…..

y’

…..

y

…..

Y

…..
…..

3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = …. .
*Giao điểm đồ thị với trục Ox : Oy = 0 => x =…..
X
*Đồ thị nhận giao điểm I(…..;…..) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
4


Bài tập mẫu dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y=




y’ = 0 <=>
Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 ,
: Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
•
•

lim y =
x → −∞

…
;
+/ Bảng biến thiên :
x -∞
…
y’
…
…

lim y =
x → +∞

…

O

X

Bài tập mẫu dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y=

1 3
x + x2 + 5
3

a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1.
b)y = x³ – 2x² + x – 2
c)
Cách giải: a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1
1) Tập xác định : +/ D = … .
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = … x2 + … x + … .
• y’ = 0 <=> xi = … ; f(xi) = … .
• Xét dấu y’:
+/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến .
Trên khoảng (….) : y’ < 0 ,
: Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :

lim y =

Y

O

X

B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C )
2/ y = ax4 + bx2 + c
(C)

y=

ax + b
cx + d

3/
(C)
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) :
1/ Tại điểm M0 (x0 ; y0 )
Xác định:
Viết phương trình: y= +
2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).
•
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0
(*)
⇔


5/ Đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ) € ( C ) :
7


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x1 ) + y1
(*)
k = f’(x1) ; thế k , x1 , y1 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm
Bài 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).
•

⇔

⇔

(2)
ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m )
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với
đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)
• Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ).
Bài 3 : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x) = f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình :
f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm .
--------------------------------------------------•
•

Bài tập mẫu dạng 1:
y = x3 − 3 x + 5



.
-------------------------------------------------

8


y = x3 − 3x 2 + 1

Bài tập mẫu dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(C). Biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Cách giải:
•
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :
y = k(x – x0 ) + y0
(*)
⇒

k = y’(x0 )
Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6 => k = …
Với y’= …
⇔

•

giải phương trình ……………………………………………..
=> x0 = ……;
thế x0 vừa tìm được vào ( C ) => y0 =...
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.

y = k(x – x0 ) + y0
(*)
y=

Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
=> k . … = -1
Với y’= …

⇔

−1
x
9

=> k’=…

k =…

⇔

•

giải phương trình ……………………………………………..
=> x0 = ……;
thế x0 vừa tìm được vào ( C ) => y0 =...
Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
y =…….
y=

Bài tập mẫu dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số:

.

Cách giải: b)
(2) …x4 - … x2 + …=…
Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với
đường thẳng d: y = …….
TH1: phương trình vô nghiệm khi : ………
TH2: phương trình có 2 nghiệm khi : ………
TH3: phương trình có 3 nghiệm khi : ………
TH4: phương trình có 4 nghiệm khi : ………
--------------------------------------------------------------------------------------------Bài tập mẫu dạng Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?
10

,


y = 2+

3
x −1

Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Cách giải: b)
y = 2+

Số giao điểm của
2+



đạt cực tiểu tại x = −2.

để hàm số đạt cực đại tại

x=0

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số
Bài toán 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn
?
Phương pháp:
• Tính
• Giải phương trình
, để tìm các nghiệm
• Tính các giá trị
và
• GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
• GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.
11


Phương pháp:
• Tìm tập xác định
• Tính
• Giải phương trình
(các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
• Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên
GTLN,GTNN.
-----------------------------------------------------------Bài tập mẫu dạng 1Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số:


.

.

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a)

trên đoạn

.

b)

c)

trên đoạn

d)

Bài tập mẫu dạng 2 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẩn giải:
• Tập xác định : D=[0;2]
•
•
•

Bảng biến thiên:
12



c)

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là
một số cho trước
Phương pháp giải:
13


Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số để hàm số
có giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn
là (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.
Chú ý: Hàm số

liên tục trên

Cách 1:
•
•
•
•
•
•

Tính đạo hàm
Gải phương trình
để tìm các nghiệm
Tính các giá trị
và

để tìm các nghiệm
Tính các giá trị
và
Lần lượt giải các phương trình:
để tìm các nghiệm

•
•

chúng
Thay
vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị
nhận hoặc loại giá trị
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

thực sự thỏa bài toán để

Bài tập 1:
Xét hàm số:
hàm số giá trịlớn nhất trên

. Xác định giá trị của tham số $latex m$ sao cho
là

Hướng dẩn giải:
•
•
•
•
•

, nên từ (2) suy ra
, thay vào hàm số ta được:

.

Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên
Suy ra
Với

là

, suy ra

loại
, thay vào hàm số ta được :

Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên
Suy ra giá trị
•

là

thỏa mãn bài toán .

Kết luận: Giá trị cần tìm :

15