SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ LỚP 12 - THPT

Người thực hiện: Hoàng Văn Chín
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị:
Trường THPT Mai Anh Tuấn
SKKN thuộc môn: Vật lý

Năm học: 2012 -2013
1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Từ thực tế trực tiếp giảng dạy học sinh ở trên lớp, sư trao đổi của các đồng
nghiệp qua các năm gần đây, cũng như qua các tài liệu tham khảo tôi nhận thấy đại
bộ phận học sinh đều coi bài tập dao động tắt dần là bài tập khó, khi vận dụng thì
lúng túng, không có phương pháp chủ đạo để giải, thậm chí giải sai.
Sở dĩ có thực trạng đó theo tôi là do phân phối của chương trình và theo
chuẩn kiến thức kỹ năng có giới hạn nên khi dạy trên lớp các giáo viên không thể
có thời gian để đi sâu vào phân tích một cách chi tiết các bài tập về dao động tắt
dần để từ đó định hướng cho học sinh có hướng tự nghiên cứu.
Đồng thời trong các tài liệu tham khảo hiện nay về dao động cơ tắt dần
chưa có nhiều tài liệu trình bày một cách có hệ thống, các lời giải thiếu chi tiết,
chưa được lập luận chặt chẽ.
Từ những yếu tố đó dẫn đến đại bộ phận học sinh không thể hệ thống hóa

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
* Vận tốc v = x’ = 0
* Độ lớn lực kéo về nhỏ hơn lực ma sát trượt ( ma sát nghỉ cực đại):
k x  mg
Như vậy dẫn đến hệ có thể ngừng dao động ở vị trí cân bằng và cũng có thể
không phải ở vị trí cân bằng
- Độ giảm biên độ: Để đơn giản ta xét trường hợp con lắc lò xo nằm ngang với
biên độ dao động ban đầu là A0 thì cứ sau một nửa chu kỳ biên độ giảm đi một
lượng a = 2mg/k và cứ sau một chu kỳ thì biên độ giảm đi A = 4mg/k.
Như vậy dẫn đến biên độ dao động sau mỗi nửa chu kỳ ( sau mỗi chu kỳ) sẽ
giảm theo cấp số cộng với công sai d = a ( hoặc d = A sau mỗi chu kỳ)
1.3. Kiểu dao động tắt dần do chịu tác dụng lực ma sát nhớt (môi trường)
- Phương trình dao động:


* Lực cản môi trường thường có dạng: FC  bv
* Lực kéo về có dạng: F = - kx
* Suy ra được mx’’ = - kx – b.x’ Hay: mx’’ + bx’ + kx = 0
bt
Như vậy phương trình có dạng: x  A e 2m sin(t   )
0
bt
k
b2
2
m
Trong đó: Biện độ A  A e
và  

0

chủ đạo để giải, thậm chí giải sai. Sở dĩ có thực trạng đó theo tôi là do một số
nguyên nhân cơ bản sau:
- Thứ nhất là do phân phối của chương trình và theo chuẩn kiến thức kỹ năng
có giới hạn nên khi dạy trên lớp các giáo viên không thi đi sâu vào phân tích một
cách chi tiết các bài tập về dao động tắt dần để học sinh có hướng tự nghiên cứu. Vì
vậy đại bộ phận học sinh không thể hệ thống hóa được đầy đủ các dạng bài tập về
dao động tắt dần. Trong khi đó các đề thi trong các năm gần đây có nhiều dạng bài
tập phong phú và mức độ yêu cầu khó hơn nhiều so với chuẩn kiến thức, kỹ năng.
- Thứ hai là trong các tài liệu tham khảo hiện nay về dao động cơ tắt dần chưa
có nhiều tài liệu trình bày một cách có hệ thống, các lời giải thiếu chi tiết, chưa
được lập luận chặt chẽ và thậm chí có những lời giải không chính xác. Vì vậy đại
bộ phận học sinh sẽ không thể tự phân tích, tổng hợp để hình thành phương pháp
chủ đạo khi giải các bài toán về dao động cơ tắt dần.

4


3. Giải pháp.
Để khắc phục được thực trạng trên qua tham khảo ở các tài liệu, qua trao đổi
với các đồng nghiệp cũng như qua các lời giải của học sinh đã trực tiếp giảng dạy.
Tôi đã tổng hợp lại để xây dưng một hệ thống các bài tập, đồng thời phân tích chi
tiết các lời giải để xây dựng phương pháp chủ đạo khi giải các bài tập về dao động
cơ tắt dần. Trong đó trọng tâm đi vào phân tích loại bài tập con lắc lò xo đặt nằm
ngang dao động tắt dần, từ đó có thể mở rộng vận dụng sang các trường hợp khác.
3.1. Phân loại các bài tập thường gặp về dao động cơ tắt dần.
Từ cơ sở kiến thức cơ bản, từ các tài liệu tham khảo theo quan điểm của tối bài
tập về dao động cơ tắt dần có thể chia thành các loại cơ bản sau.
Loại 1. Tính độ giảm biên độ của dao động ( li độ cực đại).
Loại 2. Tính tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động.
Loại 3. Tính quãng đường vật đi được trong quá trình dao động.

Nên tương tự ta suy ra biên độ lại giảm một lượng : a = A1 – A11 =
Suy ra sau một chu kỳ biên độ giảm một lượng: A = 2.a =

4 mg
k

2 mg
k

5


Thay số vào ta có: a = 0,01 cm và A = 0,02 cm.
-

Vậy sau 2,5 chu kỳ dao động ( tức là sau

động là

1
T lần thứ 5) thì biên độ của dao
2

A5 = A0 – 2,5A = A0 – 5a = 9,95 cm

Ví dụ 2. Một con lắc lò xo gồm vật dao động có khối lượng m = 0,2 kg, lò xo nhẹ
có độ cứng K = 40 N/m. Hệ dao động có ma sát trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số
ma sát  = 0,1 và ban đầu có biên độ A0 = 3,5 cm . Coi chu kỳ dao động của vật là
không đổi và bằng chu kỳ dao động điều hòa, lấy g = 10 m/s 2. Tính biên độ dao
động của vật sau 2 chu kỳ dao động ?

2

- Khi lên vị trí biên lần đầu tiên thì vật nằm ở phía dương, có biên độ A1 và đã đi
được quãng đường là ( A1 – x0)
Theo bảo toàn năng lượng ta có được:

1 2
1
1
kA1 = kx02  mv02 - mg(A1 – x0)
2
2
2

- Khi vật đến vị trí biên lần thứ 5 thì vật có biên độ A5 và đang nằm ở phía dương.
1
T lần thứ 4 vật đến vị trí biên lần thứ 5
2
2 mg
do đó ta có được A5 = A1 – 4.a = A1 – 4.
k

Như vậy kể từ vị trí biên A1 thì sau

- Thay số ta có: A1  2,82 cm suy ra A5  2,72 cm.

6


Lưu ý: Có thể học sinh gặp phải sai lầm biên độ

1
kA1 = kx02  mv02 - mg(A1 – x0). Sau khi tìm được A1
2
2
2

1
T thứ n ( tính từ A1 ) là
2

An = A1 – n.a

3.2.2. Loại 2. Tính tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động.
Ví dụ 4. Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 2N/m, vật nhỏ khối lượng m
= 80g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt
phẳng ngang là μ = 0,1. Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10cm rồi
thả nhẹ. Cho gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Tính tốc độ lớn nhất mà vật đạt được
trong quá trình dao động .
Lời giải:
Phân tích về phương diện động lực học:
- Gọi vị trí M1 và M2 là hai vị trí lực ma sát có độ lớn bằng lực đàn hồi ở hai bên vị
mg
k

trí cân bằng. Khi đó ta có x M  

- Gọi A0 là vị trí biên ban đầu, A1 , A2 là các vị trí biên sau

1
1


7


- Từ vị trí A1 đến vị trí M2 thì độ lớn lực đàn hồi lớn hơn lực ma sát do đó từ vị trí
A1 đến vị trí M2 vật chuyển động nhanh dần.
- Từ vị trí M2 đến vị trí A2 hợp lực ngược chiều chuyển động nên từ vị trí M2 đến vị
trí A2 vật chuyển động chậm dần.
Như vậy tốc độ lớn nhất vật có thể đạt được chỉ có thể xảy ra tại vị trí M 1
hoặc M2 tùy theo điều kiện ban đầu của bài tập
Áp dụng vào bài ví dụ 4.
- Theo điều kiện ban đầu vật ở vị trí biến A0 = 10 cm và được thả nhẹ cho dao động
do đó vật sẽ đạt được tốc độ lớn nhất khi qua vị trí M1 lần đầu tiên.
- Tại vị trí này vật đã đi được quãng đường : s = A0 – xM
- Áp dụng bảo toàn năng lương ta có:

1 2 1 2
1
mvM  kxM  kA02  mg ( A0  x M )
2
2
2

Thay số liệu vào ta có được tốc độ cực đại: vM = 0,3 m/s = 30 cm/s
Ví dụ 5. Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 20N/m va vật
nặng m = 100g .Từ VTCB kéo vật ra 1 đoạn 6cm rồi truyền cho vật vận tốc
20 14 cm/s hướng về VTCB .Biết rằng hề số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang
là 0.4 ,lấy g = 10m/s2. Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc bằng :
Lời giải:
- Áp dụng như phân tích trong ví dụ 4 ta có vị trí độ lớn lực ma sát bằng độ lớn lực

2 mg
.
k

8


- Sau đó vật đổi chiều chuyển động theo theo chiều âm và chuyển động nhanh
dần đến vị trí xM =

mg
, rồi sau đó lại chuyển động chậm dần
k

- Như vậy tốc đố cực đại vật đạt được khi đi theo chiều âm lần đầu tiên là khi vật
qua vị trí xM theo chiều âm lần đầu tiên
- Ta có được

1
1
1
2 mg
mvM2  kxM2  kA12  mg ( A1  x M ) và A1 = A0 .
2
2
2
k

Thay các số liệu vào ta có được: vM = 40 cm/s
Kết luận phương pháp.

lò xo bị giãn 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Tính quãng đường mà vật đi được
kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng lại .
Lời giải:
- Ta có biên độ của dao động sau mỗi nửa chu kỳ giảm một lượng a =

2 mg
k

1
2

- Sau T thứ n thì biên độ còn lại là An = A0 – n.a ( n nguyên)
- Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  
suy ra được

A0 1
A 1
 n 0 
a 2
a 2

mg
k

suy ra được n = 5

Vây ta có n = 5 nghĩa là vật dừng lại tại vị trí cân bằng
- Đến đây để tính quãng đường ta có thể tính theo hai cách:

9

Ví dụ 8. Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang có m = 100g,
k = 10 N/m, hệ số ma sát  = 0,1 và lấy g = 10 m/s2 . Ban đầu vật được kéo đến
vị trí lò xo bị giãn 9 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Tính quãng đường mà vật đi
được kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng lại .
Lời giải
- Ta có biên độ của dao động sau mỗi nửa chu kỳ giảm một lượng
a=

2 mg
= 2 cm
k

1
2

- Sau T thứ n thì biên độ còn lại là An = A0 – n.a ( n nguyên)
- Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  
suy ra được

A0 1
A 1
 n 0 
a 2
a 2

mg
k

suy ra được n = 4


= 100 N/m, vật có khối lượng m = 250g, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng  =
0,1 và lấy g = 10 m/s2. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng đến vị trí lò xo bị giãn một
đoạn 2 cm rồi truyền cho vật một vận tốc ban đầu 40 cm/s theo chiều dương. Tính
quãng đường mà vật đi được kể từ thời điểm ban đầu đến khi dừng lại ?
Lời giải:
- Ban đầu vật có li độ x0 = 2 cm, vận tốc v0 = 40 cm/s nên khi khi đến vị trí biên
lần đầu tiên có biên độ A0 vật đã đi được quãng đường: s1 = A0 – x0
- Áp dụng định luật bảo toàn ta có:

1 2 1 2 1
kA0  kx0  mv02  mg ( A0  x0 )
2
2
2

Thay các số liệu và giải phương trình: A0  2,76 cm.
Vậy giai đoạn đầu vật đi được s1 = A0 – x0 = 0,76 cm
- Từ vị tri biên độ A0 vật thực hiện dao động tiếp và sau mỗi nửa chu biên độ giảm
một lượng a =

2 mg
= 0,5cm
k

1
2

- Sau T lần thứ n thì An = A0 – n.a (n nguyên) .
- Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  
suy ra được


2
s kể từ lúc bắt đầu dao động là
3

Lời giải:
- Ta coi chu kỳ dao động bằng chu kỳ dao động điều hòa T = 2
- Theo giả thiết ta có t =

2
s >T
3

- Mặt độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ là : a =

m
= 0,5 (s)
k

2 mg
= 4cm
k

1
2

- Sau T lần thứ n thì An = A0 – n.a (n nguyên).
Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  
suy ra được



2 mg
.
k

1
T lần thứ n biên độ
2

An = A0 – n.a (n nguyên),
Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  

mg
k

A0 1
A 1
suy ra giá trị n
 n 0 
a 2
a 2
Thay n vào công thức S = n2 A0  na ta tính được tổng quãng đường đi được.

suy ra được

- Nếu ban đầu vật không ở vị trí biên mà ở vị trí có tọa độ x 0, v0 thì ta thực hiện hai
bước:
12



Lời giải:
- Ta có độ giảm biên độ sau mồi nửa chu kỳ là a =

2 mg
= 0,2 cm
k

1
2

- Sau T lần thứ n biên độ An = A0 – n.a (n nguyên),
- Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  
suy ra được

A0 1
A 1
 n 0 
a 2
a 2

mg
k

suy ra giá trị n = 15

- Với n = 15 thì biên độ khi đó là A15 = 0 nghĩa là vật dừng lại ở vị trí cân bằng
Vậy : số dao động thực hiện được là N = 7,5
1
2


k

suy ra giá trị n = 4

- Với n = 4 thì biên độ khi đó là A2 = 0 nghĩa là vật dừng lại đúng ở vị trí cân bằng
mà ban đầu vật lại ở vị trí biên như vậy có nghĩa là vật chưa thể thực hiện hết hai
dao động mà chỉ thực hiện hết thời gian 1, 5 dao động
Vậy : số dao động thực hiện được lấy gần đúng N = 2
1
2

thời gian dao động gần đúng t = n. T = N.T  1,78 s.

Ví dụ 13. Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang có m = 100g,
k = 10 N/m, hệ số ma sát  = 0,1 và lấy g = 10 m/s2 . Ban đầu vật được kéo đến
vị trí lò xo bị giãn 9 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Tính số lần dao động và thời
gian dao động kể từ thời điểm ban đầu đến khi dừng hẳn.
Lời giải
- Ta có độ giảm biên độ sau mồi nửa chu kỳ là a =

2 mg
= 2 cm
k

1
2

- Sau T lần thứ n biên độ An = A0 – n.a (n nguyên),
Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và miền dừng lại trong khoảng x M  
suy ra được

Để giải bài tập về tìm số lần dao động, thời gian dao động cho đến khi dừng hẳn ta
cần thực hiện các bước sau
- Tính độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ a =

2 mg
k

1
T lần thứ n biên độ An = A0 – n.a (n nguyên),
2
A0 1
A 1
Khi vật dừng lại thì ta có An  0 và
suy ra giá trị n
 n 0 
a 2
a 2

- Sau

- Sau khi tìm được n ta suy ra được
số dao động N = n/ 2
1
2

thời gian dao động t = n. T
( hoặc trong một số trường hợp có thể tính theo độ giảm biên độ của một chu kỳ)
3.2.5. Loại 5. Tính hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng
Ví dụ 14: Một con lắc lò xo bố trí nằm ngang, vật nặng có khối lượng m = 100g, lò
xo có độ cứng k = 100N/m. Lấy g=10 m/s2. Biết rằng biên độ dao động của con lắc

động chậm dần
15


- Như vậy khi đi đến vị trí xM vật đạt tốc độ lớn nhất và quãng đường vật đã đi
được khi đó sẽ là s = xM – x0
1 2 1 2 1
kA0  kxM  mvM2  mg ( x M  x 0 )
2
2
2
1
1
mg 2 1
mg
)  mvM2  mg (
 x0 )
Hay ta có được: kA02  k (
2
2
k
2
k
mg
- Thay số liệu giải phương trình suy ra đươc
= 2 cm suy ra  = 0,1
k

- Áp dụng định luật bảo toàn ta có được :



suy ra A0  5 cm.

- Đồng thời lực ma sát nhỏ nên dấn đến vị trí vật dừng lại sẽ rất gần với vị trí cân
bằng. Nghĩa là coi như vật dừng lại ở vị trí cân bằng .
Do đó sau 10 dao động thì biên độ A10 = 0
- Mặt khác độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là A = 2.a =
Như vậy khi dừng thì ta có : 10.A = 10.

4 mg
= A0
k

4 mg
k

Thay số suy ra được:  = 0,05

16


Ví dụ 18: Một con lắc lò xo có m = 500g, k = 100 N/m dao động tắt dần trên mặt
phẳng nằm ngang với hệ số ma sát không đổi. Ban đầu vật được đưa tới vị trí cách
vị trí cân bằng 5 cm rồi thả nhẹ cho dao động. Lấy g = 10 m/s2. Biết kể từ lúc thả
vật đến khi dừng vật đã thực hiện được 250 dao động. Tính hệ số ma sát giữa vật và
mặt phẳng.
Lời giải:
- Vì vật thực hiện 250 dao động mới dừng nên dao động là tắt dần chậm. Điều đó
có nghĩa là lực ma sát rất nhỏ nên dấn đến vị trí vật dừng lại sẽ rất gần với vị trí
cân bằng. Nghĩa là coi như vật dừng lại ở vị trí cân bằng.


- Nếu biết tốc độ cực đại thì ta đi tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại
1 2 1 2 1
kA0  kxM  mvM2  mg ( A0  x M ) suy ra xM
2
2
2
mg
Sau đó dựa vào công thức xM =
để tính hệ số ma sát
k

3.2.6. Loại 6. Tính năng lượng cần cung cấp để duy trì dao động.
Ví dụ 19. Một con lắc lò xo có m = 100g, K = 10 N/m dao động trên mặt phẳng
nằm ngang với hệ số ma sát 0,2. Ban đầu vật ở vị trí cách vị trí lò xo bị nén một
đoạn 10 cm rồi thả nhẹ cho chuyển động . Lấy g = 10 m/s 2. Tính công suất cung
cấp năng lượng cho hệ để duy tri cho hệ dao động với biên độ ban đầu .
Lời giải:

17


- Ta có ban đầu hệ dao động có biên độ A0 = 10 cm
và có cơ năng dao động W0 =

1 2
kA0 = 0,5 J
2

- Sau chu kỳ dao động đồng tiên thì biên độ là A1 = A0 – 2a = A0 Và cơ năng dao động còn lại W =

2

- Goi q là công bội của cấp số nhân. Vì biên độ giảm theo cấp số nhân nên ta có
Sau chu kỳ thứ nhất biên độ còn lại là: A1 = q.A0
Sau chu kỳ thứ hai biên độ còn lại là: A2 = q.A1 = q2A0
Sau chu kỳ thứ ba biên độ còn lại là: A3 = q.A2 = q3A0
Sau chu kỳ thứ tư biên độ còn lại là: A3 = q.A3 = q4A0
- Theo giả thiết ta có A4 = 4 cm nên ta suy đươc : q = 4 0,8
- Vậy ta có sau chu kỳ thứ nhất thì biên độ còn lại là: A1 = 5 4 0,8 cm
và có cơ năng dao động W0 =

1 2
kA1 = 0,112 J
2

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W = 0,013 J
Vậy phần năng lượng cần cung cấp ngay trong chu kỳ đầu là W = 0,013 J
Kết luận phương pháp
Để tính năng lượng hoặc công suất cần cung cấp để duy trì cho hệ dao động
thì cần tuân thủ nguyên tắc là bổ sung (đúng) và (đủ). Nghĩa là phải bổ sung ngay
trong chu kỳ đầu tiên và đủ phần cơ năng dao động đã mặt trong chu kỳ đầu. Trên
nguyên tắc tác đó thì ta có thể tính giải quyết bài tập như sau:
18


- Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ để suy ra biên độ dao động ngay sau chu kỳ
đầu tiên.
- Tinh cơ năng dao động ban đầu và cơ năng dao động còn lại ngay sau chu kỳ đầu
tiên, từ đó suy ra độ giảm cơ năng ngay sau chu kỳ đầu.
- Phần năng lượng cần bổ sung chính là độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu và thời

nhanh nhất.
Tuy sáng kiên chỉ tập trung ở dao động cơ tắt dần của con lắc lò xo nằm ngang
nhưng dựa vào đó có thể áp dụng mở rộng cho dao động tắt dần của con lắc lò xo
trên mặt phẳng nghiêng, thẳng đứng, con lắc đơn cũng như các trương hợp dao
động tắt dần khác ở bậc THPT
Tóm lại: Tuy qúa trình thực hiện còn có thể gặp những khó khăn như đã nêu
trên, đồng thời việc tổ chức thực hiện với chỉ ở một số tiết học và trong thời gian
chưa nhiều. Nhưng với kết quả đạt bước đầu đạt đưaợc và cùng với sự đóng góp ý
kiến của các đồng nghiệp tôi tin tưởng rằng sáng kiến này trong thời gian tới sẽ là
tài liệu bổ ích đối với học sinh cũng như các đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu
quả của quả trình giảng dạy ở bậc THPT.
Rất mong được sự góp ý kiến bổ sung của các bạn đồng nghiệp
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 24 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người khác
Người viết SKKN

HOÀNG VĂN CHÍN

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO

4

TÊN TÀI LIỆU

- Nguyễn Duy Hiển
- Nguyễn Tuyến

21