UBND TỈNH SƠN LA
SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
–––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
–––––––––––––––––––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn : Toán
Ngày thi : 10.04.2012
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm)
Tính tổng
a) A = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2010 + 2012.
b) B = 1 + 20121 + 2012 2 + 20123 + ... + 2012 2010 + 20122011
Câu 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng:
2012
2010
∀a ∈ Z .
a) a − a M6
4
3
2
b) n − 4n − 4n + 16n M384 với n chẵn lớn hơn 4.
Câu 3: (2 điểm)

UBND TỈNH SƠN LA

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
–––––––––

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
–––––––––––––––––––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn : Toán
Câu

Phần

a)
2đ
1
4đ
b)
2đ

a)
2đ


2009

.(a − a ) M6.
3

Với n chẵn: n = 2k với k ∈ Z thì
n 4 − 4n3 − 4n 2 + 16n = (2k ) 4 − 4(2k )3 − 4(2k ) 2 + 16.(2k )

4đ
b)
2đ

= 16k .( k 3 − 2k 2 − k + 2)
= 16.(k − 2).(k − 1).k .( k + 1)
Do n > 4 ⇒ k > 2 ; (k − 2).(k − 1).k .(k + 1) là tích của 4 số tự nhiên
liên tiếp nên chia hết cho 3 và chia hết cho 8; (3,8) = 1 do đó
(k − 2).(k − 1).k .(k + 1) chia hết cho 3.8 = 24.
Vậy 16.(k − 2).(k − 1).k .( k + 1) M16.24 = 384 .

Điểm
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25


0.5

( n + 1)

n − n n +1
n ( n + 1)

0.25

1
1
−
n
n +1

0.5

Áp dụng tính
1
1
1
N=
+
+ ... +
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2012 2011 + 2011 2012

2đ


·
0
·
·
⇒ ∆ABG = ∆EAC
 BAG = EAC = 60 + BAC
 AG = AC

 BG = EC (1)
⇒
 ·AEC = ·ABG (2)
Tương tự ∆ACD = ∆GCB ⇒ AD = BG (3)
Từ (1) và (3) suy ra BG = EC = AD.
=

a)
2,0 đ

E

0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25


Nên tứ giác AOBE là tứ giác nội tiếp

0.25

·
Tương tự ·AOC = 1200 . Dễ dàng suy ra BOC
= 1200 nên tứ giác
BOCD nội tiếp.

0.25

·
·
Nối D với O thì DBC
= DOC
= 600 , do đó
·
·
·
DOC
+ COA
= DOA
= 1800

0.25

0

2đ


2 ( x − 2010).(2012 − x) ≤ ( x − 2010) + (2012 − x)

0.25

2 ( x − 2010).(2012 − x) ≤ 2
Dấu “=” xảy ra khi x – 2010 = 2012 – x hay x = 2011
Như vậy A2 ≤ 4 , do A2 ≥ 0 nên MaxA = 2 khi x = 2011.

b)
3đ

Điều kiện x ≠ −2; x ≠ −3; x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6 thì
1
1
1
1
1
+
+
+
=
x 2 + 5 x + 6 x 2 + 7 x + 12 x 2 + 9 x + 20 x 2 + 11x + 30 8
1
1
1
1
1
⇔
+
+

0.5

0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25


4
1
=
x 2 + 8 x + 12 8
⇔ x 2 + 8 x + 12 = 32
⇔

⇔ x + 8 x − 20 = 0
2

x = 2
⇔
 x = −10
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2; x = -10

0.25