PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
2.1. Tổng quát về phương trình vi phân cấp I
2.1.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F(x, y, y’) = 0 (1) trong đó: x là biến số độc
lập; y là hàm phải tìm; y’ là đạo hàm cấp một của y. Hay y’ = f(x;y) hay

= f(x;y) (2)

Ví dụ 1: Phương trình vi phân là 3yy’ + 3x2 = 0.
y2 dx + xdy = 0.
y’ = 2.1.2. Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét y’ = f(x;y)
Nếu hàm f(x;y) liên tục trong miền nào đó chứa (x 0, y0) thì phương trình vi phân cấp 1 đã cho sẽ
tồn tại một nghiệm y = y(x0); nghiệm này nhận giá trị y0 = y(x0).

Ngoài ra nếu
cũng liên tục trong miền nói trên thì y = y(x) là nghiệm duy nhất của phương
trình vi phân cấp một đã cho.
Điều kiện để hàm y = y(x) nhận giá trị y 0 tại x = x0 được gọi là sự kiện hay điều kiện đầu của
phương trình vi phân cấp một của một thường được ký hiệu:
học mà nói thì: nếu hàm f(x;y) và
một nghiệm:

. Như vậy về phương diện hình

liên tục ở trong miền nào đó có chứa (x 0, y0) sẽ tồn tại và duy nhất

y = y(x) mà đồ thị của nó luôn luôn đi qua một điểm (x 0, y0).
2.1.3. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một
Ta gọi nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp một là mọi hằng số có dạng y = j(x, c)
trong đó c là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình ấy.


là những hàm phụ thuộc x, y (x là biến độc lập; y là hàm cần tìm)

Ví dụ 3:

; (ex + x + 1)dx + (siny + 2cosy)dy = 0

2.2.2. Cách giải
Từ (1) ta có: M(x)dx = -N(y)dy. Lấy tích phân hai vế:
Û

và do đó tích phân tổng quát của (1)

· Chú ý: Xét phương trình vi phân cấp một M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = 0
Nếu M2(x), N1(y) ¹ 0 thì chia hai vế cho M2(x), N1(y)

(2) Û

và do đó tích phân tổng quát của (2)

Nếu

thì bằng cách thử trực tiếp:

·

x = a (khi y ¹ b)

·



Chứng minh: l ¹ 0 nên ta có thể chọn l =

Vì f(lx, ly) = lk.f(x;y) Û f(1;

)=(

)k f(x;y) Þ f(x;y) = xk .f(1;

) = xk j(

).

Þ Nếu f(x;y) là một hàm đẳng cấp đối với x, y thì nó luôn luôn được biểu diễn f(x;y) = j(

Ví dụ 5: f(x;y) =

=

f(x;y) =

=j(

=

).

).

= j(

= j(x) Þ x

= j(u) – u

Nếu j(u) – u ¹ 0 (luôn luôn khác 0) thì từ (2) ta có

vế

+

Þ

= f(u) Û

=

Nếu j(u) – u = 0 Þ

Þx=C.

do đó lấy tích phân hai

=C.

.

.

=


Ví dụ 7:

Đặt u =

y’ =

=

= j(

).

Þ y = u . x Þ y’ = u + x

Þu+x

Ûx

=

=

Ûx

Þ

=

=



Þu+x

-u=

=

+

Ûx.C

Û

= arctgu Û x . C

=

=

=

+
+

=

Ûx

Û


=

=

Sang hệ tọa độ cực:

, (*)Þ r =

.

là họ những đường xoắn ốc logarit.

(*)


2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp I
2.4.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:
y’ + p(x)y = q(x) (1). Trong đó: p(x), q(x) là những hàm số liên tục của biến x.
·

Nếu q(x) = 0 thì (1): y’ + p(x)y = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất.

·

Nếu q(x) ¹ 0 thì (1) gọi là phương trình không thuần nhất.

Ví dụ 8: y’ + 3x2 y = 0 là phương trình thuần nhất.

là phương trình không thuần nhất.

+ p(x).C.

= q(x).


dC = q(x).

.dx Þ C =

(4)

thì (3) là nghiệm của (1)
Vậy nghiệm tổng quát của (1) sẽ là:

y=[

]

hay y = x

+

.

(5)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) luôn luôn bằng nghiệm cộng với một
nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (1).

Ví dụ 9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

-

= 3x

= 3x

C’ = 3x2+ Þ C = x3 + x

Vậy: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

y = (x3 + x).

hay y = x2 +

vì y’x = 1 = 1 nên 1 = 1 + x Þ x = 0.

Þ y = x2 là một nghiệm riêng của phương trình (1) thỏa mãn y’x = 1 = 1
2.5. Phương trình BECNOULLI
2.5.1. Định nghĩa
Phương trình Becnoulli là phương trình có dạng:

.


y’ + p(x).y = q(x).
thực bất kỳ, a ¹ {0, 1}

, trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục của x còn a là một số

2.5.2. Cách giải

tìm.
Giải phương trình (3) ta sẽ nhận được nghiệm Z = Z(x) và sau đó thay Z vào Z =
được nghiệm tổng quát của phương trình Becnoulli.
Ví dụ 10: phương trình y’ – 2x.y = x3.y2 (1); (a = 2).

·

Nếu y ¹ 0:

-

= x3 Û y’.y2 – 2x.y-1 = x3 Þ Z’ = - y-2y’

Þ w: - Z’ + 2x.Z = x3

Û Z’ + 2xZ = - x3

Giải phương trình: Z’ + 2xZ = 0 (*) Û

Û

=-2

+

Ta coi C = C(x): Z = C.
Þ Z’ =
Þ C’ = - x3

Û

do đó nghiệm tổng quát của (2) là: Z = [

[x2

-

(1 – x2) + x]

(1 – x2) + x

]=

=

(1 – x2) + x

Thay Z vào (2) Þ nghiệm tổng quát của (1) là: Z = y- 1

Þ y = Z-1 =
2.6. Phương trinh vi phân toàn phần
2.6.1. Định nghĩa
Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (1) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái

(1) là vi phân toàn phần của một hàm u(x;y) nào đó trong D nghĩa là ở trong D:

;
2.6.2. Cách giải
Để nhận biết phương trình (1) có phải là phương trình vi phân toàn phần hay không và tìm cách
giải nó ta xét định lý sau:



;

Điều kiện đủ "(x;y)ÎD:

dy Þ P =

=

Þ

;Q=

=

=

Û

=

chứng minh Pdx + Qdy = du

Với u(x;y) trong miền D Þ u(M) = u(x;y) =
với A(x0, y0) là điểm cố định tùy ý
trong miền D. M(x;y) là điểm chạy tùy ý nằm trong miền D, C là hằng số tùy ý.

Thật vậy: Trước hết do điều kiện "(x;y)ÎD:
=
là điều kiện cần và đủ để

+C

(2)

Tương tự như vậy nếu ta chọn đường lấy tích phân là ANM thì:

u(x;y) =

+

Þ u(x;y) =

Từ (2):

Từ (3):

Þ du =

+C=

+

+

+C

+ C (3)

= Q(x;y)


+

+x


cho x0 = 0; y0 = 0

Þ u(x;y) =

+

(2 + 2x – y2)dx – 2y

2). Giải phương trình:
P=

Þ

+ x = x2y + x2y + x = x2y + x Þ x2y = x
dy = 0 (2)

(2 + 2x – y2) , Q = - 2y

= - 2y

;

= -2y

Þ