ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Mã số:
60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:


Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . .

13

1.2.3

Độ đo Hausdorff trong không gian Metric

. . . . . . . . . . . .

14

1.3

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


2.2

Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . .

29

2.3.1

31

Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.1

34

Tích phân sơ cấp và trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.1.1

35

3.3.1

Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3.2

Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4

Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 53

3.5

Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

59
63

2


Mở đầu
Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học

bình Daniell
.

∗

Ω

: R → [0, ∞] cho bởi f → I ∗ (|f |)

với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếm
được. Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình ... cũng dễ dàng
được chứng minh.
Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới định
nghĩa khái niệm độ đo. Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân của
hàm chỉ tiêu. Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tập
Borel là hệ quả của tích phân. Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phương
của quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh
được định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian
C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X .

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức
cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ
sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo.
Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo. Chương này trình bày
cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về
chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
trên R và một số tính chất của tích phân.
Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm. Chương này là

Nguyễn Thị Huệ

6


Bảng kí hiệu
Mµ : Tập tất cả các tập µ - đo được.

M([a, b]): σ - đại số Lebesgue sinh bởi [a, b].
MR : Lớp các hàm thực đo được.

M: Lớp các tập con đo được của Ω.
M( . ): Tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với . trên E+ .
L1 (Ω, F, µ): Tập hợp các hàm khả tích Lebesgue trên Ω.
L1 ( . ): Tập hợp các hàm khả tích đối với trung bình . .

Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là dàn vành khi đó:
E : Bao đóng của E .
u

E : Bao đóng đều của E .
E ↑ := h ∈ R : ∃ {φn } ⊂ E thỏa mãn h = supn φn .
E Σ : Giao của tất cả các dàn đóng chứa E và là dàn đóng bé nhất chứa E .

F: σ - đại số các tập con của Ω.
Ω

F := f ∈ R : f < ∞

1A (x) :=

∞

Ai ∈ F.

i=1

Nếu F là σ - đại số thì cặp (Ω, F) gọi là không gian đo được.
Định nghĩa 1.2. Tập hợp S các tập con của Ω được gọi là nửa vành nếu:
(i) ∅ ∈ S .
8


(ii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì A ∩ B ∈ S .
(iii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì tồn tại hữu hạn các tập con rời nhau Ci ∈ S ,
n

i = 1, n thỏa mãn A\B =

Ci .
i=1

Định nghĩa 1.3. Tập hợp R các tập con của Ω được gọi là vành nếu:
(ii) Nếu A ∈ R và B ∈ R thì A ∩ B ∈ R.
(ii) Nếu A ∈ R và B ∈ R thì A ∪ B ∈ R.
Định nghĩa 1.4. Một hàm tập cộng tính trên vành S là một ánh xạ µ từ S vào
một tập F có trang bị phép toán cộng. Ánh xạ này thỏa mãn tiên đề
µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B) nếu A ∩ B = ∅.

Hàm tập µ được gọi là cộng tính đếm được hay σ - cộng tính, nếu:
∞


k=1

µ (Ak )
k=1

Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo.
Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gian
xác suất.
Các tính chất cơ bản của độ đo
(1) µ (∅) = 0.
(2) A, B ∈ F , A ⊂ B , µ (B) < ∞ ⇒ µ (A\B) = µ (A) − µ (B).
9


(3) Tính đơn điệu: A, B ∈ F , A ⊂ B ⇒ µ (A) ≤ µ (B).
(4) Tính nửa σ – cộng tính dưới:
An ∈ F, A ∈ F, A ⊂

∞

∞

An ⇒ µ (A) ≤
n=1

µ (An ).
n=1

Định lý 1.1. Giả sử F là σ – đại số, µ là hàm tập không âm, cộng tính hữu



1.2.1

Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.8. Không Ω là một không gian mẫu. Một độ đo ngoài trên Ω là
một hàm µ∗ : P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn:
(i) µ∗ (∅) = 0.
(ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng).
(iii) µ∗ (

∞

n=1

∞

An ) ≤

µ∗ (An ) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới).

n=1

Định lý 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng. Cho một họ khác rỗng E ⊂ P(Ω),
∅ ∈ E , và một hàm h : E → R+ với h (∅) = 0 định nghĩa
µ∗ (A) = inf{

h(An ) : A ⊂
n

của µ∗ , tính σ - cộng tính dưới và tính cộng tính hữu hạn của µ chứng tỏ rằng
µ∗ (I) ≤ µ (I) ≤

µ (I ∩ Ik ) ≤

µ (Ik )

k

k

Vậy, µ∗ (I) = µ (I).
(ii) Cho I ∈ E và giả sử rằng A ⊂ Ω bị bao phủ bởi I1 , I2 ... với Ik ∈ E với mọi
k và thỏa mãn
µ (Ik ) ≤ µ∗ (A) + ε.
k

Từ Ik = (Ik ∩ I) ∪ (Ik ∩ I c ) và Ik ∩ I c là hợp hữu hạn của các tập rời nhau trong
E , nó chứng tỏ rằng µ (Ik ) ≥ µ (Ik ∩ I) + µ∗ (Ik ∩ I c ). Do đó,
µ∗ (A) + ε ≥
k

µ (Ik ∩ I c )

µ (Ik ∩ I) +

µ (Ik ) =
k

k

12


1.2.2

Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes

Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd , B(Rd )). Ta
d
k=1 (ak , bk ]

kí hiệu E là tập hợp tất cả các khoảng d - chiều

= (a, b] , với ak ≤ bk .

Khi đó, E là nửa vành.
Cho F : Rd → R là hàm liên tục phải tức là lim+ F (x) = F (a). Với a ≤ b và
x→a

1 < j < d, kí hiệu:
∆j (a, b) F (s) = F (s1 , s2 , ...sj−1 , b, sj+1 , ..., sd ) − F (s1 , s2 , ...sj−1 , a, sj+1 , ..., sd )

Định lý 1.6. Giả sử rằng F là liên tục phải và có số gia không âm tức là
d

∆j (aj , bj )F ≥ 0 với mọi khoảng d-chiều (a,b] bất kỳ. Thì µ nhận

µ ((a, b]) =
j=1


(a (m) , bε (m))
m=1

N0

Có N0 ∈ N sao cho (aε , b] ⊂ [a, b] ⊂

(a (m) , bε (m)). Cộng tính hữu hạn có
m=1

nghĩa là cộng tính dưới hữu hạn trên nửa vành E , do đó
ε
µ ((a, b]) < µ ((aε , b]) + ≤
2

N0

µ ((a (m) , bε (m)]) +
m=1

ε
2

∞

≤

µ ((a (m) , b (m)]) + ε
m=1



lim

mink xk

∞

F (x) = µ Rd ,

lim

mink xk

−∞

F (x) = 0.

iii. F là liên tục phải.
Ngược lại, nếu F thỏa mãn (i)-(iii) thì có độ đo µ trên Rd , B Rd

với phân

bố F.

1.2.3

Độ đo Hausdorff trong không gian Metric

Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R
không giảm với g(0) = 0 . Định nghĩa h : P(X) → R



được gọi là độ đo metric ngoài.
Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì
Hδg (A ∪ B) = Hδg (A) + Hδg (B)

Định lý 1.8. (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo metric ngoài thì mọi tập Borel là
µ∗ - đo được.

Điều kiện Lipschitz: Một hàm f giữa không gian metric (X, d) và (Y, ρ) là
Lipschitz bậc α > 0 nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 thỏa mãn:
ρ (f (x1 ) , f (x2 )) ≤ Ld (x1 , x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X .

Định lý 1.9. (Thuộc tính Lipschitz) Cho f là một hàm Lipschitz giữa không
gian metric (X, d) và (Y, ρ) bậc α > 0. Với mọi s ≥ 0,
H s/α (f (A)) ≤ Ls/α H s (A)

Chứng minh. Chú ý rằng diam(f (A)) ≤ L(diam(A))α . Cho δ > 0 đặt δ ∗ = Lδ α .
Nếu {An ⊂ Eδ là phủ đếm được của A, thì {f (An )} ⊂ Eδ là phủ mở của f (A). Khi
đó:
s/α

Hδ

diam (f (An ))s/α ≤ Ls/α

(f (A)) ≤
n

hệ quả là

4. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) < r} đo được.
5. Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≤ r} đo được.
Định lý 1.11. 1. Giả sử f, g là các hàm đo được. Khi đó, các tập {f < g} , {f ≤ g} ,
{f = g} là đo được.

2. Giả sử f, g các là hàm đo được. Khi đó, f ∨ g = max {f, g} ; f ∧ g =
min {f, g} ; f + g;

f
g

(g = 0) ; |f | α (α ∈ R+ ) là đo được.

3. Nếu f đo được và g(x) = f (x) µ - hầu khắp nơi thì g cũng đo được.
4. Cho (fn ) là dãy hàm đo được. khi đó các hàm
sup fn ; inffn ; lim sup fn ; lim inffn

là đo được.
Định lý 1.12. (Egorov) Cho (fn ) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ - hầu
khắp nơi. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac ) < ε sao cho fn hội tụ đều
tới f trên A.
Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian đo được (Ω, A) và (Ω, B) và f là ánh
xạ từ Ω vào X . Ánh xạ f được gọi là ((A - B)) – đo được hay gọi tắt là đo được
nếu ∀B ∈ B, f −1 (B) ∈ A, tức là nghịch ảnh của một tập đo được là một tập đo
được:
f −1 (B) ∈ A

Định lý 1.13. Giả sử (Ω, A) và (Ω, B) là hai không gian đo được và B = σ (C )
là một σ - đại số các tập con của Ω. Khi đó, f là (A - B) – đo được nếu và chỉ
nếu f −1 (C) ⊂ A.

(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧ 1 ∈ V với mọi
hàm thực f ∈ V .
Bổ đề 1.2. (Định lý Dini) Cho S là tập compact và cho {φn }n là một dãy các
hàm liên điểm tăng hội tụ điểm đến hàm liên tục φ. Thì φn hội tụ đều đến φ.

17


Định lý 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Nếu E
là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E của
E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.

Định lý 1.16. (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian Hausdorff
compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Giả
thiết rằng E tách các điểm tức là với mọi cặp điểm s = t trong S thì tồn tại φ ∈
E thỏa mãn φ (s) = φ (t) thì ta có:

(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S).
(ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 } .
Chứng minh. Kí hiệu V là không gian tất cả các hàm liên tục trên S nếu (i)
thỏa mãn, hoặc là không gian tất cả các hàm liên tục trên S triệt tiêu tại x
nếu trường hợp (ii) thỏa mãn. Khi đó E là một vành đóng với phép chặt cụt và
E = E . Vậy nó là đầy đủ với giả thiết E là dàn vành đóng với phép chặt cụt.

Cho f ∈ V . Với mọi s = t trong S , chọn ψst ∈ E sao cho ψst (s) = ψst (t). Vậy,
với mỗi t ∈ S trong trường hợp (i) hoặc t ∈ S\ {z} trong trường hợp (ii), chọn
ψt ∈ E sao cho ψt (t) = 1 và cho ψt ≡ 0 trong trường hợp (ii) và t = z . Với mỗi

cặp s = t ∈ S xác định
φst (x) = f (s) ψs (x) +

E là một vành và dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Ngoài ra, với f ∈ C(R) với

mọi f (0) = 0 và φ ∈ E thì f ◦ φ ∈ E .
Hệ quả 1.3. Cho E là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt trên tập S
nào đó và đặt S0 ⊂ S . Một hàm thực f trên S0 có thể được xấp xỉ đều trên S0
bởi hàm trên E nếu và chỉ nếu f là hạn chế trên S0 của một hàm f ∈ E nào đó.
Định nghĩa 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên tập S. Tính E - đều
của S là tập hợp giả metric dφ : φ ∈ E

định nghĩa bởi

dφ (x, y) = |φ (x) − φ (y)|

Một hàm f : S → E , với (E, d) là không gian metric là E - liên tục đều nếu
với mọi ε > 0 có δ < 0 và {φ1 , φ2 ...φn } ⊂ E thỏa mãn
dφk (x, y) < 0 suy ra d (f (x) , f (y)) < ε.
1≤k≤n

Định lý 1.17. (Định lý Stone Weierstrass tổng quát) Cho E là một vành hoặc
một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt của các hàm thực bị chặn trên S . Một hàm
thực f là E - liên tục đều nếu và chỉ nếu f là tổng của một hằng số và một hàm
u

trên E .

1.4.2

Các lớp đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.16. Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ

φ−1 ((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0 .

(iv) f ∈ E Σ nếu và chỉ nếu f −1 (I) ∈ R (E) với mọi khoảng mở I trong R\ {0}.
Đặt MR (E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E).
Định lý 1.19. Giả sử E là một vành hoặc một dàn véctơ của các hàm bị chặn
đóng với phép chặt cụt thì E Σ là đại số khi và chỉ khi có dãy {φn } ⊂ E thỏa mãn
supn φn > 0 trên Ω. Trong trường hợp đó R(E) = σ(E) và E Σ = MR (E).

Một ứng dụng quan trọng của định lý lớp đơn điệu của hàm số là để xác
định xem liệu hai độ đo hữu hạn trên B(Rd ) có trùng nhau không.
20


Chương 2
Tích phân theo quan điểm của lý
thuyết độ đo
Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu tích phân Riemann và các ứng dụng
của nó. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có những hàm đo được đơn giản
nhưng không khả tích Riemann. Do đó, Lebesgue đã đưa ra phương pháp mới
là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm
ứng với những giá trị gần nhau của f (x). Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậc
thang để xấp xỉ f (x).

2.1

Tích phân Lebesgue trìu tượng

Cho (Ω,F) là không gian đo được. Với mỗi A ⊂ Ω, hàm giá trị thực được
xác định bởi 1A (ω) = 1 khi ω ∈ A và 1A (ω) = 0 khi ω ∈
/ A được gọi là hàm chỉ

sdµ
E

thì ν là một độ đo trên (Ω, F). Ngoài ra
(s + t)dµ =
Ω

sdµ +
Ω

tdµ
Ω

Chứng minh. Giả sử rằng {a1 , a2 , ...an } là tất cả các giá trị xác định bởi s và đặt
Ak = s−1 ({ak }). Từ (2.1) dễ dàng có được ν (∅) = 0. Nếu Ei là một dãy các tập

đo được rời nhau và E =

i Ei

thì

n

n

n

ak µ (Ak ∩ E) =


và Ekj = Ak ∩ Bj thì
(s + t)dµ = (ak + bj ) µ Ekj = (ak + bj ) µ (Ak ∩ Bj ) .
Ekj

Phần thứ nhất được chứng minh và đẳng thức (2.2) có nghĩa là
n

(s + t)dµ =

(s + t)dµ =

(ak + bj ) µ Ekj
k=1 j=1

kj E
kj
n
m

Ω

m

n

m

ak µ (Ak ∩ Bj ) +

=


1E .sdµ.

sdµ =
E

Ω

(ii)

sdµ =
Ω

tdµ
Ω

với E ∈ F và 0 ≤ s ≤ t là các hàm đơn giản.
Bổ đề 2.2. Cho f : (Ω, F) → [0, ∞) hàm đo được Borel. Thì
(i) Có một dãy các hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ sn ≤ sn+1 < ∞ với
mỗi n ∈ Z+ và lim sn (ω) = f (ω) , ∀n ∈ Z+ , ω ∈ Ω.
n→∞

(ii) Có một dãy các tập An ∈ F và dãy các hằng số αn ≥ 0 sao cho f =

∞

αn 1An .
n=1

Định nghĩa 2.2. Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f trên

f− (ω) với f+ (ω) := f (ω) ∨ 0; f− (ω) := f (ω) ∧ 0. Rõ ràng f là đo được khi và chỉ

khi f+ , f− là các hàm đo được. Tương tự, một hàm giá trị phức g là đo được khi
và chỉ khi u = Re(g) và v = Im(g) là các hàm đo được.
Định nghĩa 2.3. Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được f
|f |dµ < ∞.

trên Ω là khả tích nếu
Ω

Tập tất cả hàm khả tích trên Ω kí hiệu là L1 (Ω, F, µ).
Giả sử rằng

f+ dµ hoặc
Ω

f dµ
Ω −

f dµ được định nghĩa bởi
Ω

f+ dµ −

f dµ =
Ω

hữu hạn. Thì

Ω