www.huongdanvn.com
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS
thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm
của học sinh khi giải toán
1. Đặt vấn đề:
ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh,
có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải
toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trờng phổ thông. Các bài toán là
phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển t duy hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán là
điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả
việc dạy học giải toán co vai trò quyết định đối với chất lợng giờ dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn ở các trờng phổ thông cho thấy chất lợng dạy học
Toán còn cha tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học
sinh vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phơng pháp toán học. Trong đó, một
trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên còn cha chú ý một cách đúng
mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh
ngay trong các giờ học Toán để từ đó có nhu cầu về nhận thức sai lầm, tìm ra
nguyên nhân và những biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời các sai lầm này,
nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy
học toán trong các trờng phổ thông.
Với lí do đó, qua việc quản lý và giảng dạy, chúng tôi đề cập tới Rèn
luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phân tích và sửa chữa các
sai lầm của học sinh khi giải toán, nhằm nghiên cứu các sai lầm phổ biến của
học sinh phổ thông khi giải toán, đồng thời đề xuất các biện pháp s phạm để hạn
chế và sửa chữa các sai lầm nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh, góp
phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán ở trờng phổ thông.
Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng:
Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình, A.A.Stoliar phát
biểu: Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học
sinh, còn theo J.A.Komenxkee thì: Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm

Lời giải sai lầm: ? Ta có: P = 1 + x + 1 x = 2
Phân tích sai lầm: ! Nhớ rằng: a 2 = a với a 0. Do đó phải sử dụng hằng
đẳng thức a 2 = a
Lời giải đúng là:

P = 1+ x + 1 x
2x nếu x >1

P=

2 nếu -1 x 1
-2x nếu x < -1

Thí dụ 2: Rút gọn:
2


www.huongdanvn.com
Q = x x + 2 x3 + 2 x 2
? Ta có: Q = x 2 ( x + 2) x3 + 2 x 2
= x3 + 2 x 2 x3 + 2 x 2 = 0
! Có thể thay x = -1 vào biểu thức Q thì thay Q = (-1).
( 1) + 2 ( 1)3 + 2( 1) 2 = 1 1 = 2 . Chứng tỏ kết quả rút gọn trên là sai ! Vì

sao? HS nên nhớ rằng chi có a b = a 2b nếu a 0. Lời giải trên chỉ đúng khi x
0.
2.1.2. Sai lầm khi giải phơng trình, bất phơng trình:
Những sai lầm khi giải phơng trình thờng mắc khi HS vi phạm quy tắc
biến đổi phơng trình, bất phơng trình tơng đơng. Đặt thừa hay thiếu các điều kiện
đều dẫn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải đợc nữa! Một số sai

x + 2 0.

Thí dụ 3: Giải phơng trình:
x2 1 x + 1 = x + 1

? Điều kiện để căn thức có nghĩa:
x2 1 0

x +1 0

( x 1)( x + 1) 0

x +1 0

3


www.huongdanvn.com


x 1 0

x +1 0

x 1

x 1

x 1



A 0



A = 0

Bconghia
A > 0

B 0

Lời giải đúng là: Điều kiện căn thức có nghĩa:
x2 1 0

x +1 0

x 1

x 1
x 1


x = 1
x 1



Thay x = -1 thoả mãn phơng trình
Với x 1 làm nh lời giải trên.

15
khi nào không là nghiệm của
5a

phơng trình. Vì nghiệm phải thoả mãn x 2 nên khi

15
5
=2 a=
thì ph5a
2

ơng trình vô nghiệm. Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là:
a 5

Nếu
5
a 2

thì x =

a = 5

Nếu
5
a = 2

thì phơng trình vô nghiệm

15

! Sai lầm khi viết

b 0

Cần lu ý HS rằng: a = b

a = b

2

(không cần đặt điều kiện a 0). Ta có x =

37
không là nghiệm.
4

Thí dụ 7: Giải bất phơng trình:
1
x 2x 3
2

? (*)



www.huongdanvn.com

Mà đúng ra

ab
>0
ab

1 1
<
a b

ab > 0

a > b
ab < 0

a < b



2.1.3: Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức:
Các sai lầm thờng bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển
mà không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, hoặc sử dụng sai sót các quy
tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia.
Thí dụ 1: So sánh:
x+

1
và 2


! Sai lầm vì không để ýđến điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức
Cauchy:
a+b
ab
2

Với a 0 và b 0.
2
1
(
x 1)

2
Lời giải đúng: Xét x +
=
x
x

( x 1) 2 0

x>0 x+

( x 1) 2 < 0

x < 0 x+

x
x


4

! Lại vẫn sai nh đã phân tích ở thí dụ 1, vì a và 1 a chỉ không âm khi a
[ 0;1]

Lời giải đúng là:
(*)

a a2

1
1
a2 a + 0
4
4

2

1
a ữ 0


2

hiển nhiên đúng với mọi a

Thí dụ 3: Chứng minh rằng nếu:
a+b+c

>0

(y 2)2 0
7


www.huongdanvn.com
Vậy F (x, y) 0 x, y R
Từ đó suy ra minF(x,y) = 0
! Sai lầm của lời giải là không chỉ ra các giá trị của x, y để F(x, y) = 0.
Nhớ rằng: F(x, y) 0 x, y R và nếu tồn tại x0, y0 sao cho F(x, y) = 0 thì mới
kết luận đợc minF(x;y) = 0. Đối với bài toán này, không tồn tại x 0; y0 để F(x0;y0)
=0
Lời giải đúng là:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với
a1 = -1

a2 = 1

a3 = 1

b1 = (x + y);

b2 = x + 1;

b3 = y -2

ta có:
1 = ( 1).( x + y ) + 1.( x + 1) + 1.( y 2)
3. F ( x, y ) 1 3F ( x; y) F ( x; y)
b


5
x= ; y=
3
3
3

Thí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
f(x) = x +

? Đặt t = x +

1
1

2 x + ữ+ 5
2
x
x


1
1
thì x 2 + 2 = t 2 2 nên
x
x

f(x) = g(t) = t 2 2t + 3 = (t 1) 2 + 2 2t R . Đẳng thức xảy ra t = 1
Do đó min f(x) = 2 t = 1
! Sai lầm là chuyển bài toán không tơng đơng. Giá trị nhỏ nhất của f(x)

1

x +3

(

)

2

x + 3 =1

Thấy ngay không có giá trị của x thoả mãn vì

x +33

(

)

2

x +3 9 >1

Vậy f(x) không có giá trị nhỏ nhất.
! Không có giá trị của x để f(x) = -1 thì chỉ suy ra đợc giá trị min f(x) > -1
và lời giải trên không đi đến đợc min f(x)
Thí dụ 4: Cho x, y là các số nguyên dơng, thoả mãn: x + y = 2011.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x).
(Trích đề thi HSG tỉnh Toán 9 năm học 2010 2011)

4

! Dấu bằng ở bất đẳng thức (*) không xảy ra do điều kiện x, y nguyên dơng nên dấu bằng ở bất đẳng thức (**) không xảy ra.
2.1.5. Sai lầm khi giải bài toán phơng trình bậc hai.
Khi giải toán về phơng trình bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý
đến giả thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn
những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trờng hợp cần biện luận.
Thí dụ 1: Tìm m để phơng trình:
9


www.huongdanvn.com
(m 1)x2 + (2m -1)x + m + 5 = 0
Có hai nghiệm phân biệt?
? Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:
> 0 (2m 1)2 4(m- 1)(m + 5) > 0


-20m + 21 > 0



21
20

m



xy = m2 -3

Do đó: F = m2 6m 3
= m2 6m 3 = (m 3)2 12
Vậy min F = -12



m=3

F không có giá trị lớn nhất vì F là hàm bậc hai với hệ số m2 là a = 1 > 0
! Lời giải không đặt điều kiện để tồn tại x và y. Do đó đã xét với mọi m
thuộc R.
2.2. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh trung học
cơ sở khi giải toán
2.2.1. Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính
của các khái niệm toán học.
Chúng ta biết rằng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của t duy toán
học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trng
cho bản chất của các đối tợng đợc phản ánh trong khái niệm chính là nội hàm
của khái niệm. Tập hợp các đối tợng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại
10


www.huongdanvn.com
diên của khái niệm. Việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên của một khái
niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất khái niệm.
Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong


Diễn đạt sai
Không phát
phânhiện
tích
Không

sai

Giáo viên

Không củng cố
Không phân loại

2.2.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí.
Định lí là một mệnh đề đã đợc khẳng định đúng. Cấu trúc thông thờng của
định lí có dạng A B. Trong cấu trúc của định lí A B thì A là giả thiết của
11


www.huongdanvn.com
định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng đợc định lí. Ngời ta còn nói A là
điều kiện đủ để có B. Nhng khá nhiều học sinh lại không nắm vững hoặc coi thờng giả thiết A nên dẫn tới sai lầm khi giải toán.
Khi học định lí Viét thuận, nhiều học sinh chỉ nhớ tổng và tích hai nghiệm
là bao nhiêu, chứ không để ý tới giả thiết của định lí là phơng trình phải là phơng
trình bậc hai có nghiệm (a 0, 0 ) do đó học sinh sẽ mắc sai lầm khi áp dụng
định lí này.
Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết chỉ áp
dụng bất đẳng thức cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x + 1/x
với 2 số đã áp dụng ngay để có kết luận sai lầm x + 1/x > 2 với x 1 và x + 1/x

cha
đúng

Có B
suy ra
có A

Có A
nhng
suy ra
không
phải B

Lời giải sai

Học sinh

Giáo
viên
2.2.3. Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic:
Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán một trong các
hình thức của t duy. Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của lôgic
12


www.huongdanvn.com
học. Học sinh thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy
luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán.
Ngay việc sử dụng từ nối và, hoặc vẫn là điều khó khăn của rất nhiều
học sinh. Lẽ ra cần khẳng định: tam giác cân hoặc vuông thì lại khẳng định tam

13


www.huongdanvn.com
ở đây cũng cần lu ý phân biệt việc cha hiểu hết với hiểu sai. Có những
khái niệm khó, học sinh không hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua
các hoạt động nhận dạng và thể hiện mới đi tới sự trọn vẹn. Chính việc cha hiểu
hết các thuộc tính của khái niệm sẽ rất dễ dẫn đến hiểu sai khái niệm. Do đó có
những sai lầm của học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính của
khái niệm thì mới mong học sinh hết hiểu sai. Ví dụ: Khái niệm hàm số, học
sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính của khái niệm đó là:
+ Tập X, Y là các tập hợp số.
+ Mỗi giá trị của x đều có giá trị y tơng ứng.
+ Giá trị tơng ứng y là duy nhất.
* Tình huống 2: Dạy các định lí toán học nh thế nào để học sinh tránh sai
lầm khi giải toán?
Nói tới định lí toán học là nói tới một khẳng định đúng (dù chúng ta có
dạy phép chứng minh định lí hay không). Tuy nhiên, việc quan trọng mà giáo
viên cần quan tâm đầu tiên là cấu trúc lôgic của định lý. Nh chúng tôi đã phân
tích, việc không nắm vững cấu trúc định lí sẽ dẫn học sinh tới sai lầm khi giải
toán. Các định lí toán học thờng đợc diễn đạt theo cấu trúc A B. Ai cũng biết
A là giả thiết và B là khẳng định, kết luận của định lí. Nhng chúng tôi xin lu ý
thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽ kết luận, suy ra đợc gì khi
có A.
Dạy định lí toán học có thể đợc thực hiện theo hai con đờng, con đờng suy
diễn và con đờng có khâu suy đoán.
Nhằm hạn chế và đề phòng các sai lầm của học sinh khi giải toán chúng
tôi thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết của định lí. Học sinh nhiều khi
không quan tâm tới giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận của định lí nên
dẫn tới sai lầm.

Khi dạy một định lí cần chỉ ra cho học sinh các hớng dẫn ứng dụng của
định lí để tạo ra sự nhạy cảm của học sinh khi đứng trớc một bài toán biết nghĩ
tới việc vận dụng định lí nào.
Điều đặc biệt cần lu ý là khi dạy định lí toán học cho học sinh là giáo viên
cần cho học sinh thấy rõ phơng pháp phân tích chứng minh định lí. Chính biện
pháp này giúp cho học sinh dễ đi tới chứng minh đúng trong giải toán sau này.
* Tình huống 3. Cung cấp các kiến thức về lôgic nh thế nào để học sinh
tránh sai lầm khi giải toán?
Theo thực nghiệm của chúng tôi, việc đa các ví dụ theo ngôn ngữ tự nhiên
cần đi trớc các thí dụ theo ngôn ngữ toán học. Đây chính là con đờng đi từ trực
quan sinh động đến t duy trừu tợng của nhận thức. Chẳng hạn có thể nêu
mệnh đề A = Trời nắng ; B = Đội mũ thì thông thờng học sinh đợc nhắc nhở
Nếu trời nắng thì đội mũ nên học sinh dễ hình dung ra ý nghĩa của phép kéo
theo A B.
A là đủ để có B nhng lu ý là nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời không
nắng, nghĩa là A cha phải là điều kiện cần để có B.
Đặc biêt, nếu A B là đúng thì đây là một ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề
đảo B A không đúng, học sinh có thể thấy ngay việc mình đội mũ không làm
cho trời nắng.
Chẳng hạn, nếu A = số tự nhiên có tận cùng là 0 ; B = số tự nhiên có
tận cùng là 5 ; C = số tự nhiên chia hết cho 5
C ( A B ) do đó

thì ta có ( A B ) C đồng thời

( A B ) C là tiêu chuẩn chia hết cho 5 của số tự nhiên. Khi

kiểm tra một số chia hết cho 5 hay không chỉ cần kiểm tra A hoặc B. Từ đó phủ
15



a=0
b=0
c=0
vô định

= b2 4ac

b0

c0

PT có nghiệm

VN

duy nhất

0

nghiệm kép 2 nghiệm phân biệt

Việc rèn luyện cho học sinh lập các sơ đồ nh trên vừa làm học sinh nắm
vững phơng pháp giải, vừa phát triển t duy cho học sinh. Từ đó học sinh có thể
tránh sai lầm khi giải toán.
Tuy nhiên cũng cần lu ý học sinh là với một loại toán có thể có nhiều phơng pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phơng pháp giải tối u để giải
quyết bài toán cụ thể.

chú ý đối với học sinh.
Chẳng hạn giáo viên có thể chú ý bất đẳng thức Cauchy chỉ đợc áp dụng
với các số không âm, vì vậy để chứng minh a (1 a)

1
bằng cách áp dụng
4

bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 a là sai lầm. Tất nhiên, để dự báo tốt
17


www.huongdanvn.com
giáo viên phải đợc trang bị hiểu biết về các sai lầm của học sinh khi giải toán và
phải có năng lực chuyên môn, kinh nghiệm s phạm.
*Giai đoạn 2: Sai lầm xuất hiện trong lời giải của học sinh:
Đây là giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải kết hợp đợc ba nguyên tắc kịp thời,
chính xác, giáo dục cùng với sự tích cực hoá của học sinh để vận dụng các hiểu
biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa
chữa lời giải.
Quy trình ở giai đoạn này là giáo viên theo dõi thấy sai lầm giáo viên
gợi ý để học sinh tìm ra sai lầm học sinh tự tìm ra sai lầm giáo viên gợi ý
chỉnh lời giải học sinh thể hiện lời giải đúng giáo viên tổng kết và nhấn
mạnh sai lầm đã bị mắc.
Nhiều sai lầm của học sinh khá tinh vi, có khi giáo viên không phát hiện
kịp thời.
Giai đoạn này đòi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo s phạm để
tăng hiệu quả giáo dục.
Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên quyết định sử dụng các biện pháp
s phạm thích hợp.

hiện

Phòng tránh

Phân tích sửa
chữa

Củng cố
thử thách

Chúng
Sai lầm
đợc
xoá bỏ

Chúng ta có thể khẳng định rằng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm trong khi
giải toán, nếu những sai lầm của học sinh đợc hệ thống lại thì sẽ giúp giáo viên
dễ phát hiện trong lời giải của học sinh; những sai lầm đó xuất phát từ nhiều
nguyên nhân về kiến thức, để từ đó giáo viên có biện pháp phân tích, sửa chữa
sai lầm cho học sinh khi giải toán, nâng cao chất lợng giảng dạy học bộ môn
Toán ở trờng phổ thông.

19


www.huongdanvn.com

III. Kết luận
Đề tài đã chỉ ra các sai lầm của học sinh khi giải toán là hiện tợng phổ biến
hiện nay, kể cả học sinh khá giỏi môn toán. Các sai lầm này có thể hệ thống lại,