SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009

MÔN THI : TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài :180 phút

Bài 1 ( 4 điểm)
Cho hàm số: y = x 3 − 3x + 2 có đồ thị là ( C) và một điểm M thay đổi trên đường thẳng
(D) có phương trình: y = -3x + 2. Biện luận số tiếp tuyến kẻ được từ M tới ( C).
Bài 2 ( 4 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC biết:
5
cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0
2

Bài 3 ( 4 điểm)
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính bằng a. O nhìn các cạnh AB, BC,
CD, DA một góc 60o. Tìm tứ diện có thể tích lớn nhất.
Bài 4 ( 4 điểm)
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) biết rằng:
 u1 = 2

3
 u n +1 = 9u n + 3u n ; (n = 1, 2,3...)


(2)
3x − 3 = k

(1)

1đ

Thay k từ (2) vào (1) ta:
 x = 0(kep)

x − 3x + 2 = (3x − 3)(x − a) − 3a + 2 ⇔ x (2x − 3a) = 0 ⇔ 
3a
 x = 2
3

2

2

1đ

Biện luận: - Nếu a=0, có một tiếp tuyến ( khi đó (d) trùng với (D) và M là điểm uốn của ( C))
- Nếu a khác 0, qua M có hai tiếp tuyến.
1đ
Bài 2 (4 điểm)
2
Đẳng thức đã cho ⇔ 2 cos A − 1 + 2 3 [ cos(B + C).cos(B − C) ] +

5
=0


2

2

1đ

Bài 3 ( 4 điểm )
Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính bằng a . O nhìn các cạnh AB , BC, CD
, DA một góc bằng 600 suy ra AB = BC = CD = DA = a
1đ
⊥
⊥
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BD ta có MN AC , BD (NAC)
1
3

Đặt AC = x , BD = y ta có VABCD = S NAC BD =

1
xy 4a 2 − x 2 − y 2
12

1đ

Áp dụng bất đẳng thức Cau Chy ta có:
3

VABCD


0,5đ

Bài 4 ( 4 điểm)
 V1 = 6

Đặt Vn = 3u n . Ta có: 

1đ

3
 Vn +1 = Vn + 3Vn
 x1 + x 2 = 6
Chọn x1 , x 2 sao cho: 
 x1x 2 = −1
1−1

1−1

+/ Với n = 1, ta có: V1 = 6 = x1 + x 2 = x13 + x 32
k −1

1đ

k −1

+/ Với n = k, giả sử: Vk = x13 + x 32

(

k −1

k −1

+ x 32

) + 3( x

)

3k −1
1

k −1

+ x 32

) =x

3k
1

n

Suy ra, theo nguyên lý quy nạp thì: Vn = x13 + x 32 ; ∀n ∈ N *
1

k

+ x 32

1,5đ

1đ

Do f ( (y − x)f (x) ) ≠ 0 ⇒ (y − x).f (x) < 2 . Ta cho x cố định, còn y → 2 (do tính liên tục)
thì ta có:
2−x
1
2−x
2
≤
≤
⇒ f (x) =
.
2
f (x)
2
2−x
 2
, x ∈ [ 0;2 )

Tóm lại: f (x) =  2 − x
0
x ∈ [ 2; +∞ )


1đ

LƯU Ý:
- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ
- Thí sinh có lời giải đúng trong phạm vi kiến thức của chương trình (khác với đáp án)
thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.