SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP

HẢI DƯƠNG

TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời
gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1( 2,0 điểm):
1) Cho I  2;1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y  x 3  3mx  1 có hai điểm cực trị
A, B sao cho diện tích  IAB bằng 8 2 .
2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ biển đến một vị trí B
trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với
bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống
dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá
để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Giải phương trình

8
 tan x  cot 3 x
3
sin 2x

3
2

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức


3) Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho

CN AM

. Tìm giá trị
SC AB

nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.
Câu 5 (1,0 điểm):
Với các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

1
8


Ta có AB  4m  4m  1 , d  I, AB  

4m
4m 2  1



4m
4m 2  1

 do m  0 

1
1
4m
S ABI  .AB.d  I, AB  
4m  4m 2  1 .
8 2
2
2
4m 2  1
� 4m m  8 2 � m m  2 2 � m  2  TM 
Kết luận: m  2
2) Đặt CD  x  km  , x � 0;9
� CD  x 2  36; AD  9  x nên chi phí xây dựng đường ống là
T  x   260000000 x 2  36  100000000  9  x  đồng
+ Xét hàm số T  x  trên đoạn  0;9 ta có
� 13x
�
T  x   20000000 �

8
cos 4 x  sin 4 x

sin 3 2x
sin 3 x cos x

1
 cos 2 x  sin 2 x � 1  cos 2x.cos 2 x
cos 2 x

� cos 2 2x  cos 2x  2  0
cos 2x  1
�
��
kết hợp với điều kiện: phương trình vô nghiệm
cos 2x  2
�
3
2
3
�
 1
�x  6x  13x  y  y  10
2) Giải hệ phương trình �
3
2
� 2x  y  2  5  x  y  x  3x  10y  8  2 


�2x  y  2 �0

3  x  3

2  x  3



3x  3 1  7  2x

  x  3   x 2  10 

 3

7
PT (3) vô nghiệm vì với 0 �x � thì
2

3
2

�1  2  3, x 2  10 �10
3x  3 1  7  2x

�x  3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất �
�y  1
Câu 3
u n 1  5u n  12 � u n 1  3  5  u n  3 
Đặt v n  u n  3 � v n 1  5v n n ��* � dãy số  v n  lập thành cấp số nhân có công bội
q  5, v1  u1  3  10
� v n  v1q n 1  10.5n 1 � u n  2.5n  3

� 2t 2  2t  4  0 � �
. Vậy H  1;7 
t  2  L 
�

2


Câu 4
1) Xét tứ diện SABC có SA  SB  SC  a
�  600 � AB  a
ABS đều do SA  SB, ASB
SBC vuông tại S: BC  a 2
SAC : AC  SA 2  SC2  2SA.SC.cos1200  a 3
Có AC2  AB2  BC 2 � ABC vuông tại B
Hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a . Hạ SH   ABC  � H là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC � H là trung điểm của AC
a
a2 2
1
a3 2
Xét SAC : SH  ; SABC 
� VS.ABC  SH.SABC 
2
2
3
12
2)

r uuu

4
�4
�





Do A', B', C' G đồng phẳng nên
uuuur
uuuuur
uuuuu
r
r
r r
C 'G  mC ' A '  nC ' B'  mxa  nyb  c  mz  nz   2 
r r r
Mà a, b, c không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có
1
�
mx 
�
4
�
1
1 1 1
�
ny 
�   4
�


� VA.A 'B'C'  VB.A 'B'C '  VC.A 'B'C '  VS.A 'B'C'
VS.A 'B'C ' SA ' SB' SC '

.
.
 xyz � VS.A 'B'C'  xyzVS.ABC
VS.ABC
SA SB SC


Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
1 1 1
1
4 �۳�3�
x y z
xyz
khi x  y  z 

27
64

xyz

P

VA.A 'B'C' VB.A 'B'C' VC.A 'B'C '

27
VS.ABC

r uuuu
r uuu
r uur uuur
r r r r
r
r
r
r
MN  MA  AS  SC  CN  m b  a  a  c  mc   m  1 a  mb   1  m  c





r r a2 r r
rr
a2
2
2
2
Do a.b  , b.c  0, a.c  
nên MN   3m  5m  2  a
2
2
5 � 11 2
2�
3a�

m
�

2b 2
2

Mặt khác

a

1
2a  b  8bc
c

b

1
2  a  b  c
8

5  2  a  c   2b 2
2

8
5a bc

1
8

Do đó P �
2  a  b  c 5  a  b  c
Đặt t  a  b  c, t  0
Xét f  t  

-

5
3
0

�
+

9a 3 2
256




9
10

Từ bảng biến thiên
�5 �
 �
f
f��
 t  
�3 �
Khi a  c 

9
10