Trờng đại học Bách KHOA



-------ể ( ễ-------

bài tập cơ học đại cơng (Mécanique générale)

cơ học đại cơng dao động và sóng cơ
dùng cho sinh viên chơng trình đào tạo kỹ s chất lợng cao

(LƯU HàNH NộI Bộ)




Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale)

PFIEV aỡ nụng

PHệN I :

BAèI TP C HOĩC VT RếN

2


Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng


ϖ
ω
(chán ca ngỉåìi choi x treo).
Cho biãút: OM = AB = DC = b; MP = d.
Bi gii :
̌ Gia täúc âiãøm P trong hãû quy chiãúu R2 :
Hãû quy chiãúu R2 (O, er , eθ , ez ) gàõn liãưn våïi âu chuøn âäüng quay quanh trủc cäú âënh trong hãû
quy chiãúu trại âáút R1.
Trong R2, âiãøm P quay âãưu xung quanh M våïi váûn täúc gọc ω bàòng hàòng säú :
v( P) / R 2 = ωez × MP
Biãøu diãùn trong cå cåí (er , eθ , ez ) ca R2, ta cọ :
Våïi :

⎧0
⎪
ez = ⎨0
⎪1
⎩

⇒ a ( P) / R 2

⎧d cos ωt
⎪
v : MP = ⎨d sin ωt
⎪0
⎩

⎛ d ( v( P ) / R 2 ) ⎞
=⎜
⎟

+ Cạc khạc âãø xạc âënh v( P) / R 2 : Trong R2, ngỉåìi chåi x treo quay
âãưu quanh quanh âiãøm M nãn v( P) / R 2 cọ giạ trë : ω.MP , cng chiãưu
våïi chuøn âäüng , nàòm trong màût phàóng chuøn âäüng v
⎧−ω d sin ωt
⎪
v( P ) / R 2 ⊥ MP . Do âọ cọ thãø viãút ngay : v( P ) / R 2 = ⎨ω d cos ωt
⎪0
⎩

⊗
ez

P

M

θ
T

3


Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng

+ Cạch khạc âãø xạc âënh a ( P) / R 2 : Do trong R2, ngỉåìi chåi x treo quay âãưu quanh âiãøm M
våïi váûn täúc gọc ω nãn gia täúc trong R2 chè cọ thnh pháưn hỉåïng tám hỉåïng tỉì P vãư M, giạ trë
⎧−ω 2 d cos ωt
⎪

thç : ωt = π (chán P åí trãn cao) ⇒ ⎨aC ( P ) = 2θ 0ω 2 der
Tải t =
ω
⎪
2 2
⎩ae ( P ) = −θ 0 ω (b − d )er
̌ Gia täúc theo ca âiãøm P trong hãû quy chiãúu trại âáút R1 :
a ( P) / R1 = ae ( P) + aC ( P) + a ( P) / R 2 ⇒ a ( P ) / R1 = ω 2 [ d + 2θ 0 d − θ 02 (b − d )]er
@Ạp dủng 2 (Trang 16): Momen âäüng lỉåüng ca mäüt thanh:
Hai cháút âiãøm A v B, giäúng nhau, khäúi lỉåüüng m, âỉåüc liãn kãút våïi nhau bàòng mäüt thanh chiãưu
di b, khäúi lỉåüng khäng âạng kãø.
A chuøn âäüng trãn mäüt vng trn tám O, bạn kênh b, v thanh AB cọ thãø dao âäüng xung
quanh mäüt trủc âi qua A v vng gọc våïi màût phàóng chuøn
âäüng.
O
Tênh âäüng lỉåüng v momen âäüng lỉåüng ca hãû AB âäúi våïi âiãøm
y
O theo cạc gọc α , β v cạc âảo hm ca chụng.
A
α
Bi gii :
B
̌ Phỉång phạp 1 : (Dng âënh nghéa) :
β
Ta cọ : P = ∑ mi .vi ⇒ P = mv( A) + mv( B )
x
i
LO = ∑ OM i × mi vi ⇒ LO = OA × mv( A) + OB × mv( B)
i


⎪0
⎩

⎧−mb(2α sin α + β sin β )
⎪
Suy ra : P = ⎨mb(2α cos α + β cos β ) LO = mb 2 ⎡⎣ 2α + β + (α + β ) cos(α − β ) ⎤⎦ ez
⎪0
⎩
̌ Phỉång phạp 2 : Dng âënh l Koenig :
Ta cọ : P = ( ∑ mi ) v(G ) = 2mv(G )
1
1
⎧
⎧
⎪b(cos α + 2 cos β )
⎪−b(α sin α + 2 β sin β )
⎪
⎪
1
1
⎪
⎪
Våïi : OG = ⎨b(sin α + sin β ) ⇒ v(G ) = ⎨b(α cos α + β cos β )
2
2
⎪
⎪
⎪0
⎪0
⎪

⎪2
⎪0
⎪0
⎪
⎪
⎩
⎩
Suy ra : LO = OG × mv(G ) + 2GB × mv( B)* ⇒ LO = mb 2 ⎡⎣ 2α + β + (α + β ) cos(α − β ) ⎤⎦ ez
(Lỉu cáưn tênh OG v v(G ) )
@ Ạp dủng 3 (Trang 20):Thanh treo trãn hai såüi dáy
Thanh AB âäưng cháút, tám G, khäúi lỉåüng m, âỉåüc treo trãn hai såüi
dáy AA’ v BB’ giäúng nhau, chiãưu di b. Thanh dao âäüng trong
màût phàóng thàóng âỉïng, cạc dáy AA’ v BB’ ln ln song song
våïi nhau.
Tênh âäüng nàng ca thanh theo âảo hm α ca gọc nghiãng α
ca cạc såüi dáy tải thåìi âiãøm t cho trỉåïc.
Bi gii :
1
Ạp dủng âënh l Koenig vãư âäüng nàng : EK = mv 2 (G ) + EK*
2

B’

A’
α

G

α


ez
O
ϖ
y

Xẹt phán täú chiãưu di vnh trn nàòm tải M, vë trê xạc âënh båíi
gọc θ, chàõn gọc dθ, cọ khäúi lỉåüng l dm :
LO = ∫ OM × dm.v(M)

er

eθ

i

dθ

O

M

θ x

vanhtron

a

Trong hãû ta âäü O(er , eθ , ez ) ta cọ :

⎧a

. Do LO = ma 2ωez
dt

khäng âäøi ⇒ DO = 0
̌ Âäüng nàng ca vnh trn :
1
1
1
(aω ) 2
2
2
2
EK = ∑ mi vi = ∫
.dm.v ( M ) = ∫
.dm.(aω ) =
2
2
2
i 2
vanhtron
vanhtron

∫

vanhtron

dm ⇒ EK =

1
ma 2ω 2

C

Momen õọỹng lổồỹng õọỳi vồùi õióứm O : LO = OM ì dm.v(M)
B

ọỹng nng : EK =

C

1
dm.v 2 ( M )
2 B

Xeùt mọỹt phỏn tọỳ chióửu daỡi vaỡnh troỡn, chừn goùc d, khọỳi lổồỹng laỡ dm, vở trờ xaùc õởnh bồới
goùc .
0

Trong hóỷ toỹa õọỹ O(er , e , ez ) : v( M ) = R = R e
0



P=



d

2


1



2

cos )d P =

2mR



e2

2

(Lổu yù rũng : e1 , e2 khọng phuỷ thuọỹc vaỡo )
C

Ta coù : LO = OM ì dm.v(M)
B

R
C
C

Trong hóỷ toỹa õọỹ O(er , e , ez ) : OM = 0 LO = dm.R 2 ez = R 2 ez dm LO = mR 2 ez
B
B
0


e1





M
(dm)

er

A

7


Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng

BI TÁÛP VÁÛN DỦNG CẠC KIÃÚN THỈÏC Â HC:
@ Bi 3 (Trang 23): Âải lỉåüng âäüng hc ca chiãúc âu
Bạnh xe hçnh trn ca mäüt hãû thäúng âu quay cọ bạn kênh R, quay xung quanh trủc nàòm ngang
ca mçnh våïi váûn täúc gọc ω khäng âäøi.
Nghiãn cỉïu chiãúc âu (liãn kãút våïi bạnh xe tải âiãøm A bàòng mäüt khåïp quay l tỉåíng) v khạch
trãn chiãúc âu (xem nhỉ hon ton cäú âënh trãn chiãúc âu): Táûp håüp gäưm chiãúc âu v khạch cọ
khäúi lỉåüng l m, cọ khäúi tám l G nàòm trong màût phàóng thàóng âỉïng qua A, v cạch A mäüt
khong l b.
Xạc âënh momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O, momen âäüng lỉûc âäúi våïi âiãøm O v âäüng nàng


eθ
Xẹt hãû quy chiãúu R(O, x, y, z) cäú âënh âäúi våïi màût âáút. Khi bạnh xe quay quanh tám O, hãû AG
ln ln thàóng âỉïng ⇒ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* tỉång ỉïng våïi hãû R, hãû AG cäú âënh
1
⇒ L*G = 0 v EK* = 0 ⇒ LO = OG × mv(G ) v EK = mv 2 (G )
2
dOG d (OA + AG )
dOA
. M : AG = const ⇒ v(G ) =
Ta cọ : v(G ) =
= v( A) = Rω eθ
=
dt
dt
dt
⎧ R − b cos θ
⎧0
⎪
⎪
v eθ = ⎨1
Trong cå såí (er , eθ , e y ) : OG = ⎨b sin θ
⎪0
⎪0
⎩
⎩

⇒ LO = OG × mv(G ) = OG × mRωeθ ⇒ LO = mRω ( R − b cos θ )ey (Khạc sạch)
1
1 2

E
âiãøm O v âäüng nàng ca hãû theo âảo hm ϕ ca D
gọc ϕ. Cho: OA = OB = AC = BC = AD = BE = b.

⊕

C
z

Bi gii :
̌ Âäüng lỉåüng ca hãû âäúi våïi âiãøm O :
Ta cọ : P = ∑ mi .vi ⇒ P = mv(C ) + mv( D ) + mv( E ) hay P = 3mv(G ) (G l khäúi tám ca hãû
i

cháút âiãøm)
1
1
Ta cọ : 3mOG = mOC + mOD + mOE ⇒ OG = (OC + OD + OE ) = (OC + 2OC ) ⇒
3
3
OG = OC = 2b cos ϕ ez ⇒ v(G ) = −2bϕ sin ϕ ez ⇒ P = −6mbϕ sin ϕ ez

̌ Momen âäüng lỉåüng ca hãû âäúi våïi âiãøm O :
LO = OC × mv(C ) + OD × mv( D) + OE × mv( E )
Do OC v v(C ) cng phỉång nãn : OC × mv(C ) = 0
OD × mv( D ) v OE × mv( E ) cng giạ trë v ngỉåüc chiãưu nhau nãn täøng bàòng 0 ⇒ LO = 0

(khạc sạch).
̌ Âäüng nàng ca hãû :
1

x
hm ca chụng.

⊕

9


Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng

Bi gii :
Cạch 1 : Tênh trỉûc tiãúp :
Ta cọ : LO = OC × mv(C ) + OD × mv( D) + OE × mv( E ) + OF × mv( F )

⎧a (2 cos ϕ + cos α )
⎧a(2 cos ϕ − cos α )
⎧a(−2 cos ϕ + cos β )
⎪
⎪
⎪
OD = ⎨a(2sin ϕ − sin α )
OE = ⎨a(−2sin ϕ + sin β )
OC = ⎨a (2sin ϕ + sin α )
⎪0
⎪0
⎪0
⎩
⎩

OA × 2mv( A) = 2a.2m.2a.ϕ ez = 8a 2 mϕ ez
OB × 2mv( B ) = 2a.2m.2a.ϕ ez = 8a 2 mϕ ez
L*A (CD ) = AC × mv(C ) * + AD × mv( D )* = 2 AC × mv(C ) *

⇒

L*A (CD ) = 2amaα ez = 2a 2 mα ez .

Tỉång tỉû : L*B ( EF ) = 2a 2 mβ ez

LO = 2ma 2 (8ϕ + α + β )ez
1
1
1
1
Ta cọ : EK = mv 2 (G ) + EK* ⇒ EK = (2m)v 2 ( A) + mv 2 (C ) * + mv 2 ( D ) *
2
2
2
2
1
1
1
+ (2m)v 2 ( B ) + mv 2 ( E ) * + mv 2 ( F ) *
2
2
2
2
2
2

α

z

G theo α v theo âảo hm ca α.
2) Suy ra vẹctå quay Ω ca thanh.

⊕

O

x

A

Bi gii :
Cáu 1 :

⎧−bα sin α
⎧b cos α
dOG ⎪
AB 2b
⎪
= ⎨bα cos α
Tam giạc OAB vng : OG=
=
= b ⇒ OG = ⎨b sin α ⇒ v(G ) =
dt
2
2

⎩

⎧−b cos α
⎪
AG = ⎨b sin α ⇒
⎪0
⎩

⎧−2bα sin α − bΩ sin α
⎪
v(G ) = ⎨−bΩ cos α
⎪0
⎩

(2)
So sạnh (1) v (2) : Ω = −α ez
@ Ạp dủng 2 (Trang 30) : Chuøn âäüng ca bạnh xe trãn gêa âåỵ hçnh trủ
Bạnh xe tám C, bạn kênh b làn khäng trỉåüt trãn giạ âåỵ hçnh trủ tám O, bạn kênh a, cäú âënh
trong hãû quy chiãúu R. Táút c âãưu nàòm trong màût phàóng thàóng âỉïng.
Xạc âënh vẹctå quay Ω ca bạnh xe theo gọc ϕ = (Oy , OC ) .

11


Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng

Bi gii :
(Cạch gii : Viãút biãøu thỉïc ca váûn täúc v(C ) theo hai

⎟ = ( a + b) ⎜
⎟
⎝ dt ⎠ / R
⎝ dt ⎠ / R
⎡⎛ de ⎞
⎤
⇒ v(C ) = (a + b) ⎢⎜ r ⎟ + ϕ ez × er ⎥ = (a + b) ⎡⎣0 + ϕ eϕ ⎤⎦ ⇒ v(C ) = (a + b)ϕ eϕ
⎣⎝ dt ⎠ / R '
⎦

(1)

Gi IR l âiãøm ca bạnh xe trng våïi âiãøm tiãúp xục I. Hai âiãøm C v IR thüc bạnh xe nãn :
v(C ) = v( I R ) + Ω × IC
Trong âọ : Ω = Ωez l vectå quay bạnh xe.
Bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút nãn : v( I R ) = 0 ⇒ v(C ) = Ω × IC = Ωbeϕ
So sạnh (1) v (2) : Ω =

(2)

a+b
ϕ ez
b

@ Ạp dủng 3 (Trang 34) : Tênh toạn momen quạn tênh :
Tênh momen quạn tênh ca cạc váût ràõn sau âáy, cọ khäúi
lỉåüng m phán bäú âãưu bãn trong váût ràõn :
1) Momen quạn tênh âäúi våïi trủc âäúi xỉïng ∆ ca mäüt táúm
phàóng hçnh vng cảnh b, bãư dy khäng âạng kãø.
2) Momen quạn tênh âäúi våïi mäüt âỉåìng kênh ca mäüt âéa

b (S )
b −b / 2
(S )
(S )
0
Cáu 2:
Xẹt phán täú váût ràõn cọ vë trê xạc âënh båíi bạn kênh r v gọc ϕ, giåïi hản båíi hçnh vnh khàn (r,
r+dr) v chàõn gọc dϕ. Ta cọ :
R
2π
2π
m
m R 4 1 + cos 2ϕ
2
2 m
3
2
.
J AB = ∫∫ x dm = ∫∫ (r cos ϕ )
rdϕ dr =
r dr ∫ cos ϕ dϕ =
dϕ
π R2
π R 2 ∫0
π R 2 4 ∫0
2
(S )
(S )
0


⎠⎦0
y

y

b
y

A
dy

dϕ

O
x

b/2

x

Phán täú dS, khäúi lỉåüng dm

x

x

O
-b/2

ϕ

âënh trong hãû quy chiãúu R (O; x,y,z) âang xẹt, våïi váûn täúc gọc l Ω .
Chỉïng minh ràòng momen âäüng lỉåüng LA ca váût ràõn S âäúi våïi âiãøm

A cäú âënh trãn ∆ song song våïi Ω nãúu nhỉ :
∆ l trủc âäúi xỉïng ca S.
2) S l mäüt váût ràõn phàóng trong màût phàóng qua A v vng gọc våïi ∆

z
(∆)
M

M’

Bi gii :
Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm A gäưm hai thnh pháưn (Xem chỉïng
minh åí pháưn l thuút) :
LA // = Ω.∫∫∫ HM 2 .dm song song våïi vectå quay Ω.

A
O

(S )

LA⊥ = −Ω.∫∫∫ (( AM .ez ) HM ) dm vng gọc våïi vẹctå quay Ω.
(S )

Cáưn chỉïng minh ràòng LA⊥ = 0 .
1) ∆ l trủc âäúi xỉïng ca váût ràõn (S) :
ỈÏng våïi mäùi âiãøm M thüc (S), cọ thãø tçm tháúy mäüt âiãøm M’ âäúi xỉïng våïi M qua ∆.
Ta cọ : HM = − HM ' v AM .ez = − AM '.ez ⇒ HM ( AM .ez ) = − HM '( AM '.ez )

làõc kẹp. Nhàõc lải ràòng momen quạn tênh ca mäüt thanh cọ chiãưu
x
di 2b âäúi våïi trung âiãøm :
Bi gii :
Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O :
OA quay quanh trủc Oz cäú âënh, (S) váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua O v vng
gọc våïi trủc Oz, ta cọ :
LO (OA) = Ω1 J Oz (OA)ez
1
4
Våïi : Ω1 = α v J Oz (OA) = J Gz (OA) + mb 2 = mb 2 + mb 2 = mb 2
3
3
4 2
⇒ LO (OA) = mb α ez
3
(Ghi chụ : trỉåìng håüp váût ràõn phàóng quay quang trủc ( ) vng gọc våïi màût phàóng ca váût
ràõn : LO (OA) = LO ⊥ (OA) )
2
1
V : EK (OA) = J Oz (OA)α 2 ⇒ EK (OA) = mb 2α 2
3
2
Âënh l Koenig cho ta :
1
LO ( AB ) = OG2 × mv (G2 ) + LG* 2 ( AB ) = OG2 × mv (G2 ) + J G 2 z ( AB ) β ez
2
1 2
1
1



Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng

4
⎡16
⎤
LO (conlackep ) = mb 2 ⎢ α + β + 2(α + β ) cos(α − β ) ⎥ ez
3
⎣3
⎦
2
2 2
2 2
2
Ta cọ : v (G2 ) = 4b α + b β + 4b αβ cos(α − β )
1
1
⇒
EK ( AB ) = m ⎣⎡ 4b 2α 2 + b 2 β 2 + 4b 2αβ cos(α − β ) ⎦⎤ + J G 2 z ( AB ) β 2
2
2
1
1
⇒
EK ( AB ) = mb 2 ⎣⎡ 4α 2 + β 2 + 4αβ cos(α − β ) ⎦⎤ + mb 2 β 2
2
6

∆’
Bi gii :
S
Âënh l Huyghens :
13
3
5
mR 2
J ' = J ∆G + m( SG ) 2 = ⎡⎣ J ∆ − m(CG ) 2 ⎤⎦ + m( SG ) 2 J ' = J − m( R ) 2 + m( R ) 2 ⇒ J ' =
20
8
8
@ Bi 2 (Trang 42) :Momen âäüng lỉåüng ca mäüt con làõc
Mäüt con làõc OABC hçnh chỉỵ T (tiãút diãûn khäng âạng kãø), âäưng
O
cháút, mäüt âáưu âỉåüc treo åí âáưu O v cọ thãø dao âäüng xung quanh e
z
trong màût phàóng thàóng âỉïng mäüt trủc ∆ nàòm ngang. Xạc âënh
momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O theo váûn täúc gọc θ ca con làõc.
θ
Biãút : OA = 2AB = 2AC = b, OA v OB cọ cng khäúi lỉåüng. Nhàõc
lải ràòng momen quạn tênh ca mäüt thanh cọ chiãưu di b âäúi våïi
A
1
2
trung âiãøm ca nọ l : J = m.b
B
12
Bi gii :
OABC l váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua O v vng gọc våïi trủc quay A :


Mọỹt chióỳc õu gọửm ba thanh AB, BC vaỡ CD giọỳng nhau, coù khọỳi
lổồỹng m vaỡ chióửu daỡi 2b, õổồỹc nọỳi vồùi nhau bũng caùc khồùp quay taỷi
A
B vaỡ C. Chuùng dởch chuyóứn trong mỷt phúng thúng õổùng vaỡ vở trờ
cuớa hóỷ õổồỹc xaùc õởnh bồới goùc .

Tờnh õọỹng nng cuớa hóỷ. Nhừc laỷi rũng momen quaùn tờnh cuớa mọỹt
B
thanh õọửng chỏỳt coù khọỳi lổồỹng m, chióửu daỡi 2b, õọỳi vồùi trung õióứm
1
cuớa noù laỡ : J = m.b 2
3
Baỡi giaới :
1
Ta coù : E K ( AB ) = E K (CD ) = mv 2 (G1 ) + E K* ( AB )
2
1
1
1
11
mb 2 2
= mb 2 2 + J G1 2 = mb 2 2 +
2
2
2
23
2

E K ( AB ) = EK (CD ) = mb 2 2

Vồùi : E K* = J 2 trong õoù : laỡ vectồ quay cuớa quaớ cỏửu.
2
12
1

E K* =
m.R 2 2 = m.R 2 2
25
5
(Cỏửn tờnh : óứ tờnh cỏửn vióỳt quan hóỷ vỏỷn tọỳc cuớa hai õióứm trón vỏỷt rừn)
ứ C vaỡ Iqua cau thuọỹc quaớ cỏửu nón :
Hai õióm
(1)
v (C ) = v ( I quacau ) + ì IC

v0

D
C

2

Vồùi : v ( I quacau ) = 0 vaỡ vỏỷn tọỳc õióứm C thuọỹc quaớ cỏửu : v (C ) = v0 ex
(Ghi chuù : Do quaớ cỏửu ln khọng trổồỹt trón õổồỡng rỏy : v ( I quacau ) = v ( Lquacau ) = 0 . Maỡ :

v ( I quacau ) = v ( Lquacau ) + ì LI nón : ì LI = 0 // LI // e y = e y )
Bióứu thổùc (1) trồớ thaỡnh : v0 ex = ì IC = e y ì IC = Rsin ex
16



1
1
m v 02 + m.R 2 ⎜
⎟
2
5
⎝ Rsin α ⎠

2

y
L

I

⎛
1
2 ⎞
E K = mv 02 ⎜ 1 +
⎟
2
2
⎝ 5sin α ⎠

@ Bi 6 (Trang 42) : Hçnh trủ quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh :
Trãn mäüt hçnh trủ âäưng cháút, tám O, khäúi lỉåüng M, bạn kênh R, momen quạn tênh âäúi våïi trủc
1
hçnh trủ l : J = M .R 2 , ngỉåìi ta gàõn thãm ba khäúi âiãøm giäúng nhau A, B, C, cọ khäúi lỉåüng
2
(hçnh v). (A, B, C nàòm trong cng mäüt màût phàóng chỉïa trủc ca hçnh trủ).

Xẹt hãû quy chiãúu vng gọc RS(O, exS, eyS, ezS) gàõn liãưn våïi váût
ràõn v sao cho màût phàóng (O, exS, ezS) trng våïi màût phàóng
ABC.
Trong hãû RS, ta cọ :
⎧0
⎧R
⎧0
⎪
⎪
⎪
ω = ⎨0
OC = ⎨0
⇒
⇒
v (C ) = ⎨ Rω
A
⎪ω
⎪
⎪0
⎩−h
⎩
⎩

C

ω
2R
zS

ω



Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

⎧− R
⎪
Trong RS : OA = ⎨0
⎪h
⎩

⎧R
⎪
OB = ⎨0
⎪h
⎩

PFIEV Â nàơng

⎧0
⎪
v ( A) = ⎨ − Rω
⎪0
⎩

⎧0
⎪
v ( B ) = ⎨ Rω
⎪0
⎩


Tênh âäüng nàng ca hãû theo M, m, R2 v váûn täúc gọc Ω .
Bi gii :
Âäüng nàng äø bi : E K = E Kvongngoai + nE Kbi
+ Âäüng nàng vng ngoi :
1
1
E Kvongngoai = I Ω 2 = MR22 Ω 2
2
2
+ Âäüng nàng viãn bi :
1
*
E Kbi = mv 2 (C ) + E Kbi
2
1⎛2
1
1
⎞
*
Våïi : E Kbi
= J ω 2 = ⎜ mr 2 ⎟ ω 2 = mr 2ω 2
5
2
2⎝5
⎠
Tçm v(C ) : v(C ) = v( I1bi ) + ω × I1C

R2

ω•

r
R R1


v(C ) = 2
e2

vaỡ I1C = 0
= 0
2
0



Tỗm :
(Caùch tỗm : Tỗm hai õióứm trón vión bi maỡ vỏỷn tọỳc õaợ bióỳt, vióỳt quan hóỷ vỏỷn tọỳc giổợa hai õióứm
naỡy)
Ta coù :
v( I1bi ) = v( I 2 bi ) + ì I 2 I1

Vión bi ln khọng trổồỹt trón voỡng trong :

v( I1bi ) = v( I1vongtrong ) = 0

Vión bi ln khọng trổồỹt trón voỡng ngoaỡi :

v( I 2 bi ) = v( I 2 vongngoai ) = ì OI 2 = R2 e2

Vaỡ :


2 2 5 2 R2 R1
7
EKbi =
mR22 2
40
1
7
E K = E Kvongngoai + nE Kbi = MR22 2 + n. mR22 2
2
40
1
7 nm

E K = R22 2 M +

2
20

2

Tổỡ õoù :


Toùm laỷi :



2

2

vồùi = e y laỡ vỏỷn tọỳc goùc cuớa baùnh xe.
Tỗm :
Ta coù :

v(O1 ) = v( A) + ì AO1

Baùnh xe khọng trổồỹt trón dỏy xờch, dỏy xờch khọng trổồỹt trón mỷt õỏỳt :
19


Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale)

PFIEV aỡ nụng

v( A) = 0

Vỏỷn tọỳc tỏm baùnh xe : v(O1 ) = v 0
v
= 0
v 0 .ex = Rex
R
2
3
1
1 1
2
2 v0
E Kbanhxe = mv 0 + . mR . E Kbanhxe = mv 02
4
2

( AFE )
( AFE )

à : khọỳi lổồỹng mọỹt õồn vở chióửu daỡi dỏy xờch : à =



2

E K ( AFE ) =




1
R.à .v 2 ( M ) xichAFE d vồùi M laỡ õióứm trón õoaỷn xờch AFE
2
2

Mỷc khaùc, do xờch khọng trổồỹt trón baùnh xe : v( M ) xichAFE = v( M )banhxe


v( M ) xichAFE = v( M ) banhxe = v(O1 ) + ì O1 M = v 0 .ex + R (sin ex + cos ez )



v( M ) xichAFE = (v 0 + R sin ).ex + R cos ez




Cuọỳi cuỡng :

E K = E Kkhung + 2 E Kbanhxe + E Kxich



EK =

1
3
Mv 02 + 2 mv 02 + mx v 02
2
4



M 3

E K = v 02
+ m+mx
2 2


20


Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale)

PFIEV aỡ nụng


z





E

E
D
R

O1

F
O

v0

O2

C

F

x
y

A


phàóng nghiãng mäüt gọc α so våïi màût phàóng ngang.
O
Xạc âënh chuøn âäüng ca hçnh láûp phỉång ny (chuøn
C
âäüng tënh tiãún dc theo âỉåìng däúc chênh (Ox) ca màût phàóng
T
mg
nghiãng) theo cạc giạ trë khạc nhau ca v0. Cho biãút hãû säú ma
x
α
sạt trỉåüt giỉỵa khäúi vng v màût phàóng nghiãng l f.
Bài gi i :
Ngo i l c tác d ng lên v t r n bao g m : Tr ng l ng mg , Tác đ ng c lên kh i vng

t i ch ti p xúc : R = T .ex + Ney v i T và N là giá tr đ i s : N > 0. (V t r n chuy n đ ng t nh
ti n, nên ma sát l n và ma sát xoay khơng xu t hi n).
Áp d ng đ nh lý v đ ng l

ng ( P = ma(G ) = ∑ F ei ) ⇒ ma (G ) = mg + T + N
i

⎧ mx = mg sin α + T (1)
Chi u lên Ox và Oy: ⎨
⎩0 = − mg cos α + N (2)
Lúc đ u, kh i vng đi lên trên m t ph ng nghiêng, T h
f.N
T (2) suy ra : N = mgcos ⇒ T = fN = mgf .cos α
Thay vào (1) ta có : x = g (sin α + f cos α )
⇒
v = −ν 0 + g (sin α + f cos α )t

x

g (sin α + f cos α )
T i t = t0, kh i vng d ng l i và có xu h ng chuy n đ ng đi xu ng trên m t ph ng
nghiêng nên T h ng lên trên : T < 0. K t th i đi m t = t0, kh i vng v n đ ng n, n u
nh :
T
T ≤ f N hay −T ≤ fN ⇒ − ≤ f
N
T
T (1) và (2) suy ra : − = tgα ⇒ tgα ≤ f = tgϕ ⇒ α ≤ ϕ
N
Ng c l i, n u α > ϕ hay tgα > f thì : T = f N (b i vì n u T < f N , ta s suy

ng c l i r ng α < ϕ , đi u này trái v i gi thi t) ⇒ T = − fN = − f .mg cos α
T (1) suy ra gia t c c a kh i c a kh i vng :
x = g (sin α − f cos α )
1
x = x(t0 ) + g (sin α − f cos α )t 2 : Kh i vng chuy n đ ng đi xu ng nhanh d n đ u.
⇒
2
22


Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale)

PFIEV Â nàơng

@ Ạp dủng 2: (Trang 99) Cán bàòng ca váût ràõn trãn màût âáút :
Mäüt váût ràõn âäưng cháút, cọ dảng hçnh khäúi chỉỵ nháût, cạc cảnh

N

2b

h

x

I

mg T

x

O

Vì b m t ti p xúc gi a m t đ t và v t r n là l n ⇒ Khơng th b qua ma sát l n và xoay.
Tác đ ng c t i ch ti p xúc gi a v t r n và m t đ t khi thu g n v đi m ti p xúc I nào đó
thu c m t ph ng trung bình bao g m : R = T .ex + Ney và M I ,tiepxuc (N > 0, T > 0)
Ngo i l c tác d ng lên kh i vng bao g m : Tr ng l

ng mg , l c kéo F , tác đ ng c t i

đi m ti p xúc I : R = T .ex + Ney và M I ,tiepxuc .
Khi v t r n cân b ng, ta có :
+ T ng các ngo i l c tác d ng lên v t r n b ng 0 :
⎧ N = mg
N + T + mg + F = 0 ⇒ ⎨
⎩T =F
Trong đó : T ≤ fN ⇒ F ≤ fN = fmg

bi n thành m t l c là R .
F
h thu c b m t ti p xúc thì ph i có : 0 ≤ x ≤ 2a . B t đ ng th c
mg
mga
F
h ≥ 0 hay F ≤
trên th a mãn khi a −
h
mg
mga
, tác đ ng c ti p xúc t m t đ t lên v t r n suy bi n thành m t l c
Tóm l i : V i F ≤
h
F
R = N + T đ t t i đi m I có t a đ x = a −
h và thu c b m t ti p xúc.
mg
(Ghi chú :
fmg
+ Tr ng h p gi i h n : T = fN ⇒ F = fN = fmg ⇒ x = a −
h ⇒ x = a − fh ⇒ đi m I
mg
n m t i có t a đ x0 : x0 = a − fh . Tr ng h p T ≤ fN thì F ≤ fN = fmg ⇒ x ≥ x0 ⇒ đi m
I n m trong kho ng I0A.
y

I có t a đ

x=a−

M t khác, trong tr ng h p gi i h n
F
fN
tg ( R, N ) = =
= f = tgϕ ⇒ R n m
N
N
trên ph ng PIo hay nói khác đi R đi qua
đi m P).
kh i vuông th c s đ ng yên trên
m t đ t, ph i có đi u ki n :
+ Kh i vuông không tr t so v i m t đ t :
(3)
F = T ≤ fN = fmg ⇒ F ≤ fmg
+ Kh i vuông không l t quanh c nh qua O,
ngh a là nó còn cân b ng và liên k t c a nó

F

F=

(1)

mga
h
(2)

F = fmg

fmg

Mäüt ngỉåìi âi xe âảp khåíi âäüng trãn mäüt màût âỉåìng nàòm ngang: Hãû quy chiãúu trại âáút âỉåüc
xem l Galilẹe. Ngỉåìi âi xe âảp âỉåüc xem nhỉ l z
mäüt váût ràõn gàõn liãưn våïi xe âảp (b qua khäúi lỉåüng
ca âäi chán âang chuøn âäüng). Gi m l täøng
⊕
g
G
khäúi lỉåüng ca ngỉåìi v xe âảp. Hai bạnh xe l
giäúng nhau, cọ bạn kênh R v cọ khäúi lỉåüng khäng
h
âạng kãø. Khäúi tám G ca hãû ngỉåìi-xe âỉåüc xạc
x
y O
âënh båïi cạc khong cạch a, b v h. Gi f l hãû säú
ma sạt giỉỵa cạc bạnh xe v màût âáút (b qua cạc ma
⊗
sạt khạc) v n l tè säú giỉỵa säú ràng (nombre de
a
b
dents) ca âéa xêch v ca lêp (roue-libre) åï bạnh
sau.
Momen Γ ca ngáùu lỉûc m ngỉåìi âi xe tạc âäüng vo âéa xêch phi bàòng bao nhiãu âãø cạc bạnh
xe khäng bë trỉåüt trãn màût âáút ?
Bi gii :
Ph n l c c a m t đ t tác d ng lên m i bánh xe:
RK = TK .ex + N K ey

V i : N K > 0; k = 1, 2 ; TK là giá tr đ i s (b qua các ma sát khác).
(1)
bánh xe khơng tr t trên m t đ t, ph i có : Tk ≤ f N k