SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRUNG TÂM GDTX LONG THÀNH
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN (GDTX) ÔN TẬP MÔN TOÁN
THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: NGUYỄN VĂN HÒA
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015 - 2016

1


- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Năm 2011viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học viên giáo
dục thường xuyên sử dụng máy tính cầm tay giải toán 12” đã được Hội đồng khoa
học của cơ sở đánh giá, xếp loại giỏi và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm của
Sở đánh giá, xếp loại khá.
Năm 2012 viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Hướng dẫn học viên giáo
dục thường xuyên sử dụng máy tính cầm tay giải toán trung học phổ thông” đã được
Hội đồng khoa học của cơ sở đánh giá, xếp loại giỏi và hội đồng chấm sáng kiến
kinh nghiệm của Sở đánh giá, xếp loại khá.

2


HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN (GDTX) ÔN TẬP MÔN TOÁN
THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Học viên Trung tâm GDTX Long Thành học môn Toán rất khó khăn vì những
lí do: học viên thường không nắm được kiến thức cơ bản ở các lớp dưới hoặc đã
quên những kiến thức cũ; phần đông ít có thời gian học ở nhà vì vừa đi học vừa đi
làm kiếm sống; kỹ năng thực hành làm bài tập hết sức yếu kém, không có thói quen
sử dụng tập nháp để giải bài; đa số không có thói quen tự học, năng lực tiếp thu kiến
thức hạn chế…
Từ năm học 2014-2015, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chỉ đạo gộp 2 kỳ thi tốt
nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng làm một kỳ thi cho cả hai hệ THPT
và THPT(GDTX) nên khó khăn cho đối tượng học viên giáo dục thường xuyên thi
tốt nghiệp THPT.
Bên cạnh đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo không chỉ đạo biên soạn sách ôn tập thi
tốt nghiệp THPT Quốc gia nên cũng gây khó khăn cho các thầy cô và học viên ôn
thi.
Trong năm học vừa qua, cả nước có gần 12.000 thí sinh bị điểm liệt môn Toán và

Vì thế vai trò của người thầy hết sức quan trọng. Do đó, sự nghiên cứu chuẩn bị kỹ
của thầy không thể thiếu và nó quyết định quá nửa kết quả rèn luyện của người học.
Thầy phải nắm vững cấu trúc đề thi, các chủ đề, chủ điểm từ nhận biết, thông hiểu,
vận dụng, các thể loại thường gặp, phân loại từng mức độ từ dễ đến khó. Thầy phải
phân nhóm học viên, giao bài tập cho từng nhóm, có kiểm tra, đánh giá sự tiến bộ
của từng nhóm, từng học viên.
* Vai trò của học viên:
Phát huy năng lực tự học, tự giác, tích cực, chịu khó, sáng tạo, tự tin, đoàn kết,
hợp tác trong học tập. Tuyệt đối không có tư tưởng “chầu chực chờ chép” thì dẫn
đến “chết chắc”.
Phải nắm vững kiến thức, kỹ năng được học trong chương trình Trung học
phổ thông, chủ yếu là chương trình lớp 12 Giáo dục thường xuyên cấp trung học phổ
thông; tùy theo năng lực, phải nắm chắc được các chủ đề, chủ điểm, cách giải các
dạng bài tập từ dễ đến khó phù hợp với khả năng; có kỹ năng nhận dạng xử lý các
tình huống, biết khái quát một vấn đề vừa sức. . .
2) Cơ sở thực tiễn
Theo Công văn số 525/BGDĐT-KTKĐCLGD về việc tổ chức kỳ thi THPT
Quốc gia và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hệ chính quy năm 2016 ngày 03/2/2016
của Bộ Giáo dục và Đào tạo, về đề thi cơ bản năm như năm 2015 (đề thi được ra
theo hướng đánh giá năng lực học sinh, nội dung đề nằm trong chương trình THPT,
chủ yếu là lớp 12; tăng cường câu hỏi mở, câu hỏi gắn với thực tiễn và câu hỏi vận
dụng, đảm bảo độ phân hóa, đáp ứng yêu cầu xét công nhận tốt nghiệp THPT và làm
căn cứ tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1) Giải pháp 1: Xây dựng nội dung ôn tập
Từ thực tế giảng dạy tại đơn vị, tôi nhận thấy học viên ở Trung tâm GDTX
Long Thành đa phần học viên học yếu môn Toán mà đề thi ra trong chương trình
THPT có lớp 10, lớp 11, lớp 12 lượng kiến thức nhiều, độ phân hóa cao nên học viên
rất khó khăn trong việc ôn tập. Nếu ôn tập hết tất cả các dạng toán trong chương
trình lớp 10, lớp 11 và lớp 12 thì không có đủ thời gian và khả năng tiếp thu của học

Số phức: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, môđun
của số phức, giải phương trình bậc 1, 2 trên tập số phức…
Biểu thức lũy thừa, mũ, lôgarit; hàm số lũy thừa, mũ, lôgarít.
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Giới hạn, đạo hàm, vi phân, tích phân và ứng dụng của tích
phân.
Phương pháp tọa độ trong không gian:
Tọa độ điểm, của vectơ, các phép toán về vectơ trong không
gian; sự cùng phương, đồng phẳng.
PT mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Vị trí tương đối, tính
khoảng cách, tình góc, tính diện tích, thể tích. Tương giao
của đường thẳng và mặt phẳng, hình chiếu của điểm lên mặt
phẳng, đường thẳng…

6

Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

7

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất và nhị thức Newton.
Hình học không gian:
Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng,
mặt phẳng. Hình chóp, khối chóp; hình lăng trụ, khối lăng
trụ; hình đa diện, khối đa diện; hình nón tròn xoay, khối nón
tròn xoay; hình trụ tròn xoay, khối trụ tròn xoay; hình cầu,
khối cầu. Vị trí tương đối. Tính khoảng cách, tính góc; tính
diện tích, tính thể tích. Chủ đề khác về phương pháp tọa độ
trong không gian…
Bài tập liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

Nhận biết và
thông hiểu.

Nhận biết và
thông hiểu.
Vận dụng.

Nhận biết,
thông hiểu
và vận dụng.

Vận dụng.

Vận dụng.
Vận dụng.


Khi xây dựng được chương trình ôn tập trên, cả người giáo viên và học viên
biết được nội dung nào phù hợp với đối tượng nào để ôn luyện thích hợp. Tránh
được tình trạng ôn tập chung chung tất cả các phần cho tất cả học viên. Từ nội dung
trên, học viên cũng có thể chủ động tìm tòi các chủ đề ôn tập phù hợp với bản thân.
Nếu không xây dựng nội dung ôn tập thì cả người giáo viên và học viên không
chủ động trong ôn tập, ôn tập những phần không phù hợp với trình độ học viên và
nội dung ôn tập không phù hợp với thời gian dự kiến.
2) Giải pháp 2: Hướng dẫn học viên ôn tập
a) Hướng dẫn học viên ôn tập trên lớp
Giai đoạn 1: Ngay từ đầu năm học đến khi kết thúc năm học, thời gian khoảng
30 tuần, mỗi tuần 02 tiết. Trong giai đoạn này, vừa ôn luyện kiến thức cũ, rèn luyện
kĩ năng giải các dạng toán thi lớp 10, 11 vừa ôn kiến thức trọng tâm, các dạng toán
thi trong chương trình lớp 12 đang học theo từng chủ đề về nhận biết, thông hiểu,



Phân nhóm học viên theo trình độ học lực môn Toán, phân chia làm các nhóm
như học giỏi, học khá, học trung bình, học yếu.
Phối hợp cùng giáo viên chủ nhiệm để chia lớp thành bốn tổ, mỗi tổ có học
viên học giỏi, khá, trung bình, yếu ngồi xen kẽ. Mỗi tổ tương ứng là một nhóm, chỉ
đạo học viên học khá, giỏi làm tổ trưởng, tổ phó. Phân công tổ trưởng, tổ phó giúp
đỡ các học viên học yếu, trung bình. Động viên khuyến khích các em cùng học
nhóm, thảo luận nhóm.
Các buổi học nhóm được tổ chức trái buổi so với học chính khóa. Giáo viên
bộ môn giao bài tập cho các tổ trưởng, tổ phó, trong đó có các dạng bài tập phù hợp
với từng học viên để tất cả học viên của nhóm cùng giải bài tập. Đối với học viên
khá, giỏi yêu cầu cao hơn, học viên trung bình, yếu yêu cầu thấp hơn.Khi có giờ học
toán, giáo viên bộ môn Toán kiểm tra vở bài tập của các học viên học nhóm, chú ý
sự tiến bộ của học viên yếu, trung bình. Có đánh giá sự tiến bộ, rút kinh nghiệm cho
học viên và giao bài tập tiếp theo. Trong các buổi học nhóm, giáo viên chủ nhiệm
phối hợp cùng giáo viên bộ môn, bảo vệ trung tâm và gia đình học viên để theo dõi,
quản lý học viên.
Vì lý do đặc điểm của học viên giáo dục thường xuyên có những hạn chế nhất
định nên mỗi vấn đề được đặt ra phải thường xuyên cho học viên cọ xát nhằm củng
cố kiến thức kỹ năng. Nếu không học viên sẽ nhanh chóng quên đi và khi gặp lại lần
hai thì cứ tưởng chừng như là vấn đề mới mẻ. Tuy vậy, điều này cũng có thể gây tâm
lý ức chế cho học viên. Một bài toán được lặp đi lặp lại dễ gây nhàm chán từ đó học
viên không cảm thấy thích thú khi ôn luyện và có tư tưởng chủ quan, tìm cớ lãng
tránh học nhóm thực hiện các bài tập mà thầy giao phó. Vì vậy cần thiết phải bổ
sung thêm các vấn đề mới, có nội dung vận dụng cao hơn để học viên khỏi nhàm
chán và kích thích tìm tòi cái mới cho học viên tạo động cơ thúc đẩy học viên tích
cực tham gia ôn tập.
3) Giải pháp 3: Xây dựng tài liệu ôn tập
Học viên GDTX đa phần học yếu, kiến thức bị mai một, vừa làm vừa học nên

+ Tìm điểm đặc biệt đối với hàm bậc ba, hàm trùng phương:
Tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trị bên trái và một điểm có hoành
độ lớn hơn cực trị bên phải.
+ Tìm điểm đặc biệt đối với hàm phân thức y 

ax  b
cx  d

 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 và tìm x.
 Giao điểm với trục tung: cho x = 0 và tìm y.
Chú ý:Trước khi vẽ đồ thị, hãy nhìn chiều mũi tên ở hàng y của bảng biến thiên để
vẽ đồ thị cho chính xác.
1. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).
Các dạng đồ thị hàm số bậc ba:

 y '  0 coù2 nghieäm phaân bieät  y '  0 x  y '  0 coù2 nghieäm phaân bieät  y '  0 x




a  0
a  0
a  0
a  0

Chú ý: Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y   x3  3x  1
Giải.
+ Tập xác định: D= R
+ Sự biến thiên:


+





1
0
1

-



-3
Đồ thị:
Bảng giá trị:

x
y

-2
1

0
-1

2
-3



Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 – 2x2 – 1
Giải.
+ Tập xác định: D = R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y /  4 x3  4 x
x  0
3
/
y  0  4 x  4 x  0   x  1
x 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0  và 1; 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 .
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = -1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = - 2.
lim y   , lim y   .
Giới hạn:
x 

x 

Bảng biến thiên:
-

x
y’


Bảng giá trị:

x
y

-2
7

2
7

y

1
-1

x

O
-1

-2

3. Hàm số y 

ax + b
; (ad - bc  0, c  0).
cx + d

Phương pháp:

c

d
c

Các dạng đồ thị:
Với y'  0,x  D Với y'  0,x  D

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y 

2x  4
x 1

Giải.
+ Tập xác định: D  R \ 1
+ Sự biến thiên:
2
Chiều biến thiên: y 
2 > 0, x  D .
 x  1
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  ;1 và 1; 
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn, tiệm cận:
Ta có: lim y  2 . Suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.
x 

lim y   , lim y   . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
x1

x1

x 1

Cho x  0  y 

x
y

0
4

2
0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
11


Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
1. y  x3  3x  2 ;
2. y   x3  3x  4 ;

3. y  x3  3x 2  1 ;

5. y = x3  6x 2 + 9x  1 ; 6. y =  x3  3x 2  1 ;

4. y  2 x3  3x 2  1 ;

7. y =  x3  3x 2 ;
8. y = x3  1 ;
9. y = x3  x  1


5.

y

1 x
x 3

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ.
Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ký hiệu (C1) và đồ thị hàm
số
y = g(x) ký hiệu (C2).
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1).
Nếu PT (1) trên có các nghiệm x1, x2,… thì ta tính f(x1), f(x2),… hoặc g(x1), g(x2),…
Kết luận: Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là: A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)),… hoặc A(x1,
g(x1)), B(x2, g(x2)),…
Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của:
Đồ thị hàm số: y  x3  3x2  4 x  2 và đường thẳng: y  4 x  2 ;
Đồ thị hàm số: y  x 4  x 2  4 và đường thẳng: y  4 ;
Đồ thị hàm số: y 

2x  1
và đường thẳng: y  3 ;
x2

d. Đồ thị hàm số: y = 5x  8 và đường thẳng: y = x – 2.
x2


Câu c. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số: y 

2x  1
và đường thẳng: y  3
x2

Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

2x  1
= 3
x2

 2 x  1  3( x  2)  2 x  1  3x  6  x = 7 

y 3

Vậy toạ độ giao điểm cần tìm là: A(7;3) .
Câu d. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số: y = 5x  8 và đường thẳng: y = x –
x2

2.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :

5x  8
 x  2  5 x  8  ( x  2)( x  2)  5 x  8  x 2  4
x2

 x  1  y  1
x2  5x  4  0  


Dựa vào đồ thị (C), ta có kết quả:
Nếu (d) và (C) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn.
Nếu (d) và (C) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép.
Nếu (d) và (C) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm.
13


Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x3  3x 2  2 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3  3x2  2  m  0
Giải.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y  x3  3x 2  2
+ Tập xác định: D= R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y /  3x 2  6 x
x  0
y /  0  3x 2  6 x  0  
x  2
Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  và  2; 
Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2.
lim y   , lim y  
+ Giới hạn:
x 

x 


-2

1
0

3
2

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3  3x2  2  m  0 (1)
Giải.
Ta có: (1)  x3 - 3x2 + 2 = m
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2
và đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị (C), ta suy ra:
Nếu m > 2 hoặc m < -2 thì PT (1) có 1 nghiệm;
Nếu m = 2 hoặc m = -2 thì PT (1) có 2 nghiệm;
Nếu - 2 < m < 2 thì PT (1) có 3 nghiệm.
14


Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến
* Viết phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị h.số y  f ( x) tại điểm M 0
Xác định x0 , y0 (hoành độ và tung độ của điểm M 0 ).
Tính y’ và f '( x0 ) ;
Viết PT tiếp tuyến: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) và rút gọn.
* Viết PT tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc
k cho trước.
Tính y’;
Cho f '( x0 ) = k để tìm nghiệm x0 ;
Có x0 , tìm y0 , viết PT tiếp tuyến: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) và rút gọn.

y '  4 x3  4 x
Với x0  2 , y0  8 và y '( x0 )  y '(2)  4.23  4.2  24
PT tiếp tuyến tại x0  2 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  8  24( x  2)
 y  8  24 x  48
 y  24 x  40
4
0

2
0

4
0

2
0

15


Với x0  2 , y0  8 và y '( x0 )  y '(2)  4.(2)3  4.(2)  24
PT tiếp tuyến tại x0  2 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  8  24( x  2)
 y  8  24 x  48
 y  24 x  56
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  24 x  40 và y  24 x  56 .
2x  3
Câu c: Cho hàm số: y 
. Viết PT tiếp tuyến tại giao điểm với trục tung.
2x  1
Giao điểm của đồ thị với trục tung tại: x0  0  y0  3 .

 y  x  1.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:
a. y   x3  3x2  6 x  1 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -3.
b. y  x4  2 x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  24 x  11
1
7
2x  3
c. y 
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y  x  .
2
5
2x  1
Giải.
Câu a. Cho hàm số y   x3  3x2  6 x  1 và k = -3.
y '  3x2  6 x  6
 x0  1
k = -3  y '( x0 )  -3  3x02  6 x0  6  3  3x02  6 x0  9  0  
 x0  3
Với x0  1  y0  (1)3  3.(1)2  6.(1)  1  1
y '( x0 )  y '(1)  3.(1)2  6.(1)  6  3
PT tiếp tuyến tại x0  1 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  1  3( x  1)
 y  1  3x  3
 y  3x  4 .
Với x0  3  y0  33  3.32  6.3  1  19
16


y '( x0 )  y '(3)  3.32  6.3  6  3
PT tiếp tuyến tại x0  3 là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  19  3( x  3)
 y  19  3x  9

2
(2 x0  1)
3
1
 x0  hoặc x0  
2
2
3
Với x0   y0  3
2
3
3
PT tiếp tuyến tại x0  là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  3  2( x  )
2
2
 y  2 x  6
1
Với x0    y0  1
2
1
1
PT tiếp tuyến tại x0   là: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  1  2( x  )
2
2
 y  2 x  2
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  2 x  6 và y  2 x  2 .

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số: y  x3  3x  1, có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Bài 5. Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  2 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4  2 x 2  2  m  0
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) và parabol: y  2 x 2  2
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 6. Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  3 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 7. Cho hàm số: y   x 4  2 x 2  3 , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tìm m để phương trình: x 4  2 x 2  m  0 có bốn nghiệm phân biệt.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 8. Cho hàm số: y 

2x 1
, có đồ thị (C).
x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 3).
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng độ bằng 1.
Viết PT tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
18


Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc bằng -1.
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng: y  1.
Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng: y  x  1 .
Bài 9. Cho hàm số: y 

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [-3; 1] :
f ( x)  2 x3  3x 2  12 x  10
Giải.
Ta có f(x) liên tục trên đoạn [-3; 1].
f '( x)  6 x 2  6 x  12 ,
 x  1
f '( x)  0  
nên loại
 x  2  [3;1]
Tính f (3)  2(3)3  3(3)2  12(3)  10  3 ;
f (1)  2.13  3.12  12.1  10  3 ;
f (1)  2(1)3  3(1)2  12(1)  10  17 .
Vậy max f ( x)  f ( 1)  17 , min f ( x)  f (1)  3 .
[ 3;1]

[ 3;1]

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn [-1; 4]
f ( x)   x 4  8 x 2  3
Giải.
Ta có f(x) liên tục trên đoạn [-1; 4].
f '( x)  4 x3  16 x  4 x( x 2  4)
19


x  0
nên loại
f '( x)  0   x  2  [1;4]

 x  2

 ;
Tính f (5) 
;
3  2.0 3
3  2.(5)
13
2
23
Vậy max f ( x)  f (0)  , min f ( x)  f (5)   .
[ 5;0]
3 [ 5;0]
13
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1
1) f(x) = 2 x3  6 x 2  1 trên đoạn [  ; 1];
2
1
].
2
3) f(x) = x3  3x 2  9 x  7 trên đoạn [-4; 3];

2) f(x) =

x3  2 x 2  x  2 trên đoạn [0;

4) f(x) = 1  8 x  2 x 2 trên đoạn [-1; 3];

5) f(x) = 2 x 4  4 x 2  1 trên đoạn [0; 3].


2) f(x) = 16  x2 trên đoạn [-2; 3].
4) f(x) = x  1  2 trên đoạn [0; 2].
x2

6) f(x) = x  ln(1  2 x) trên đoạn [-2; 0];
2

20


ln 2 x
8) f(x) =
trên đoạn [1; e3 ];
x

7) f(x) = x  4  x trên đoạn [ -2; 2]
2

9) f(x) =  x2  4x  3 trên đoạn [ 1,5; 3]; 10) f(x) = 2 x2  6 x  4 trên đoạn [ 1; 2];

Bài 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ f  x   2 x3  3x 2  12 x  1 trên 
2;  ; b/ f  x   x 2 .ln x trên 1; e 

2

5



Bài 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f ( x)  ln( x2  3x  4) trên đoạn [ 5; 6].

2
 
d) f ( x)  sin2x  x trên đoạn [  ; ].
2 2

c) f ( x)  x  sin x trên đoạn [ 0; ].

b) f ( x)  cos2 x  4sin x  4 .;
x2  2x  5
trên đoạn [ 2; 4].
1 x
1
 5
e) f ( x) 
trên đoạn  ; 
sin x
3 6 

c) f ( x) 

f) f ( x)  x  2  x2 trên đoạn

[  2 ; 2 ].

3
g) f ( x)  2sin x  sin 2 x trên đoạn 0;  .

cos x

  3 
 ; ;
2 2 

9) f  x  

1
trên khoảng (; ) ;
1  x4

10) f  x  

1
trên khoảng  0;   .
sin x

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
21


BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
Công thức cần nhớ
Công thức lũy thừa
.a...a ;
1) a n  a{

3) a  n 


b b
b a
m
n
m
a na
n m
n
12) n 
13) a  a
14) a n  n a m
b
b
M
N
a  a  M  N (với a > 0)
Nếu a > 1 thì a m  a n  m > n
(hàm số mũ y  a x đồng biến)
Nếu 0
b2
BÀI TẬP
Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
4
2
2
1
1
4
3
a) A  3  3 
ĐS: 0
b) B        109 ĐS: 0
81
5
4
1
c) C   
3

10

.27

3

4

 (0, 2) .25


2
7
ĐS: 13 e) E     7. 
5
9

 1 
g) G   
 16 

13
ĐS:
3
22

0,75

1

1
 
8

ĐS: 


4
3

13


2

 810000

2
3

o) O  27  (2) 2
3 2

r) R  4

1 2

.2

6 3 5
v) K  2 5 1
2
.3

  52 
W  5 



5

.2

3

n) N   0,001

1
3

7

p) P   0,5 



4 2

1 2

s) S  25

u) U   0,04 

3


  (0, 2) 4 



9
6

2
3

2

 2 .64  8

 6250,25
12 2

5

 1
2 
 4

1

1
1
3

1
2

63 5
t) T  2 5 1
2
.3


 13 
và  
 12 

6

b) 10

2
c)  
5

1,4

2

và 10

2
và  
5

5

e)

3

5


Bài 3: Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A  42log2 3

E 5

log 625
log25

b) B  35log3 2

c) C  log 2 log 3 9

1
d) D  2log 3 6  log3 16  3log 1 3 4
2
3

e)

f) F  log 1 (log3 4.log 2 3)
4
1

1
g) G  2log 1 6  log 1 400  3log 1 3 45
2 3
3
3

h) H  log 3 log 2 8 ;

2
log3 18  log 3 72
3
log 2 4  log 2 10
O
log 2 20  3log 2 2

Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y  3( x  1)

3

b) y  x  3x  4
4

e) y  log5 ( x  3)
1
h) y  log 2
3 x

c) y  ( x  8)

2



3

3



x4
x4

m) y  log (2 x  2)

 9)

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
a) y  2 x1
b) y  4 x
c) y  e 2 x d) y  e x 3 x5
f) y  log5 ( x 2  2 x  4)
=1

g) y  xe x tại x =1

i) y  x ln x tại x = e

j) y  x ln x tại x = 1

e) y  log 2 ( x  3)
h) y  xe x tại x
2

k) y 

x
tại x =

2
a. 5x 3 x  625
b. 2x 3 x6  16

c. 2 x1.5x  200

Giải.
2
2
a. 5x 3 x  625  5x 3 x  54  x 2  3x  4  x 2  3x  4  0  x = 1 hoặc x = -4
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 và x = -4.
2
2
b. 2x 3 x6  16  2 x 3 x 6  24  x 2  3x  6  4  x 2  3x  10  0
 x = 5 hoặc x = -2
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 5 và x = -2.
c. 2 x1.5x  200  2.2 x .5x  200  10 x  100  10 x  102  x = 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 2.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a. 9x 10.3x  9  0
b. 25x  3.5x  10  0
c. 2 x  23 x  2  0
d. 6.9 x  13.6 x  6.4 x  0
Giải.
a. 9 x  10.3x  9  0  32 x  10.3x  9  0
Đặt t  3x (điều kiện t > 0), phương trình trở thành:
(nhận)
t 2  10.t  9  0  t  1
t  9
(nhận)