GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
A.x = B

B
x
=
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
B
x
>
• A>0:
A
Nhận luyện thi THPTQG
B
tại BIÊN HỊA – ĐỒNG NAI
• A
a
Vô nghiệm

c
a + b + c = 0 : nghiệm x1 = 1, x2 =
a
c
−
a – b + c = 0 : nghiệm x1 = –1, x2 =
a

Đt : 0914449230

1


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 3 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x

−

–∞

f(x)

Trái dấu a

x
∆>0

f(x)

f(x) > 0,

b
−
∀x ≠
2a

f(x) < 0,

∀x ≠ −

–∞

x1

Cùng dấu a

0

trái dấu a

b
2a
x2


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

3/. Muốn có


∆ > 0

af (α ) > 0
ta phải có 
S
 −α < 0
2

x1 < x 2 < α

af (α ) < 0
ta phải có af ( β ) < 0

af (α ) < 0
ta phải có af ( β ) > 0


4/. Muốn có

x1< α < β < x2

5/. Muốn có

x1< α < x2
af ( β ) > 0
ta phải có 
α < S < β

2
ta phải có

P 0

P>0
ta phải có 
S > 0


∆ > 0

P>0
ta phải có 
S < 0


x1 < x 2 < α

NHỚ 6 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
B ≥ 0
A = B
A=B⇔
A
=


A>B⇔
B ≥ 0

 A > B

và

NHỚ 8 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
 A = B

B ≥ 0
A = B
A =B⇔
A
=
B
⇔
 A = − B
 A = −B
và


 B ≥ 0

Chú ý:

 f ( x) = g ( x)

x ≥ 0

a
>
b
⇔
ac < bc, c < 0
d)

a > b > 0
f) c > d > 0 ⇒ ac > bd


3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3,......, an
Đt : 0914449230

4


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

a1 + a 2 + a 3 + ....... + a n
≥ n a1 a 2 a 3 .......a n
n
n
 a1 + a 2 + a3 + ....... + a n 
a a a .......a n ≤ 

hay 1 2 3
n

• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :

• a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab
• a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG

sin(=
a ± b) sin a.cos b ± cos a.sin b
cos(a ± b) =
cos a.cos b  sin a.sin b
tan a ± tan b
tan(a ± b) =
1  tan a.tan b

C. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI :

Đt : 0914449230

5


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

sin 2u = 2sin u.cos u
cos 2u = cos 2 u − sin 2 u = 2 cos 2 u − 1 = 1 − 2sin 2 u
tan 2u =


sin a + sin b =
2sin
.cos
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b =
2 cos
.sin
2
2
cos a + cos b =
2 cos

F. TÍCH THÀNH TỔNG :

1
[cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β =
− [cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
1
=
β
sin α .cos
[sin(α + β ) + sin(α − β )]
2

Phụ chéo

Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα

Khác π Tan

Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα

Sai kém π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv

u = v + k 2π
⇔
k∈Z
u = π − v + k 2π

Sinu = 1

⇔ u = ±v + k 2π
⇔ u = v + kπ
⇔ u = v + kπ
⇔ u = kπ
⇔ u = π / 2 + k 2π

Sinu = –1

⇔ u = −π / 2 + k 2π

2

= Cosα
7

;

b
a +b
2

2

= Sinα


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
Tài liệu Tốn THPT
c
α
Sin
(
x
+
)
=
Ta có
(*)
a2 + b2
(*) Có nghiệm khi


aSin 3 x + bSin 2 xCosx + cSinxCos 2 x + dCos 3 x = 0 (2)
Phương pháp :
∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?
∗ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa
phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối
với Tanx.
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

π

Phương pháp: Đặt : t = Sinx + Cosx = 2 Sin( x + ),
4
t 2 −1
(*) ⇔ at + b
+c =0
2

t ≤ 2

⇒t

Chú ý: Dạng
tương tự :

( nếu có) ⇒ x
a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải

π


B ≥ K

Nếu ta chứng minh

A = K
(*) ⇔ 
B = K
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)
• a = b + c − 2bcCosA
2

Hàm số Cosin

Hàm số Sin

2

2

b2 + c2 − a2
• CosA =
2bc
a
b
c
=
=
= 2R

1
1
1
S
=
bcSinA
=
acSinB
=
abSinC
•
2
2
2
•

S = pr

abc
S
=
•
4R
Đt : 0914449230

SinA =

9



(
p
−
c
)
Tan
•
p
2
2
2
abc
a
b
c
R
=
=
=
=
•
4S
2 SinA 2 SinB 2 SinC
•
•
•
•
•

a, b, c :

B

AB = BH .BC

•

AC = CH .CB ;

•

BC 2 = AB 2 + AC 2

2

2

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1:
Hàm số y = f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/. f (x) xác đònh tại điểm x = a

f ( x) = f (a)
2/. lim
x→a
Đt : 0914449230

10

H



d) 0 < a < 1 :

Hàm số nghòch biến

a x1 < a x2 ⇔ x1 > x 2
x2
x1
Chú ý : a < a ⇔ x1 = x 2

(0 < a ≠ 1)

3/. Đồ thò :

0 0, a ≠ 1, N > 0
Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N
Đt : 0914449230

11


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

a
TC6 :
Đổi cơ số
log c a
log b a
a

3/. Đồ thò :
(a> 1)

y

0

y

( 0 < a < 1)
1

x

0

1

x

4/. Phương trình Logarit :

log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)


Tài liệu Tốn THPT

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x

f ' ( x0 ) = lim

∆y
∗ Đạo hàm bên trái :
( tồn tại )
∆x →0 ∆x
∆y
+
'
x
f
=
(
)
lim
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
0
∆x→0+ ∆x
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)


III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
Cơng thức hàm cơ bản
Cơng thức hàm mở rộng ( u)

(C ) ' = 0
( x) ' = 1

( x2 ) ' = 2x
( x n ) ' = n.x n −1
1
1
( )' = − 2
x
x
1
( x)' =
2 x
Đt : 0914449230

(u 2 ) ' = 2u.u '
(u n ) ' = n.u n −1.u '
1
u'
( )' = − 2
u
u
1
( u)' =
.u '

(e x ) ' = e x

(eu ) ' = u '.eu

( a x ) ' = a x .ln a

( a u ) ' = u ' a u .ln a
1
(ln u ) ' = .u '
u
1
(log a u ) ' =
.u '
u ln a

(ln x ) ' =

1
x

(log a x ) ' =

1
x ln a

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn
tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b)
f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN


với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :
Đt : 0914449230

14


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

β

b

∫ f ( x)dx = α∫ f [ϕ (t )].ϕ (t )dt
'

a

với x = ϕ(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ϕ’(t) liên tục
trên [a, b] , α ≤ t ≤ β
a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] là hàm số liên tục trên [α,β ]
4/. Tính chất :
a)

b

a

b

b

a

a

a

d) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
b

e)

b

∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx
a

,K ∈R

a

f) Nếu

m ≤ f(x) ≤ M thì
b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a )


Đt : 0914449230

15

(α ≠ 1)


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
dx
5
∫ x = Ln x + c
dx
1
=
6
∫ ax + b a Ln ax + b + c
7
∫ Kdx = Kx + c , K ∈ R

8

x
x
e
dx
=
e
+c
∫

=
−
Cos (ax + b) + c
∫
a

13

∫ Cosxdx = Sinx + c

14

∫ Cos(ax + b)dx =

15

dx
∫ Cos 2 x = Tanx + c
dx
∫ Sin 2 x = −Cotx + c
dx
∫ x 2 + 1 = arcTanx + c
dx
1
x
arcTan
=
+c
∫ x2 + a2 a
a


Đt : 0914449230

dx
x2 + h

1
Sin(ax + b) + c
a

= Ln x + x 2 + h + c

16

Tài liệu Toán THPT


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

23

∫

24

∫

Tài liệu Tốn THPT

x


n!
K !(n − K )!

n− K

 Cn = Cn
K

0
n
 Cn = Cn = 1
K
K −1
K
 C n −1 + C n −1 = C n

0
1
n
n
 C n + C n + ...... + C n = 2
n!
K
=
A
3/. Chỉnh hợp : n (n − K )!

NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
→

→

→

• M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2
• Cho A( xA, yA )
B( xB, yB )
→

1). AB = ( x B − x A , y B − y A )
2
2). AB = ( x B − x A , y B − y A )

x A + xB

x
=

2

3). Tọa độ trung điểm I của AB : 
y A + yB

4). a b = a1b1 + a 2 b2
→

5). a = a1 + a 2
→

2

2

→

6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0
a1b1 + a 2 b2
→ →
,
Cos
a
b
=


7).
2
2
2
2


a1 + a 2 . b1 + b2

2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0)
• Pháp vectơ

→

n = ( A, B)
→

→

• Vectơ chỉ phương a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) )
A
K =−
( B ≠ 0)
• Hệ số góc
B
3/. Phương trình pháp dạng :

A
A +B
2

2

x+

B
A +B
2


a b
x − x0 y − y 0
=
7/. Phương trình chính tắc :
a
b
→


 M ( x0 , y 0 ), a = (a, b) 


• Quy ước :

x − x0 y − y 0
=
⇔ x − x0 = 0
0
b

x − x0 y − y 0
=
⇔ y − y0 = 0
a
0
8/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = 0 :

Đt : 0914449230

19

* d1 cắt d2 ⇔ D ≠ 0

D = 0
D = 0
* d1 // d 2 ⇔  D ≠ 0 hay  D ≠ 0
 x
 y
* d1 ≡ d 2 ⇔ D = D x = D y = 0
Chú ý : A2, B2, C2 ≠ 0
A1 B1
⇔
≠
d1 cắt d2
A2 B2
A
B
C
d1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C 2
A
B
C
d1 ≡ d 2 ⇔ 1 = 1 = 1
A2 B2 C 2
11/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 :
Xác đònh bởi công thức :

Cosϕ =

A1 A2 + B1 B2



GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :
2
2
R2
Dạng 1 : ( x − a ) + ( y − b) =
2
2
0
Dạng 2 : x + y − 2ax − 2by + c =

Với R 2 = a 2 + b 2 − c ≥ 0
3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0)
(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Dạng 1)
x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2)
D. ELIP

Nhận luyện thi THPTQG
tại BIÊN HỊA – ĐỒNG NAI
Đt : 0914449230 (zalo)

PT chính tắc

x2
y2


MF1 = a + ex
MF2 = a – ex

Bán kính qua tiêu

Đt : 0914449230

21


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

x0 x y0 y
1
+ 2 =
a2
b

Pt tiếp tuyến tại M(x0 , y0)

 x = ±a

 y = ±b

Pt hình chữ nhật cơ sở

A 2a2 + B 2b 2 = C 2

•

Cho A( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B )

•


→

( xB − x A , y B − y A , z B − z A )
1). AB =
2). AB =

( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

3). Tọa độ trung điểm I của AB :

x A + xB

x
=

2

y A + yB

y =
2

z A + zB


Phép toán :

→

→

Cho a = ( a1 , a2 , a3 ) ; b = (b1 , b2 , b3 )

a1 = b1

a=
b ⇔ a2 =
b2
1).
a = b
 3 3
→

→

Đt : 0914449230

22


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)
→

Tài liệu Tốn THPT



a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

 → →   a2 a3 a3 a1 a1 a2 
8). Tích vô hướng của hai Vectơ  a , b  =  b b , b b , b b 

  2 3 3 1 1 2 
Điều kiện đồng phẳng :
→ → →
→ →  →
0
a , b , c đồng phẳng ⇔  a , b  c =


1  → → 
* Diện tích tam giác ABC : S = 2  AB , AC 



B. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :
1/. Phương trình tham số :

 x =x0 + a1t1 + b1t2

 y =y0 + a2t1 + b2t2 , (t1 , t2∈ R )
 z =z + a t + b t
0
31
3 2

z=0
mặt phẳng Oxy
Đt : 0914449230

23


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT
→

3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,có VPT n = ( A, B, C )
là:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
4/. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ:

x y z
1
+ + =
a b c
5/. Cho

α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
a/. Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :

Cosϕ =

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

x x0 + a1t
=

y0 a2t , t ∈ R
 y =+
=
 z z0 + a3t

→

Với a = (a1 , a2 , a3 ) Vectơ chỉ phương
2/. Phương trình tổng quát :

0
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 =
d :
0
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 =
Với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
Đt : 0914449230

24


GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai)

Tài liệu Tốn THPT

A12 + B12 + C12 > 0
A22 + B22 + C22 > 0

'
0

 → →  →
0
* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng ⇔  a , b  . MN =



 → →  →
⇔
* d chéo d’
 a , b  . MN ≠ 0
* Góc giữa d và d’ là : Cosϕ =

a1b1 + a2b2 + a3b3
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

2/. Đường thẳng và mặt phẳng :
→

• d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ chỉ phương a = (a1 , a2 , a3 )
• mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp
→

tuyến n = ( A, B, C )
→ →
a.n = 0
* d // ( α ) ⇔ 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0