BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TẠ NGỌC HỒNG

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM Ẩ n đ a t r ị
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
C h u y ê n n g à n h : T o á n giải tíc h
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VẢN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Người hư ớ n g d ẫ n k h o a học: PGS. TS. N g u y ễ n Q u a n g H uy

HÀ NỘI, 2 0 1 5


Lời cảm ơn
Trước k h i t r ì n h b à y nội d u n g c ủ a l u ậ n v ă n , tôi xin b ày
tỏ lòng b iế t ơn s â u sắc tới PGS. TS. N g u y ễ n Q u a n g H u y
người đã đ ị n h h ư ớ ng chọn đề t à i và t ậ n t ì n h h ư ớ ng d ẫ n tôi
có t h ể h o à n t h à n h l u ậ n v ă n này.
Tôi xin b à y tỏ lòng b i ế t ơn c h â n t h à n h tới P h ò n g S a u
đại học, các t h ầ y cô g iả n g dạy c h u y ê n n g à n h T o á n giải tíc h
T rư ò n g Đ H S P H à Nội 2 đã giúp đỡ t r o n g s u ố t q u á t r ì n h
học t ậ p v à là m l u ậ n v ăn .
Cuốĩ cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn c h â n t h à n h tới gia
đ ì n h và b ạ n bè đã động viên, giúp đỡ và tạo đ iề u k iệ n về
mọi m ặ t t r o n g q u á t r ì n h học t ậ p để tôi h o à n t h à n h k h ó a
l u ậ n này.
H à Nội, t h á n g 7 n ă m 2015


B ả n g kí h i ệ u và v iế t t ắ t

iv

Mở đ ầ u

1

C hương 1: K iến th ứ c c h u ẩ n bị

4

1.1 Á n h xạ đa t r ị

4

1.2 Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a h à m liê n tụ c L ip s c h itz

6

C hương

2:

T ín h

chính

qui

n g h ĩ a R o b in so n và t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in

32

K ết l u ậ n

35

T ài liệ u t h a m k h ả o

36


Bảng kí hiệu và viết tắt

||.|| : C h u ẩ n t r o n g k h ô n g g i a n B a n a c h
X*: K hông g ia n đôi n g ẫ u c ủ a X được t r a n g bị topo y ếu w*
B x, B x' \ H ì n h c ầ u đóng đơn vị c ủ a k h ô n g g ia n X và k h ô n g
g ia n đối n g ẫ u X
Tích vô hướ ng
B(x, p ) \ H ì n h c ầ u t â m X, b á n k í n h p
domi^: M iền h ữ u h i ệ u F
gphF: Đồ t h ị c ủ a F
d f ( x) \ Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a / t ạ i X

I n t Q : P h ầ n t r o n g của Q
D * F ( x ,ỳ ) \ Đối đạo h à m C la r k e của F t ạ i ( x , ỵ )


1


T ín h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R obinson, t í n h
c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in v à môi q u a n hệ giữa c húng.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h i ê n cứu
Tổng hợp, p h â n tích, đ á n h giá.


3

6. N h ư n g đóng góp c ủ a đề t à i
Hệ t h ố n g lại, đưa r a các ví dụ m i n h h ọ a để k iể m t r a
các đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in và
t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n c ủ a h à m
ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h tổ n g q u á t.


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Á n h xạ đa t r ị
T ro n g chương n à y c h ú n g tôi ký h i ệ u X, Y , z là các k h ô n g
g ia n B a n a c h th ự c với c h u ẩ n ||.|| (c h u ẩ n n à y có t h ể k h á c
n h a u t ù y th e o t ừ n g k h ô n g gian).
Đ ịn h n g h ĩ a 1.1 (Ánh xạ đa trị)
Cho các k h ô n g g ia n X, Y v à F: X =3 Y là á n h xạ t ừ X vào
các t ậ p hợp gồm t o à n bộ các t ậ p con c ủ a Y (được kí h iệ u là
2*). Ta nói F là á n h xạ đa t r ị t ừ X vào Y. N h ư v ậy với mỗi
X e X , F ( x ) là một t ậ p hợp con c ủ a Y. K hông loại t r ừ k h ả


6

Ví d ụ 1.7
H à m f ( x ) = yfjĩ + 5 là L ip s c h itz với h ằ n g sô" k - 1.
1.2

Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a h à m liê n tục L i p s c h itz

Đ ịn h n g h ĩ a 1.8 Cho f ' - X ^ R
h à m suy rộ n g c ủ a /

tại

X

là h à m L ip s c h itz . Đạo

th e o h ư ớ n g

V,

ký k iệ u

Được đ ị n h n g h ĩ a n h ư s a u
f ( ỵ +t v ) - f ( ỵ )
í \x ,v ) = lim sup— ----- —-------— ,
y->x,u0
ị
t r o n g đó ỵ \ à vectơ t r o n g X, t >0.


k h i đó

( / + g f (x, V) < / ° (x, V) + g ữ(x, V).
Chứng m inh
T ro n g đ iề u k iệ n L ip sc h itz , t r ị t u y ệ t đối của tỉ scí sai
p h â n t r o n g đ ị n h n g h ĩ a c ủ a f ° ( x , v ) được giói h ạ n bỏi -¿'||v||.
Với y eB(x,ỏ),ỏ>0; t >0. Ta có f° ( x ,Ă v ) = Ẫ f°(x,v),VĂ > 0. (1.1)
Khi y —> x , t —>0 t a có
rữ(
\ _ 1f { y +t v +t w ) - f { y )
f {x , v + w)= lim sup— ------- —-----------—
ỵ —>x,t—>0

ị

.
f { y + t v + t w ) - f { y + tw)
..
f ( ỵ + tw) - f { y )
< lim sup— ----------- —------ ----------1- lim sup— ----- —------—
ị

y —>x,t—>0

ị

suy r a
f ° ( x , v + w)< f ữ{x,v) + f ° ( x , w ).


t a có
- f { y ) + k\\v - w\\t.

K'jí'i'O, chia 2 v ế cho t t a được
f ° ( x , v ) < f ° ( x , w ) + k \ v - w\\.

K h ẳ n g đ ị n h b) đã được c h ứ n g m in h .
Ta c h ứ n g m i n h c)
* 0f
f(ỵ -tv )-f(y ).
_
I \X.-V) = lim sup—------—------ — ,u = y - t v
’
y^jio *
t
r_
(-/)(w + tv) = lim sup----------- —-------------y-> x,tÌ0

ị

= (-f)°(x,v).
d) H iể n n h i ê n đúng.
M ệ n h đề 1.11
Cho h à m

là L ip s c h itz t r o n g l â n cận của X với

h ằ n g sô" L ip s c h itz k. Khi đó
a) Tập d f ( x ) là lồi k h á c rỗng, com pact yếu t r o n g X* và
||£||, < k , \ ỉ ệ & õ f ( x ) .

K h ẳ n g đ ị n h b) và c) là đơn t h u ầ n lặp lạ i đối với / ° ( X,.).
C ố đ ị n h v e X . V ớ i m ỗ i i - 1 , 2 ... t a có f°(Xị, v) > ({Ẹ,v), t h ô n g q u a giới h ạ n c ủ a b ấ t đ ẳ n g th ứ c t r ê n t a
có
f ũ{x ,v )> {ệ ,v).
Khi đó cho £ > 0 , V ỵ G B (x,ổ),ổ > 0 ta khẳng định rằng
õ f{y)c zõ f(x) +sB .
T h ậ t v ậ y n ế u k h ẳ n g đ ị n h t r ê n là sai t h ì 3 ỵ i ^ > x và
l e ẽ f ( y ) sao cho
Ể õ f{ x ) + s B , M i .
Áp d ụ n g đ ị n h lý t á c h t r o n g X , t á c h ặị, 3Fy ^ 0 sao cho
(ii>v ¡) ¿ m a x j í ^ . F , , : I s õ f ( x ) + cB *ị

= f 0U , v i ) + s\\v1\\.


10

Ta lấy ịv-ị = 1, ệ- —>ệ,v- —>v k h i đó ||v |= l và t h a y vào
b iể u th ứ c t r ê n t a có

{ ệ , v ) > f \ x , v ) + €.
Đ iều t r ê n vô lý suy r a d) đúng, t a có Ç e ỡ / ( x ) và 0 / là
n ử a liê n tụ c t r ê n t ạ i x e X .
M ệ n h đề 1.12
Cho f ’- X —>R là h à m L ip s c h itz t r o n g l â n c ậ n c ủ a X với
h ằ n g sô" L ip s c h itz k. Vổi mỗi Ẳ & R , t a có



a ) N ế u / có đạo h à m G â t e a u x f G(x) t ạ i x t h ì t a có
f G(x) e õ f ( x ) .
b ) N ế u / là h à m k h ả vi liê n tụ c t ạ i

X

thì

(*) = j / O ) j .

Chứng m inh
Từ đ ị n h n g h ĩ a đạo h à m G â t e a u x ta. suy r a
f \ x , v ) = (/c W , 7 ) , V 7 e R n.
H iể n n h iê n , f { x , v ) < f ữ{x,v) suy r a
ự G{ x ) , v ^ < f ữ{ x , v ) , \ ỉ v ^ R n.
Theo M ệ n h đề 1.1.2 suy r a f G{ x ) & ô f{ x ).
Vậy a) đã được c h ứ n g m inh.
Giả sử / l à h à m k h ả vi liê n tục t r o n g l â n c ậ n

X

và cô"

đ ị n h V g X . Cho y e B ( x ,d ) ,d > 0 , t > 0, t a có

L ấy t ù y ý z &{ y , y + tv). Theo đ ị n h lý giá t r ị t r u n g b ì n h
cổ đ iể n k h i ỵ —>x, ¿ ị o , z —>x, t ừ h à m liê n tụ c f \ . ) t a suy
ra
/°(*,v) < ( / ’(*), v) .

XeJỈ

(1-3)

với £ > 0 và n ế u Ẳ e R ,Ấ > 0 cho trước, t h ì tồ n t ạ i x e B

sao

cho
i) ọ(x) < ọ(x)
ii) d ( x , x ) < Ấ
iii) V ớ i

Vx

e

x \

| j s t | , ọ?(jsr)
0 , t a đ ịn h n g h ĩ a t h ứ tự “
X 1 = X2.

Từ (1.3) t a có y 1^ y 2 và y 2 > y 1. Do đó (x1, ^ ) - (X2, y 2).
• T ín h bắc cầu:
Giả sử r ằ n g { x ^ y 1) y .


17

Lấy g e (o,
t ạ i lâ n cận mở

—^ ) . Vi

2
u

của

X

là nửa liên tục dưới tại


Ấ

ỵ - ỵ 1+ a d ( x , x ) < 0,
hay
ỵ-(p{x).
K hi đó
2

(1-9)


18

Suy r a ( x , y )
Vậy t í n h c h ấ t (iii) n g h iệ m đúng.


19

Chương 2
Tính chính qui khoảng cách
theo

nghĩa

Robinson và tính

chất Lipschitz kiểu Aubin
T ro n g chương này , c h ú n g t a kí h i ệ u X , Y , Z \ à các k h ô n g
g ia n B a n a c h th ực.
Đ ịn h n g h ĩ a 2.1
Cho QczX là t ậ p đóng, k h á c rỗng. Nón tiế p t u y ế n
C la r k e đối với Q t ạ i x e X , kí h i ệ u T(x,Ò ) được xác đ ịn h
bởi
T ( x , n ) = {.sr e X I a Ị ^ Ị c í Ị ỉ , ->

c (0,+co),^ -> 0,

3K)
\\x -

w||

disli lịQ) = +OC n ế u Q = 0 .
Đ ịn h n g h ĩ a 2.4
a) Cho o : x ^ x F l à á n h xạ đa t r ị {x,y)& g p h o . ® được
gọi là có t í n h c h ấ t L i p s c h itz k iể u A u b in t r o n g l â n c ậ n

(x,y) với m o d u n 1 > 0 (ALlp) n ế u t ồ n t ạ i l â n c ậ n u c ủ a X
và l â n c ậ n V c ủ a y sao cho
O C s r ^ n F cz0(x2) + 7||x1 - xJ^BYy x 1, x 2 eZ7.
b) Cho F\ X x Y

z là á n h xạ đa t r ị giữa các k h ô n g

g ia n B a n a c h t h ỏ a m ã n công th ứ c (2.1) v à ơ: Y ^ X là h à m
ẩ n đa t r ị liê n k ế t với (2.1), cho wữ'-={xữ, y ữ,Ò) &g p h F . G được
gọi là c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n (R m r )
t r o n g l â n c ậ n c ủ a wữ với m o d u n c > 0 n g h ĩ a là
3 B 1(x0,ổ1),B2( ỵ 0,ỏ2),ỏ1,ổ2 > 0 ,ự > 0 , sao cho
distix,G(ỵ)) < c.distio,F{x,ỵ)),\/x
thỏa m ãn
distiữ, F(x, ỵ ) )