B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TR

NG

I H C TH NGăLONG

--------------------------***--------------------------

NGUY N V NăH O

V Nă

C C TR HÌNHăH C TRONG
KHÔNGăGIAN EUCLID E3

LU NăV NăTH CăS ă TOÁNăH C

Hà N i - N m 2016


B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TR

NG

I H C TH NGăLONG

--------------------------***--------------------------

NGUY NăV NăH O – C00257

dẫn và ghi gõ nguồn gốc.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.

Tác giả

Nguyễn Văn Hảo


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian theo học ở trường Đại học Thăng Long – Hà
Nội và đặc biệt là trong khoảng thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp,
tôi đã nhận được sự giúp đỡ hết lòng về mặt vật chất, tinh thần, kiến
thức và những kinh nghiệm quí báu từ gia đình, thầy cô và bạn bè.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quí Thầy, Cô
trường Đại học Thăng Long – Hà Nội, đặc biệt là quí Thầy, cô khoa
Toán, những người đã hết lòng truyền đạt kiến thức và những kinh
nghiệm quí báu trong suốt thời gian chúng tôi theo học ở trường để
chúng tôi có thể tự lập được trong công việc sau này, đặc biệt là người
thấy kính mến PGS – TS Nguyễn Doãn Tuấn - người đã tận tình hướng
dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn tốt
nghiệp, Các anh chị học viên trong lớp Cao học khóa 3 và các bạn đồng
nghiệp đã ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm và tài liệu
cho tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ của
luận văn nên bản thân mới chỉ trình bày được một phần nào đó không
tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của
thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn
Hà nội, ngày ...... tháng ......năm 2016
Học viên thực hiện

1.2.1

Bất đẳng thức cơ bản: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . . . . . . .

6

1.3.1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Tìm thiết diện của hình đa diện (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

6

1.3.3

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . .

6

1.3.4


11

1.4.3

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu bán kính R: . . . . . . . .

11

1.4.4

Tỷ số thể tích của hình chóp tam giác . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 PHÂN LOẠI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
2.1

BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ . . . . . .

14
14
iii


MỤC LỤC

2.2

CỰC TRỊ KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



2.7.1

Bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng trong không gian . . . . . . .

79

2.7.1.1

Định lý Ptôlêmê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.7.1.2

Bất đẳng thức Ptôlêmê . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.7.1.3

Bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng . . . . . . . . . . . .

83

Bất đẳng thức Erd¨os mở rộng trong không gian . . . . . . . .

85

2.7.2.1


Thang Long University Libraty


Giới thiệu
0.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một môn học chiếm một vị trí quan trọng trong nhà
trường nói chung và Trường THPT nói riêng, Dạy toán chủ yếu dạy cho
học sinh phương pháp suy luận lôgíc, Toán học chủ yếu là học và rèn
luyện khả năng tư duy logic. Việc giải toán là một công việc mà giáo
viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy hình
thành kĩ năng, kĩ xảo.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất( hay còn gọi là bài toán
cực trị) là các bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất,
dài nhất, ngắn nhất. . . Để từ đó dần hình thành cho học sinh thói quen đi
tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong thực tiễn cuộc
sống sau này.
Các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học là các bài toán
tương đối hay và khó, thường gặp trong thực tiễn giảng dạy ở cấp học
THPT và trong cuộc sống. Loại toán này rất phong phú và đa dạng đòi
hỏi suy luận một cách hợp lý nhiều khi độc đáo và bất ngờ, do đó học
sinh khi gặp loại bài toán này thường có tâm lý sợ, e ngại. Hơn nữa hiện
nay đã có một lượng đáng kể tài liệu về các vấn đề cực trị hình học, tuy
nhiên tài liệu còn nằm rải rác. Mặt khác theo tôi được biết tài liệu về
phân loại “ Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3 ” chưa
có nhiều mà giáo viên cũng gặp khó khăn khi tập hợp và tuyển chọn
những bài toán dạng đó. Từ những lí do trên tôi đã chọn đề tài luận văn
" Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3 " với mong muốn
có một tài liệu hệ thống về toán cực trị để làm tài liệu giảng dạy cho học
sinh trong trường THPT.



CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC
Định lý 1.1.1 Định lý hàm số Sin: Trong tam giác ABC ta có:
a
b
c
=
=
= 2R
Si nA Si n B Si nC

Định lý 1.1.2 Định lý hàm số Cos: Trong tam giác ABC ta có:
a 2 = b 2 + c 2 − 2b cCos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2a cCos B
c 2 = b 2 + a 2 − 2b a Cos C

Định lý 1.1.3 Các công thức tính diện tích tam giác ABC:
1
1
1
S = a · h a = b · hb = c · h c
2
2
2
1
1
1

m b2 =
2
4
2
2
c2
b +a
−
m c2 =
2
4
m a2 =

Định lý 1.1.5 Công thức tính diện tích hình thang
S =h·

a +b
: Chiều cao nhân với trung bình cộng của tổng hai cạnh đáy là
2

diện tích của hình thang.

Công thức tính chu vi hình thang: P = a + b + c + d : Bằng tổng độ dài hai đáy và
hai cạnh bên.
Định lý 1.1.6 Định lý Pythagoras:
Thuận: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương
hai cạnh góc vuông: a 2 = b 2 + c 2
Đảo: Trong tam giác, nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh
còn lại thì tam giác đó vuông.
Định lý 1.1.7 Định lý Thales

=
=
A B AC
BC
2

Thang Long University Libraty


CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN
1.2.1

Bất đẳng thức cơ bản:

Các bất đẳng thức đại số được sử dụng rất rộng rãi trong các bài toán cực trị. Trong
luận văn này xin trình bày hai bất đẳng thức đại số cơ bản nhất đó là bất đẳng thức
Cauchy, bất đẳng thức Cauchy – Schawrs.
Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Cauchy). Với n số thực không âm bất kỳ a 1 , a 2 , ...a n
ta có bất đẳng thức:
a 1 + a 2 + .... + a n
≥
n

n

a 1 a 2 · ....a n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a 1 = a 2 = a 3 = ........ = a n

≥ xy z.
2
2
2
Từ đó, theo cách đặt trên ta được: a b c ≥ (b + c − a ) · (c + a − b ) · (a + b − c )

Do đó:

Mà

(b + c − a ) · (c + a − b ) · (a + b − c )
= a 2 · (b + c − a ) + b 2 (c + a − b ) + c 2 (a + b − c ) − 2b a c

Từ đó thu được bất đẳng thức cần chứng minh
3


CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

Bài toán 1.2.3
Cho a, b, c là chiều dài cạnh của

A BC . Chứng minh rằng:

1 1 1
1
1
1
+ + ≤
+

2 a +c −b a +b −c

1
(2)
c
1
≥ (3)
a

≥

Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) theo vế với vế ta được bất đẳng thức theo yêu
cầu. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c
Hệ quả 1.2.4 (Bất đẳng thức Cauchy).Với mọi số dương ta đều có:
n

a 1 · a 2 · .....a n ≥

n
1
1
1
+
+ .... +
a1 a2
an

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = a 3 = ..... = a n
Hệ quả 1.2.5 Với mọi bộ số dương a 1 , a 2 , ...a n ta đều có:
1


CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

Định lý 1.2.7 (Bất đẳng thức Cauchy – Schawrs)
Xét hai bộ số thực tùy a 1 , a 2 , ...a n và b 1 ,b 2 , ...b n khi đó ta có:
(a 1b 1 + a 2b 2 + ... + a n b n )2 ≤ a 12 + a 22 + ..... + a n2

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi:

b 12 + b 22 + ..... + b n2

an
a1 a2 a3
=
=
= ... =
b1 b2 b3
bn

(với quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

Định lý 1.2.8 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Hàm số: y = f (x )
xác định trên tập D
a) Số M được là giá trị lớn nhất của f (x ) trên tập D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:


 f (x ) ≤ M , ∀x ∈ D
 ∃x ∈ D, f
(x 0 ) = M , ký hiệuM = max f (x ) , x ∈ D
0

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta tìm hai điểm chung thuộc cả
hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó ta tìm được giao tuyến cần tìm.

1.3.2

Tìm thiết diện của hình đa diện (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hình (H)
Xác định thiết diện là tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình đa
diện. Thiết diện thu được là một hình đa giác tạo bởi các giao tuyến đó

1.3.3

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh a ⊥b thường sử dụng những phương pháp sau:

Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Góc nội tiếp, định lý Pytago đảo,...
Sử dụng phương pháp tích vô hướng của hai véc tơ:
−
→

−
→

−
→
Nếu −→

Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc
với mặt phẳng (P) thì a ⊥b tức là:




a // (P)
b ⊥ (P)

⇒ a ⊥b

Sử dụng định lý 3 đường vuông góc: a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mp (P),
b ⊂ (P). Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b khi và chỉ khi b vuông góc

với a’. Nói ngắn gọn b vuông góc với hình chiếu thì b vuông góc với đường xiên.

1.3.4

Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng các
phương pháp sau:
Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mp(P):
a ⊥b ⊂ (P)
a ⊥c ⊂ (P)

⇒ a ⊥ (P)

b ∩ c ⊂ (P)



Đường thẳng a song song với mp (Q), mp (P) song song với (Q) nên a vuông góc
với (P):
a ⊥ (Q)
(Q) // (P)

1.3.5

⇒ a ⊥ (P) .

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến một mặt bên
của hình chóp
Phương pháp:
Xác định giao tuyến d của mặt bên và mặt phẳng chiếu
Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, dựng AH ⊥d (H ∈ d )

Dựng A I ⊥SH (I ∈ SH ). Khoảng cách cần tìm là AI với S là đỉnh, A là hình chiếu

vuông góc của đỉnh lên mặt đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) hãy xác định khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
8

Thang Long University Libraty


MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN


nên: I M H = I N K

Do đó: Tam giác vuông IMN, INK đồng dạng (g.g)
Nên:

d (M , (P)) I M
MH IM
=
⇒
(đpcm)
=
NK
IN
d (N , (P)) I N

Chú ý:

Hai điềm M, N nằm ở khác phía đối với mp (P) thì tính chất trên vẫn đúng
Nếu MN//(P) thì d(M, (P))= d(N, (P))
Nếu N là trung điểm của IM thì d (M , (P)) = 2d (N , (P))
Nếu I là trung điểm của MN thì: d (M , (P)) = d (N , (P))
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ
thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ
9


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU


Ta cũng có thể đổi đỉnh S sang đỉnh A hoặc B hoặc C, tức là:
VS.A BC = VA.S BC = VB.SAC = VC .SA B (Tùy theo bài toán ta chọn đỉnh thích hợp)
1
Với hình chóp tứ giác S.ABCD thì: VS.A BC D = S A BC D · d (S, (A BC D))
3

10

Thang Long University Libraty


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU

1.4.2

Thể tích hình lăng trụ
V = B.h

Trong đó B là diện tích đáy, và h là chiều cao, đó là khoảng cách giữa hai đáy.
Với hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thì: V A BC D.A ′ B ′C ′ D ′ = S A BC .d ((A BC ) , (A ′ B ′C ′ ))
Với hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ thì: VA BC A ′ B ′C ′ = S A BC · AA′

Với hình hộp chữ nhật với ba kích thước là a, b, c thì: V = a · b · c
Với hình lập phương cạnh a thì V = a 3

1.4.3

Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu bán kính R:
S mặt cầu = 4 · π · R 2 , Vkhối cầu =


VA.S BC
d (A, (S BC )) SS BC
d (A, (S BC )) · SS BC
3
d (A ′ , (S BC )) SA ′
=
Do: S = SA ∩ (S BC ) , A ′ ∈ SAn eˆ n
d (A, (S BC ))
SA
⌢
⌢
⌢
⌢
1 ′
1
′
′
′
′
′
Vì: SS B,C = S B · SC · Si n B SC SS BC = S B · SC · Si n BSC m a` B SC ′ = BSC
2
2
SS B ′C ′ S B ′ · SC ′ S B ′ SC ′
=
=
·
nên
SS BC
S B · SC

·
·
·
VS.A BC D
SA S B SC SD

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA=2a, SA⊥ (A BC ).
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích
ABCMN
Lời giải
VS.AM N SM SN
=
·
VS.A BC
S B SC

Tam giác vuông SAB có:
S B 2 = SA 2 + A B 2 = 4a 2 + a 2 = a 5
1
1
1
1
1
5
=
+
=
+
=
AM 2 A B 2 SA 2 a 2 4a 2 4a 2

SC
5
16
VS.AM N SM SN 16
=
·
=
⇒ VS.AM N =
· VS.A BC
Do đó:
VS.A BC
S B SC
25
25
1 a2 · 3
a3
1
· 2a =
Mà: VS.A BC = S A BC · SA = ·
3
3
4
2 3
8a 2
16 a 2
=
Nên: VS.AM N = ·
25 2 3 25 3
8a 3
9a 3

thể bằng công cụ thuần túy hình học.
Bài toán 2.1.1 Cực trị về họ mặt phẳng, họ đường thẳng quay xung quanh một
điểm cố định
Cho 2 điểm phân biệt A, B, tìm vị trí của mặt phẳng (α) chứa B và cách A một
khoảng lớn nhất
Phương pháp giải
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (α), khi đó:
14

Thang Long University Libraty


BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Hình 2.1:

∆ ABH vuông tại H, và d (A; (α))= AH ≤ A B

Vậy khoảng cách lớn nhất khi H ≡ B , khi đó mặt phẳng (α) qua B vuông góc với

AB (Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất)

Ví dụ1: Viết phương trình mặt phẳng qua B (1; 2; -1) cách gốc tọa độ một khoảng
lớn nhất.
Phương pháp giải
−→

Theo bài toán 1: mặt phẳng cần tìm có 1véc-tơ p tuyến O B = (1; 2; −1)

Vậy mặt phẳng cần tìm là: 1 (x + 1) + 2 y − 1 − 1 (z − 1) = 0


z = −t

hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆ Thì K (t; 1+t; -t);
−→
A K = (t − 1; t ; −t − 2)

1
−4 1 −5
−→
vậy A K =
;− ;
3
3
3 3
m −1 1 m
= =
=> m=5
mặt phẳng cần tìm vuông góc với AK nên :
4
1
5
−→

→
Vì A K ⊥−
u ∆ nên (t − 1) 1 + t + t + 2 = 0 ⇒ t =

16


định trên ∆3 và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ta có góc giữa ∆2 và (α)
chính là góc AKH.
Kẻ AT ⊥

1 (T
⌢

∈

Nên: c osA K H =

1)

Khi đó tam giác HKT vuông tại T

HK
KT
≥
không đổi
AK
AK

Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK= KT hay H ≡ T góc lớn nhất chính là:
⌢

AK T = (

1;

2)