BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

CHU VĂN ĐÔNG

VE MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

CHU VĂN ĐÔNG

VỀ MỘT s ố PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VÃN THẠC s ! TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. KHUẤT YĂN NINH

Hà Nội - Năm 2015


của ai khác.

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015
rTI-Í _ _*2
Tác
giả

Chu Văn Đông


iii

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

MỞ ĐẦU

1

1

Kiến thức chuẩn bị


..................................................

Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân trong
không gian định c h u ẩ n ...........................................................

9

1.3.1

Không gian tuyến tính định c h u ẩ n ............................

9

1.3.2

Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . .

12

1.4 Phương pháp N e w to n ...............................................................

16

1.4.1

Điểm F o u rie r..............................................................

16

1.4.2

Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc
hội tụ cao và hiệu quả tính toán

25

2.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng b a ...................................

25

2.1.1 Đặt vấn đề

3

...................................................................

25

2.1.2 Bổ đ ề ............................................................................

26

2.2 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng n ă m ................................

31

2.3 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng s á u ................................

33

2.4

trong M2 và M3

41

3.1 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng b a ...............................................

41

3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng n ă m ............................................

46

3.3 Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng s á u ...............................................

52


3.4

So sánh tính hiệu quả của các phương pháp lặp có bậc hội tụ
bằng ba, năm và sáu trong việc giải hệ phương tìn h phi tuyến

57

KẾT LUẬN

65


được như một điểm cố định của hàm G( x ) : Mn —> Mn bằng phương pháp
lặp điểm được xác định bởi dãy X

= G ( x ^ ) , к = 0 ,1 ,.....Một trong

những phương pháp cơ bản để giải hệ phương ữình phi tuyến là phương pháp
Newton cổ điển có bậc hội tụ bằng hai. Phương pháp Newton cổ điển được
xác định bởi:

= G

= x W —F f[ x ^ ) 1F (xW) , k = о, 1,2,

ữong đó yêu cầu hàm F khả vi, liên tục và xấp xỉ ban đầu ж(°) là điểm Fourier.
( F '( x )- 1 là nghịch đảo của đạo hàm Fréchet F ' (x) đối với hàm F (X) ).
Để cải thiện bậc hội tụ của phương pháp Newton nhiều đề xuất đã được
đưa ra ví dụ như: M.Frontini và E.Sormani đã phát ữiển một vài phương pháp
lặp có bậc hội tụ bằng ba. M.T.Darvishi và A.Barati đã ữình bày một phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng bốn. A.Cordero, E.Martinez và J.R.Torregrosa đã
đưa ra một phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng năm. A.Cordero, J.L.Hueso,
E.Martinez và J.R.Torregrosa đã trình bày một phương pháp lặp có bậc hội
tụ bằng sáu.
Với mong muốn tạo ra các phương pháp lặp có bậc hội tụ cao và có cấu
trúc đơn giản nhưng với tính toán là tối thiểu, và nhằm bổ sung và nâng cao
kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học, tôi chọn đề tài “về


2


6. Đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học
viên cao học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi
tuyến.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian vec tơ

Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu : ấ, ß, 7 , . . . và
trường

к mà các phần tử được kí hiệu: x , y , z , . ..

Giả sử trên E có hai phép toán :
1. Phép toán cộng , kí hiệu + :
E X E — » E.
(а,Д ) I— >ã + ß
2. Phép toán nhân, kí hiệu là • :
К X E — » E.
( X , ã ) I— > X • ã .

thỏa mãn các tiên đề sau :
1) ã + ß = ß + ấ, Võí, ß e E\



6

Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử
thì số phần tử trong cơ sỏ đó được gọi là số chiều của không gian.
Khi E là một

-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu: dim E = n

Định nghĩa 1.6. Tập con w Ỷ 0 của một K -không gian vec tơ E được gọi là
không gian vec tơ con của E nếu nó ổn định vớihai phép toán của E , nghĩa
là thỏa mãn các điều kiện sau :
1) VỔ, ĩ € w, ã + ặ € w ,
2) Va € w và

1.2

G K thì x ã G w.

Không gian metric, nguyên lí ánh xạ co

1.2.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.7. Cho 1 ^ 0 . Một metric trong X là một ánh xạ
d:X x X ^ R
của tích X X X vào đường thẳng thực M, thỏa mãn các điều kiện sau đây
1) d (X, y ) > 0, Vx, y e X và d (x, y) — 0

X = y\

2) d (X, y) = d (y , x) , Vx, y e X]

X

Y được gọi là liên tục tại
3?0 ẽ X

nếu như vói mọi £ > 0, 3(5 > 0 sao cho với mọi X £ X thỏa mãn d ( x: X Q) < ổ
thì
d (A ( x ) , A (a:0)) < £.


1.2.2

Nguyên lí ánh xạ co

Định nghĩa 1.12. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A :
X —> Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại a với 0 < a < 1 sao cho với
mọi x :y & X ta đều có
d(A (x),A(y)) < ad(x, y).
Đinh lý 1.1 (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử X là một không gian metric đầy
đủ, và A : X —>X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một
và chỉ một điểm X* € X sao cho A (z*) = X*.
Ví dụ 1.2.2. Trong không gian M1 cho ánh xạ A được xác định bởi công thức
A x = 7Ĩ — asiĩix, |aỊ < 1.
Khi đó A là ánh xạ không gian gian đủ R 1 vào chính nó. Hơn nữa,
IA x —Ax'\ = Ịasinx —asin x 'l = 2 Ịa| |sin

|cos

< 2 |a| 1 ^ 1 = \a\ \ x - x ' \
Suy ra A là ánh xạ co , vì |a| < 1 .

Định nghĩa 1.13. Một chuẩn, kí hiệu II. ỊỊ, trong X là một ánh xạ đi từ X vào
R thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ||z|| > 0,Vz G X;
2) Ị|z|| = 0 khi và chỉ khi X = 6 (6 là kí hiệu phần tử

không);

3) ||Ax|| = |A| ||z|| ,VA G P,Vz G X ;
4) ||z + y\\ < ||z|| + IMI , Va:,ĩ/ G X .
Số ||a;|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ

X

e X . Một không gian

tuyến tính X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là
một không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoạc phức, tùy theo p thực hay
phức).
Ví dụ 1.3.1. Không gian M2 là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn
thường chọn là chuẩn : II X ||2= y/xỊ + xị , X = ( x i , x 2) Ễ K2.


10

Định lý 1.2. Giả sử không gian X là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Với mọi x , y €E X , đặt
d ( x , y ) = \\x - y\\ .
Khỉ đó, d là một metrỉc trên X .
Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ gọi là không gian
Banach.


nach.
Định nghĩa 1.15. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X với hai chuẩn IIII1
và IIII2. Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và
m > 0 sao cho :

raỊMIi < ||a:||2 < Mll^ll^Va; e X.
Định nghĩa 1.16. Dãy (xn) , n = 1,2... ữong không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ đến x 0 E X nếu lim IIx n —a:0|| = 0.


11

Khi đó, ta kí hiệu limxn = x 0 hoặc x n —»■x ữ, khi n —»■00 .
n—
>00

Định nghĩa 1.17. Dãy (zn) ,77, = 1,2... trong không gian định chuẩn X được
gọi là một dãy cơ bản nếu
lim \\xm - x n\\ = 0.

m,n—>00

Định nghĩa 1.18. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên
trường p . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ
tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:
1) A ( x + y) = A x + A y , Vx, y G X;
2) A (ax) = aAx, \fx Ẽ l , V a Ẽ p.
Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.
Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.

в xác định

bởi biểu thức
(А + В ) (æ) = А х + B x , Væ g X,
2) Tích vô hướng của a e p (P = R hoặc p = C) với toán tử A G L (X, Y)
là toán tử, kí hiệu là a Ả, được xác định bởi biểu thức
(iolA) (X) = а (A x ) .
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + в e L (X, Y ), a A G L (X , y ). Khi đó,
tập L (X , Y) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn ữên trường p.
Định lý 1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L (X, Y ) là không gian
Banach.
1.3.2

Phép tính vỉ phân trong không gian định chuẩn

Giả sử X, Y là các không gian Banach, и с X là một tập mở, F : и —»• Y
là một ánh xạ
Định nghĩa 1.22. Cho и € и. F được gọi là khả vi Fréchet tại и nếu tồn tại
A g L { X , Y ) sao cho
||F ( M+ f t ) - F ( u ) - A ( f t ) | | r
114,-0

INI*

Ta có thể thấy A nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi Ả là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ F tại điểm и và ký hiệu A = dF (и ), còn A(h) được gọi là vi


13


tính liên tục A : X

Y sao cho vói mọi h e X mà IIh\\

f { x 0 + h ) - f (xữ) = A( h) + a (xữ, h), với lim
NHO

0 ta có biểu diễn

ỊỊAỉỊỊ

= 0.

Ta lấy tuỳ ý hị G X và t G R thì lim \\thị II = 0. Do đó

í—
^0

/ (ж0 + thi) — f (ж0) = Ả (t hi ) + a ( x 0, t h i ) , v/ii € X, Ví € R \ {0} .
Ta có

И тИ ф ф М = о.
t—>0

|Ịí< ỉi II

Vì A là ánh xạ tuyến tính nên A (thị) = t A (hi).
= Umlüfeilfüillft!!! = 0.ЦЛ,
í->0 II47*1
0, Vhị G X. Chứng tỏ / khả vi Gâteaux tại x 0 yà lúc đó đạo hàm Gâteaux và


khi (hị, h2) 7^ 0

Nên
lim
t—
}0

f { t h i , t h 2) - /(0 ,0 )

-9{h)

= lim l l / № , t M I I =
Ho
|íỊ

2

tức là f ( x , y) khả vi Gâteaux tại X Q = (0,0) € M2 và đạo hàm Gâteaux có nó
tại điểm này chính là g.
Giả s ử

f(x, y

) khả vi Frechet tại X Q = (0,0) e M2, tức là tồn tại ánh xạ tuyến

tính liên tục A : R2 —»■M sao cho với mọi h = (hi, h2) e R 2, \\h\\ —>0 ta có
biểu diễn
f ( h i , h 2) — f(0, 0) = A(h) + a ( x Q,h),

• 0(*). Bây giờ ta chọn h = (2~n,2~2n) e R 2\ {(0,0)} , n e N,
ứiì hiển nhiên \\h\\ —»• 0 khi 77, —>• oo. Lúc này

= íirrTĩ
2 \\h\\

+oo khi

n —»• + 0 0 (II/ỉ II —»• 0). Điều này mâu thuẫn với (*). Chứng tỏ / không khả vi
Frechet tại điểm (0,0).

□


16

1.4

0.

Không giảm tổng quát hàm f ( x ) trong phương trình (1.3) có thể coi có
f " { x ) > 0, nếu không ta xét phương ữình g(x) = 0 với g(x) =
1.4.2

Phương pháp Newton

Chọn xấp xỉ ban đầu x 0 là điểm Fourier: f " ( x 0) f ( x 0) > 0. Phương trình tiếp
tuyến của đường cong y — f ( x ) tại điểm M (xQ, f ( x o)) có dạng:
y = f ' M {x -

0 nên sau đây ta chỉ xét trường hợp f' {x) < 0. Trường

Suy ra tồn tại giới hạn lim x n = C- Ta có \ f ( xn)\ = If ( x n) \ \xn+1 - x n\
M 2 > 0 với mọi X e [a, b]. Một mặt ta có:
f { x n + 1 ) = f ( x n + 1 ) - / ( £ ) = f { x n + 1 ) ( x n+1 - £)

< Mị và


18

Từ đây suy ra
k + 1 - íl

Xỵ

f ( x k) - / ( « )
Ũ

A