Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

Câu khoảng cách trong đề thi THPTQG
Câu khoảng cách của hình học không gian (thuần túy) trong đề thi THPTQG dù không là một câu khó
nhưng để có thể nhìn được chân đường cao hoặc đoạn vuông góc chung đối với học sinh trung bình yếu
không phải dễ. Bài viết mong muốn giúp các em tự tin hơn với câu này, dù là điểm 8,9,10 là khó lấy, nhưng
điểm 7 với các em thì hoàn toàn có thể. (Bài viết có tham khảo nhiều nguồn khác nhau nên khó lòng trích
dẫn các nguồn ở đây xin chân thành cám ơn các tác giả, các nguồn tài liệu đã tham khảo để viết bài này).

I) Ý tưởng: Ta có một hình chóp: S . ABC việc tính thể tích của khối chóp
này được thực hiện rất dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy ( ABC ) ),
ta cần tính khoảng cách từ C đến ( SAB) tức tìm chiều cao CE . Vì thể của
hình chóp là không thay đổi dù ta có xem điểm nào đó ( S , A, B, C ) là đỉnh
vì vậy nếu ta biết diện tích ∆SAB thì khoảng cách cần tìm đó CE =

3V
. Có thể gọi là dùng thể tích 2 lần.
S ∆SAB

Chú ý: Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ công thức tính diện tích của tam giác:

S∆ABC =

p( p − a)( p − b)( p − c) với p là nửa chu vi và a, b, c là kích thước của 3 cạnh.

II) Ví dụ minh họa:
VD1: (A-2013) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , ABC = 30O ; SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ


2

 a 3   a 2
a 3
2
2
Ta có AB =
SB = a; SA = SE + EA = 
 +   = a , Áp dụng công thức Heron ta được:
2
2

 2

S∆SAB =


a + a + a 3 

2 = 39 a 2
p ( p − SA)( p - SB )( p - AB); p =

 16
2





Vậy d (C ;( SAB)) =


1 a 3 1 2 a3 3
=
a =
vì vậy để tính được khoảng cách ta cần có diện tích của ∆SCD .
3 2 2
12

2


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004
2

2

2

2

2

Ta có CD = a; SD = SC = SE + DE = SE + DA + AE = a 2 , Áp dụng công thức Heron ta được:

S∆SCD =


a+a 2+a 2

1
Từ đó VS . ABCD = a 3
3
Ta cần tính khoảng cách từ A đến ( SBD) ta quan sát hình chóp S . ADB có thể tích là
nên nếu ta tìm được diện tích tam giác ∆SBD bài toán sẽ được
giải quyết.
Ta có BD = a 2; SD =

ta được: S∆SBD =

3a
5
; SB =
a Áp dụng công thức Heron
2
2


3a
5 
a 2+
+
a 3

2
2
p ( p − SB )( p − SD)( p − BD);  p =
 = a2
2


A ' lên ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng A ' C và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ')
Lời giải
Gọi E là trung điểm AB , khi đó A ' E ⊥ ( ABC ) , 60o = ( A ' C ;( ABC ) ) = A ' CE .
Ta có CE =

a 3
(đường cao trong tam giác đều)
2

3a
3a a 2 3 a 3 3 3
vì vậy A ' E = tan 60 CE =
⇒ VABC . A ' B 'C ' = .
=
.
2
2
4
8
0

Ta cần tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') tức từ B đến ( AA 'C) , ta quan sát khối chóp A '. ABC có thể

1 3a a 2 3 a 3 3
tích là VA '. ABC = . .
=
vì vậy ta cần tìm diện tích ∆A ' AC (để dùng thể tích 2 lần).
3 2
4








Vậy d ( B;( ACC ' A ') ) = d ( B;( A ' AC ) ) =

3VA '. ABC 3 13
=
a
S∆A ' AC
13

Qua bốn VD ta thấy được việc áp dụng cách Thể tích 2 lần tỏ ra rất hiệu quả vì nó không cần suy nghĩ quá
nhiều (vì vậy người viết không khuyến khích các bạn khá giỏi làm theo cách này trừ khi bí). Trước khi ta xét
mức độ áp dụng của phương pháp với các đề thi thử năm nay (2015) cũng như các đề thi cũ, ta sẽ mở rộng
cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau khi mà đoạn vuông góc chung rất
khó tìm.

4


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

III) Các ví dụ khác áp dụng cách tính Thể tích 2 lần :
VD1: (A-2012) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của S lên mặt

Dựng hình bình hành ABCD (điều này cũng rất tự nhiên vì đây là cách tìm khoảng cách giữa hai đường
chéo nhau), khi đó d ( SA; BC ) = d ( B;( SAD)) . Ta quan sát khối chóp S . ABD khối chóp này có thể tích bằng
với thể tích của khối chóp S . ABC tức VS . ABD =

a3 7
vì vậy để tính d ( B;( SAD)) ta cần tính diện tích ∆SAD
12

5a
19a 2
2 10a
2
2
2
o
Ta có AD = a; SA = SH + AH =
, DH = AD + AH − 2 ADAH cos120 =
do đó SD =
3
9
3
2

2

Áp dụng công thức Heron ta được: S∆SAD =

Vậy d ( B;( SAD )) =




Nguyễn Tuấn Anh 1110004

Lời giải
Theo giải thiết ∆ABC vuông cân tại B

1
2 3
vì vậy thể tích khối lăng trụ là: VABC . A ' B 'C ' = a 2 a 2 =
a .
2
2
Gọi D là trung điểm BB ' khi đó

d ( AM ; B ' C ) = d ( B ' C ;( ADM )) = d (C ;( ADM )) = d ( B;( ADM )) .
Ta quan sát khối chóp D. ABM khối chóp này có thể tích là VD. ABM

1 a 2 1 a a3 2
= .
. a. =
vậy nên để tính
3 2 2 2
24

khoảng cách từ B đến ( ADM ) ta chỉ cần tính diện tích ∆ADM .
2

2

2

2




Vậy d ( AM ; B ' C ) = d ( B;( ADM )) =



14 2
=
a
8




3VD. ABM a 7
=
S∆ADM
7

Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt ở các phương pháp thì bài toán khoảng cách này trở nên khá dễ và có
thể có nhiều lời giải hay!
VD3: (THTT- 452) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho BI = 2 AI . Góc giữa mặt bên ( SCD) và mặt đáy bằng

60o . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa AD và SC .
Lời giải
Gọi E ∈ CD : CE = 2 ED , dễ dàng chứng minh được 60O = ( (SCD);(ABCD) ) = SEI từ đó ta tính được


Do đó diện tích S∆SBC =

)

2

=

a 31
2 10a
; SC = SI 2 + CB 2 + BI 2 =
3
3


a 31 2 10a 
+
a+


31 2
3
3
=
p( p − SB )( p - SC )( p - BC );  p =
a
2
6



Nguyễn Tuấn Anh 1110004

Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ S xuống BC , dễ thấy SE ⊥ ( ABC ) . Do đó SE = SA.sin 30O = a 3

1
1
hơn nữa AC = BC 2 − AB 2 = 4a . Vậy thể tích VS . ABC = a 3. 3a.4a = 2 3a 3 .
3
2
Để tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) ta cần tính diện tích ∆SBC
Ta có: BC = 5a; SB = SE 2 + BE 2 = SE 2 + BA2 + AE 2 = 21a

SC = SE 2 + EC 2 = 2a , do đó diện tích ∆SBC là:

S∆SBC =


5a + 21a + 2a 
2
p ( p − SB)( p - SC )( p - BC );  p =
 = 21a
2



Vậy d ( A;( SBC )) =

3VS . ABC 6 7
=


3

8


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

1
3a 3
Ta quan sát khối chóp A ' ABC khối chóp này có thể tích là: VA ' ABC = VABC . A ' B 'C ' =
vậy nên để tính
3
4
khoảng cách từ B đến ( A ' AC ) ta cần tìm diện tích của ∆A ' AC .
Ta có: AC = a 3; A ' A =

S∆A ' AC =

AH
= 2a; A'C = (2a) 2 + a 3
0
cos 60

(

)


( ABB ' A ') .
Lời giải
Gọi E = AC ∩ BD ; ta có A ' E ⊥ ( ABCD) và A ' E =

A ' A2 − AE 2 = 2 3a . Do đó thể tích của khối hộp

1
1
là: VABCD. A ' B 'C ' D ' = A ' E. . AC.BD = 2 3a. .a. 3a = 3a 3 .
2
2
Ta có d ( D ';( ABB ' A ')) = d (C ;( ABB ' A ')) ,
ta quan sát khối chóp A '. ABC , khối chóp này có thể tích là:

VA '. ABC

1
a3
= VABCD. A ' B 'C ' D ' =
ta cần tính diện tích ∆A ' AB
6
2

Ta có: AB = a; A ' A =

7a
a 51
; A ' B = A ' E 2 + BE 2 =
, diện tích ∆A ' AB là:
2

Vậy d ( D ';( ABB ' A ')) = d (C ;( ABB ' A ')) =

3VA '. ABC 4 195a
=
S∆A ' AB
65

Bài tập 4 : (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I , có

AB = a; BC = a 3 . Gọi H là trung điểm của AI . Biết SH ⊥ ( ABCD ) , tam giác ∆SAC vuông tại S . Tính
theo a thể tích của khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ C đến ( SBD) .
Lời giải
2

a 3
1
1a 3
a3
a
2
Ta có SE = AC = a vì vậy SH = a −   =
, thể tích S . ABCD là VS . ABCD =
a.a 3 =
2
2
3 2
2
2
Ta quan sát khối chóp S .BCD khối chóp này có thể tích là VS . BCD


2

a 7 a 3
a 10
SD = HD + SH = 
 +
 =
2
 2   2 
2

2

do đó diện tích ∆ SBD là: S∆ SBD =

Vậy d ( C ;( SBD) ) =


a 6 a 10 
2a +
+

 a 2 15
2
2
p( p − SB )( p - SD)( p - BD);  p =
=
2
4


2

a a 2 3 a3 3
=
=
.
2 4
8

Ta có: d ( AB; CC ') = d ( CC ';( A ' AB) ) = d ( C ;( A ' AB ) ) ,

1
a3 3
ta quan sát khối chóp A '. ABC khối chóp này có thể tích là: VA '. ABC = VABC . A ' B 'C ' =
vậy nên nhiệm vụ
3
24
cuối cùng của ta là tính được diện tích ∆A ' AB .
Ta có: AB = a; A ' A = A ' B = A ' O 2 + AO 2 =

S∆ A ' AB =

a 21
nên diện tích ∆A ' AB là:
6


a 21 a 21 
+
a+

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

1
1 3 3 2
3 3
Thể tích khối chóp S . ABCD là: VS . ABCD = SH .S ABCD = a.
a =
a
3
3
2
2
Ta có d ( SB; AD ) = d ( AD;( SBC ) ) = d ( A;( SBC ) ) ,
ta quan sát khối chóp S . ABC khối chóp này có thể tích là:

1
1 1 a 3
a3 3
VS . ABC = SH .S∆ABC = a. .
.a =
3
3 2 2
12
(đường cao hạ từ A xuống BC là

a 3
) , vậy nên ta chỉ cần tính diện tích của tam giác ∆SBC .
2

điểm cạnh AB , hình chiếu của S lên mặt đáy là trung điểm H của CI , góc giữa SA và mặt phẳng đáy là

60o . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ A đến ( SBC )

12


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004
3

ĐS : VS . ABC =

a 3
3 37 a
;d =
.
16
37

2) (Đề minh họa của BGD &ĐT) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuôn tại B ,

AC = 2a; ACB = 30O . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt ( ABC ) trùng với trung điểm của
AC ; SH = a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm C đến ( SAB) .

ĐS : VS . ABC

a3 6
2 66

a ;d =
a.
4
14

5) (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân, AB = AC = a ,

BAC = 120o . Mặt phẳng ( AB ' C ') tạo với đáy một góc 60o . Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC. A ' B ' C '
và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( AB ' C ') .

ĐS : VABC . A ' B 'C ' =

3a 3
a 3
;d =
8
4

6) (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C , cạnh

AB = 6a và góc ABC = 30o . Góc giữa mặt phẳng (C ' AB ) và mặt đáy là 60o . Tính theo a thể tích của
lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng B ' C và AB .

13


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Nguyễn Tuấn Anh 1110004


ĐS : VS . BCNM = a 3 3; d =

2 39
a.
13

10) (Chuyên KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a

BAD = 45o , AA ' =

a 2− 2
, O; O ' lần lượt là tâm của ABCD và A ' B ' C ' D ' . Tính theo a
2

a) Thể tích của khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D '
b) Khoảng cách từ C đến ( A ' BD ) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO ' và B ' O .

ĐS : VABCD. A ' B 'C ' D ' =

a3 2 − 2
a 2
a 2− 2
; d ( C ;( A ' BD) ) =
; d ( AO '; B ' O ) =
2
4
2 5−2 2

Cần cù bù thông minh ☺
14