Gv: Trãn Quốc Nghĩa
1
Phần 1. LƯỢNG GIÁC
Tóm tắt lý thuyết
I.
Công thức lượng giác
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
sin
Cho OA,OM . Giả sử M(x; y).
T
B
K
cos x OH
tang
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
sin y OK
tan
2
cot xác định khi k , k
sin( k2 ) sin
cos( k2 ) cos
tan( k2 ) ta n
cot( k2 ) cot
(II)
(I)
(III) (IV)
2. Däu của các giá trị lượng giác
Góc
HSLG
sin
cos
tan
cot
A
k
Nhận xét:
, – 1 cos 1; – 1 sin 1
tan xác định khi k , k
–
+
–
–
“Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”
cos
2
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
3. Một số lưu ý:
① Quan hệ giữa độ và rađian: 10
0
180
( rad ) và 1( rad )
180
② Với 3,14 thì 10 0,0175 (rad), và 1(rad) 5701745
③ Độ dài l của cung tròn có số đo (rad), bán kính R là l = R.
④ Số đo của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối là B:
cot( + ) = cot
Cung phụ – và :
2
sin = cos
sin = cos
2
2
cos = – sin
cos = sin
2
2
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
3
III. Các giá trị lượng giác của một số góc (cung) đặc biệt
Độ
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
Rad
0
6
2
2
2
–
2
tan
0
1
2
3
2
3
3
2
3
3
2
1
–
2
1
3
||
3
3
–1
1
0
– 3
IV. Công thức lượng giác:
Hệ thức cơ bản:
1)
3)
5)
sin2x + cos2x = 1
s inx
t anx
cosx
1
1 tan 2 x
cos 2 x
2)
4)
6)
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
t ana tanb
t ana tanb
11) tan( a b )
12) tan( a b )
1 tan a.tanb
1 tan a.tanb
Công thức nhân hai:
13) sin2a = 2sina.cosa
14) cos2a
= cos2a – sin2a
= 2cos2a – 1
= 1 – 2sin2a
15) tan 2a
2t ana
1 tan2 a
16) cot 2a
cot 2 a 1
2 cot a
Công thức nhân ba: (chứng minh trước khi dùng)
19) sin3a = 3sina – 4sin3a
20)
cos3a = 4cos3x – 3cosa
2
1
29) cos a.cosb cos( a b ) cos( a b )
2
1
30) sin a.sinb cos( a b ) cos( a b )
2
Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab
a b
cos
31) sin a sinb 2 sin
sin cộng sin = 2 lần sin cos
2
2
21) tan3a
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
5
ab
a b
sin trừ sin = 2 lần cos sin
sin
2
2
ab
1
1
39) sin a cos a sin 2a
40) sin2 a cos 2 a sin 2 2a
2
4
ka
ka
41) 1 cos ka 2cos 2
42) 1 cos ka 2 sin 2
2
2
32) sin a sinb 2cos
ka
ka
43) 1 sin ka sin cos
2
2
2
45) sin x cosx 2 sin x
4
4
8 8
47) cos x sin x 2 cos x
4
6
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
II.
Hàm số lượng giác
1. Hàm số y = sinx và y = cosx
y = sinx
y = cosx
Tập xác định
D=R
D=R
Tập giá trị
T = [– 1 ; 1 ]
Nghịch biến trên:
3
k 2
k 2 ;
2
2
k 2 ; k2
x
–
k 2 ; k2
2
0
2
y = cosx
–1
–1
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
7
2. Hàm số y = tanx và y = cotx
y = tanx
Tập xác định
D=R\{
y = cotx
+ k}
2
D = R \ {k}
Tập giá trị
R
R
y = tanx
Nghịch
khoảng:
biến
trên
k ; k
2
2
+
–
Bảng biến thiên
x
y = cotx
0
+
u arccos m k2
tanu = n
u arctan n k (chú ý đk)
cotu = n
u arccot n k (chú ý đk)
Nếu m, n là các số đặc biệt:
1
2
3
3
m 0; 1; ;
;
; 3 thì:
, n 0; 1;
2
2
2
3
4
cosx = – 1 x = (2k + 1)
cotx = – 1 x = –
+ k
4
cosx = 0 x =
+ k
cotx = 0 x =
+ k
2
2
cosx = 1 x = k2
cotx = 1 x =
+ k
4
Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sinx = sin(– x)
– cosx = cos( – x)
– tanx = tan(– x)
– cotx = cot(– x)
Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0).
8
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
Chia 2 vế phương trình cho a2 b2 , ta được:
a
b
c
sinx +
cosx =
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
a
Vì
2
2
a b
2
2
b
1
2
Hoặc asin x + bsinxcosx + ccos x = d
(2)
(2)
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x + cos2x)
(a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0 (2)
Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng
(2) thì ta đưa về dạng (1) như trên.
sinx cosx =
2 sin(x
10
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
Sau đây là cách giải dạng (1):
Nếu a = 0 và b, c 0 thì
cos x 0
(1) cosx.(bsinx + ccosx) = 0
b sin x ccos x 0
Nếu c = 0 và b, a 0 thì
sin x 0
(1) sinx.(asinx + bcosx) = 0
a sin x bcos x 0
Nếu a, b, c 0:
Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì
sinx = 1). Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm
Dạng1:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)
Đặt t = sinx + cosx =
2 sin(x +
t2 = 1 + 2sinxcosx
), Điều kiện: – 2 t 2
4
sinxcosx =
t2 1
2
t2 1
= c bt2 + 2at – b – 2c = 0
(2)
2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t 2
(1) at + b.
Giải phương trình
2 sin(x +
1 t2
=c
bt2 – 2at – b + 2c = 0 (2)
2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 t 2
(1) at + b.
Giải phương trình
Dạng 3:
2 sin(x –
) = t để tìm x.
4
a|sinx cosx| + bsinxcosx = c
Đặt t = |sinx cosx| =
2 sin(x
4
(1)
, Điều kiện: 0 t 2
Giải tương tự như trên.
sinu + sinv = – 2
sin v 1
sin u 1
sinu – sinv = – 2
sin v 1
Tương tự cho các trường hợp:
cosu cosv = 2 và cosu cosv 2.
A M
B M
12
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:
A M vaø B N
A.B M.N
A M
B N
A M
B N
tan
3
.
và sin . Tính A
2
5
1 tan 2
Đề minh họa THPT Quốc gia - 2015
1.2
ĐS: A = – 12/25
Tính giá trị của biểu thức P cos4 sin 4 , biết sin 2
2
.
3
Đề dự bị THPT Quốc gia - 2015
1.3
ĐS: 7/9
Tính giá trị của P 1 3cos 2 2 3cos 2 , biết sin
THPT Quốc gia - 2015
3
3
Cho cos x , x . Tính A sin x .
2
6
5
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Cần Thơ
1
7
Cho sin , . Tính A tan
.
3 2
2
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hai Bà Trưng, Huế
Cho góc
thỏa mãn
2
2
trị
của
biểu
A cos 4cos 4 sin 4sin 4 .
Thi thử THPTQG 2015 – THPT chuyên ĐH Vinh lần 3
2
2
thức
14
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
II.
Phương trình tích
1.9
Giải phương trình: sin 2x 3 sin x
ĐS: x k x
ĐH Mở TpHCM
k2 x k2
6
3
1.12 Giải phương trình: tanx + cotx = 4
ĐS: x
ĐH An Ninh - 97
k x
12
1.13 Giải phương trình: (1 sin2x)(cos x sin x) cos2x
ĐH DL NN TH TpHCM - 98
ĐS: x
4
k
2
4
k
2
x
42
k
2
5
2
x
k
7
42
7
sin x.cot 5x
1
cos9x
ĐS: x
ĐH Huế - 99
1.18 Giải phương trình: sin2x(cot x tan 2x) 4cos 2 x
1.19 Giải phương trình: (2sin x 1)(3cos 4x 2sin x 4) 4cos x 3
7
ĐH Hàng Hải - 00
ĐS: x k x k2 x
k2
2
2
1.20 Giải phương trình: tan 2 x
6
6
1 cos x
cos x
ĐS: x k2 x
ĐH Đà Nẵng - 01
3
k2
1.21 Giải phương trình: sin 2x.sin x 3sin 2x.cos x
ĐS: x
x
x
2
2
2
x
1.24 Giải phương trình: tan x cosx cos2 x sin x(1 tan x.tan )
2
ĐS: x k2
Dự bị ĐH Khối B - 02
1.25 Giải phương trình: tan 4 x 1
Dự bị ĐH Khối B - 02
(2 sin2 2x)sin3x
cos4 x
ĐS: x
18
k
2
5
2
x
1
1
1.28 Giải phương trình: 2 2 cos x
4 sin x cos x
Dự bị ĐH Khối B - 04
ĐS: x
4
k
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
16
1.29 Giải phương trình: (2sin x 1)(2cos x sin x) sin 2x cos x
5
CĐ Điều Dưỡng - 04
ĐS: x k2 x
k2 x k
6
6
4
2
1.32 Giải phương trình: (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x 3) 4sin 2 x 1
5
CĐ GTVT III - 04
ĐS: x k2 x
k2 x k
6
6
2
1.33 Giải phương trình: cos2 x.sin 4 x cos 2x 2cos x(sin x cos x) 1
ĐS: x k
CĐ KTKH Đà Nẵng - 04
2
1.34 Giải phương trình: (2cos x 1)(2sin x cos x) sin2x sin x
ĐH Khối D - 04
2
k2 x k2 x
k2 x
6
x
1.37 Giải phương trình: cot x sin x(1 tan x.tan ) 4
2
ĐH Khối B - 06
ĐS: x
12
5
k2
6
k x
5
k
Dự bị ĐH Khối D - 06
ĐS: x k x k2 x k2
4
2
x
x
cos 4 sin 4
2
2
1.41 Giải phương trình:
sin 2x
1 sin 2x
2sin 2 x
4
5
ĐS: x k2 x
k2
CĐ Xây Dựng số 3 - 06
6
CĐ Công Nghệ Thực Phẩm - 07
1.44 Giải phương trình: 1 sin x cosx tan x 0
ĐS: x
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối B - 07
4
4
5
k
k x k2
1.45 Giải phương trình: (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
ĐS: x k x
Dự bị ĐH Khối D - 07
4
k
k2 x
6
x
2
k2 x
7
k2
6
18
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
1.49 Giải phương trình: tan x cot x 4cos 2x
2
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối A - 08
4
2
x
3
3
k x
k
8
k x
2
2
1.53 Giải phương trình: (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x
5
CĐ Khối A,B,D - 09
ĐS: x k2 x
k x
k
2
2
12
12
1.54 Giải phương trình: (sin2x cos2x)cos x 2cos2x sin x 0
ĐS: x
ĐH Khối B - 10
4
k
2
1.55 Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cos x 1 0
2
ĐH Khối B - 11
ĐS: x k2 x k
2
1.58 Giải phương trình:
ĐH Khối D - 11
sin2x 2cos x sin x 1
tan x 3
3
3
0
ĐS: x
3
k2
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
19
1.59 Giải phương trình: 2cos2x + sinx = sin3x.
ĐS: x
4
k x
3
k2
1.61 Giải phương trình: cos x sin 2x 0
2
ĐS: x k2 x k
CĐ Khối A, A1, B, D - 13
2
3
1.62 Giải phương trình: sin x 4cos x 2 sin 2x
1.63 Giải phương trình:
3
k2
1.65 Giải phương trình: sin x sin2x sin3x cos x cos2x cos3x
2
ĐS: x
ĐH Ngoại Thương - 99
8
k
1.66 Giải phương trình: 1 cos2x cos3x 2cos x.cos2x
ĐS: x
ĐH Đà Nẵng - 99
2
2
x
3
k x
1.69 Giải phương trình: sin x cos2x cos4x 0
ĐH Mỹ Thuật CN - 99
ĐS: x k x
18
2
7
2
x
k
3
18
3
k
1.70 Giải phương trình: sin x sin 2x sin3x 0
ĐS: x k
PV Ngân Hàng TpHCM - 01
2
x
2
1.74 Giải phương trình: sin 4x.sin 2x sin9x.sin3x cos x
3
2
ĐS: x
CĐ Lương Thực Thực Phẩm - 04
1.75 Giải phương trình: cos x.cos7x cos3x.cos5x
12
k
6
x
12
k
ĐS: x k
x
3
2
k2 x
4
k
7x
3x
x
5x
1.78 Giải phương trình: sin .cos sin .cos sin 2x.cos7x 0
2
2
2
2
ĐS: x k
CĐ Bán công Hoa Sen - 06
1.79 Giải phương trình: cos3x cos2x cos x 1 0
ĐS: x k x k
3
2
Gv: Trãn Quốc Nghĩa
21
1.81 Giải phương trình: 2 2 sin x cos x 1
12
ĐS: x
Dự bị ĐH Khối D - 07
1.82 Giải phương trình: sin 2x.sin x cos5x.cos 2x
ĐS: x
CĐ Kinh Tế TpHCM - 07
4
4
ĐS: x
k
8
18
k
20
k
10
2
7
x k
2
5
2
x
k
k
2
x
k2 x
2
k2
7
k2
6
IV. Phương trình bậc 2 - bậc 3
1.87 Giải phương trình:
cos x(2sin x 3 2) 2cos 2 x 1
1
1 sin2x
ĐS: x
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 96
4
; b. x
8
22
Chuyên đề Lượng giác-Tổ hợp-Xác suất
1
1.89 Giải phương trình: sin 4 x cos4 x cos 2x sin 2 2x 2
4
ĐS: x
HV Hàng không - 97
2
k
1.90 Giải phương trình: sin 3 x 2 sin x
4
ĐS: x
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 98
x
9
k
2
3
1.93 Giải phương trình: sin 3 x 2 sin x
4
ĐS: x
ĐH QG - 98
1.94 Giải phương trình: 3cos4 x 4cos2 x.sin 2 x sin 4 x 0
ĐH QG - 98
ĐS: x
4
6
1.96 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
1 sin5x 2cos2 x 0 thỏa điều kiện cosx 0
ĐS: x
ĐH Cảng sát Nhân Dân - 99
1.97 Giải phương trình: cos 2 x 2sinx
ĐHDL Duy Tân - 99
6
k2
1
0
4
ĐS: x
6
k2 x
5
k2
6
1.100 Giải phương trình: 3(tan x cot x) 2(2 sin 2x)
ĐS: x
ĐH Cần Thơ - 99
1.101 Giải phương trình: sin3x sin 2x 5sin x
4
k
ĐS: x k
ĐHDL Hồng Đức - 99
1.102 Giải phương trình: 4(sin3x cos2x) 5(sin x 1)
ĐH Luật HN - 99
ĐS: x
2
1
1
k2 x arcsin k2 x arcsin k2
4
4
ĐS: x
2
3
k2 ; b.
k x
2209
3
6
k
1.106 Giải phương trình: 4sin 2 x 3tan 2 x 1
ĐHDL Hồng Đức - 99
1
ĐS: x arccos( 3 1) k
2
3
x
ĐHQG HN - 99
6
k x
2
k
3
1.110 Giải phương trình: tan 3 x tan x 1
4
ĐS: x k x
HV CN BCVT - 99
4
k
k
2
sin 3x sin 5x
3
5
ĐH Thủy Lợi HN - 00
1
2
ĐS: x k x arccos k
2
3
1.114 Giải phương trình: sin3x cos3x 2cos x 0
HV Ngân Hàng - 00
ĐS: x
3
k x
4 2
ĐHSP TpHCM - 00
ĐS: x k
Copyright: Tài liệu đại học ©