Nội dung của chuyên đề
phần 1: Phần mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
a) Cơ sở lý luận
b) Cơ sở thực tiễn
2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của đề tài
Phần 2: nội dung của đề tài
A. Nội dung của đề tài
I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài
II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài
III. Nội dung phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu
* Một vài ví dụ minh hoạ
IV. Kết quả của quá trình nghiên cứu
V. Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài
B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy
phần 3: Kết luận
Phần 4: Những tài liệu tham khảo

1.Lý do chọn đề tài:
Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ
giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng
minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh
đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, .

* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu
Nếu tứ giác ABCD có :
A+C=2V hoặc B+D=2V
A
D
C
B
x
giả sử xAD = BCD
thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù)
BCD + BAD = 2V => tứ giác
ABCD nội tiếp
O
Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đư
ờng tròn.

C
B
A

D
§Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tø gi¸c ABCD cã
∠BAD = ∠BCD =
0
90
0
90
0

A

B
C
D

Đảo lại: Nếu tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng với A thuộc
đoạn BM và D thuộc đoạn MC thì tứ giác ABCD nội tiếp.
+ Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD
đồng dạng với tam giác MCB suy ra:
MA . MB = MC . MD
Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ra
ABD = DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt
phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau )
+ Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, ABM,
D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp.
Giả sử AB cắt DC tại M
A

B
C
D
M
- Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn :
MB
MD
MC
MA



=
C
A
B
D
x
1
1
2
0
90
0
90
C
A
B
D
1
1
bảng hệ thống phương pháp chứng minh
tứ giác nội tiếp một đường tròn

(H×nh bªn ph¶i tø gi¸c
ACBD néi tiÕp)
MA . MB = MC . MD
C¸ch 6
C¸ch 4
H×nh vÏ minh ho¹HÖ thøc Thø tù c¸ch chøng minh

C
D
M
O
0
1 1
A B 90
∠ = ∠ =
1
1
C
D
1
A
B
1
1
2
2
1
2
2

Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ
để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả m n một trong ã
các hệ thức trên.
Với cách hệ thống hoá như trên học sinh được ghi nhớ một cách lôgic
và từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ
đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình
học .

M

B

E


F
E

=> (3), (4) (5)
(cùng cộng góc AMF và ABC cho ). Từ
(3), (4), (5) => (2) => (1)
i) Điều kiện cần: M(O) thì E, K, F thẳng hàng
(1):
2 2

M K
=
11

KM
=
2 1

M M
=
+Ta xét trường hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, các trường
hợp còn lại chứng minh tương tự.
0

K
O
F
ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7).
(1)<=> (2). Thật vậy,
các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB,
EMFB nội tiếp
1 2

K K
=
=> (7) => (6).

Bµi to¸n 2. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tø gi¸c
ABCD néi tiÕp mét ®­êng trßn lµ AB.CD + BC.AD=AC.BD (Định lý P.Tôlêmê).
A
B
C
D

Bµi to¸n 3. Cho tø gi¸c ABCD cã c¸c c¹nh ®èi diÖn AD c¾t BC t¹i E vµ
AB c¾t CD t¹i F. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tø gi¸c
ABCD néi tiÕp lµ EA.ED+FA.FB=
2
EF
A
B
F
D
C

O
O

MN
E
I
Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM
thì: (1) IA= IN=IE=IM (2).
Thật vậy: OI//AO (cùng AN ) và
AO // IO (cùng AM )
=> AOIO là hình bình hành
=>OIO=OAO= OBO => OIBO
là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng
OI = AO = OB => OIBO là hình thang
cân => IB//OO (3) => IBAB=>IB là đư
ờng trung trực của AE =>
IA=IN=IE=IM=>(2) => (1) đpcm.