T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

TÍCH PHÂN

I. Khái ni m tích phân
1. Di n tích hình thang cong .
• Gi i thi u cho h c sinh v cách tính di n tích c a m t hình thang cong
• T đó suy ra công th c : xlim
→x

0

2.

S ( x ) − S ( x0 )
= f ( x0 )
x − x0

nh ngh a tích phân
• Cho hàm f liên túc trên m t kho ng K và a, b là hai s b t k thu c K. N u F
là m t nguyên hàm c a f trên K thì hi u s : F(b)-F(a) đ c g i là tích phân
c a f đi t a đ n b , ký hi u là :

b

∫ f ( x)dx
a

• Có ngh a là :

b

Gi s cho hai hàm s f và g liên t c trên K , a,b,c là ba s b t k thu c K . Khi đó ta
có :
a

1.

∫ f ( x)dx = 0
a
b

2.

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx . ( G
a
b

3. ∫=
f ( x)dx
a
b

4.

a

i là tích ch t đ i c n )

b

c


∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx . ( H ng s k trong d u tích phân , có th đ a ra ngoài d u

tích phân đ c )
Ngoài 5 tính ch t trên , ng

i ta còn ch ng minh đ

6 . N u f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] thì :

c m t s tính ch t khác nh :

b

∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b]
a

b

b

a

a

7. N u : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx . ( B t đ ng th c trong tích
phân )


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

1

3

c/

∫

(

(

2 x 1+ x

)

(

x 2 x4 −1 + 1
a/ ∫
dx
=
2
+
1
x
1
2

2

0

) dx

2

∫

d/

2

x3 + x 2 − x + 1
dx
x4 − 2 x2 + 1

2
 2x x2 −1 x2 + 1

x 
x 
dx
+
=
−2 x+ x 2 1



 dx
∫1 


)

(

)

) (

(

b/

( x + 1 − 1)
∫0 ( x + 1)3 dx =∫0 ( x + 1)3
1

1

x2

2

1 
 ( x + 1)2
x +1
1 
1
1
1 


0 




1

1
1
1
d ( x + 1)
d ( x + 1) 1 d ( x + 1)
1 1 1 1
3
ln
1
2
⇒ I= ∫
− 2∫
+
=
+
+
−
= ln 2 +
x
2
3
2


1

d/

∫
2

) (

ln (1 + x )
+d (1= x )
)
1+ x
(1 + 3 ) − ln 2
1

x3 + x 2 − x + 1
dx
=
x4 − 2 x2 + 1

Trang 2

(

3

2



3



+
∫1 

3

(

3
x  + ln 2=
1
1

 1 4 ( x3 − x ) dx 
∫  4 x 4 − 2 x 2 + 1  +
2


2

1
∫ ( x 2 − 1) dx +
2

2


(

)


 dx
1+ x 2 x 

ln 1 + x

(

)


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

1
=
4

2

∫
2

d ( x 4 − 2 x 2 + 1)

1
+

=
x + 1  2
2 2 x +1 2 2  x −1 x +1

2

Ví d 2. Tính các tích phân sau
π

2

a/

∫
0

2sin x ( sin x − 1)

π

2

1 + cosx

3

b/

dx


∫1 2 x ( x 2 + 1) dx

Ví d 3. Tính các tích phân sau
e2

a/

ln 3 x + 1
∫e x ln 3 x dx

s inx+ 1+tanx
dx
cos 2 x
0

d/

2

π

π

4 + sin 3 2 x
c/ ∫
dx
sin 2 2 x
π

3

∫ g (t )dt G(t )
c 5: K t lu n : I= G (t )

v(b)
v(a)

v(b)
v(a)

2/ Nh n d ng : ( Xem l i ph n nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các d u hi u d n t i vi c l a ch n n ph ki u trên thông th
D u hi u
a2 − x2

x2 − a2

ng là :

Cách ch n

π
π

=
 x a sin t ↔ − 2 ≤ t ≤ 2

=
 x a cost ↔ 0 ≤ t ≤ π
a



 x a cot t ↔ t ∈ ( 0; π )
=

a2 + x2

a+x
a−x
∨
a−x
a+x

x=a.cos2t
x=a+ ( b − a ) sin 2 t

( x − a )( b − x )

b. Quan tr ng nh t là các em ph i nh n ra d ng :
- Ví d : Trong d ng phân th c h u t :
β

β

β

1
1
*∫ 2
dx ( ∆ < 0 ) ∫


* áp d ng đ gi i bài toán t ng quát :
β

*

β

1

∫
α

2 + 2x − x

2

dx = ∫
α

1

( 3)

2

− ( x − 1)

β


2

1

a/

∫

1 − x dx
2

b/

0

0

Gi i
a/

∫

2

1
1− 2x

2

c/


∫ f ( x)dx = ∫

(1 + cos2t ) dt =
2

1
=+
(1 cos2t ) dt
2

π

1 1
1  π 1  π −1

 t + sin 2t  2 =  −  =
2 2
4
 0 2 2 2

1
 π π
sin t t ∈  − ; 
2
 2 2

 x=0 ↔ sint=0 → t=0
1
• Suy ra : dx = costdt ⇒  1

∫

=
dx
1 − 2 x2

0

π

1
2

1
1
=
dx
2  1  2

− x
 2

∫
0

1
2

π



 x = 1 ↔ sin t = 2 = 0 → t = 0
 π
• Suy ra : dx= 2 costdt và : 
⇒ t ∈ 0;  → cost>0
 6
 x = 2 ↔ sin t = 2 − 1 = 1 → t = π

2
2
6
1
1
1
• Do đó : f(x)dx= =
2 cos tdt dt
dx
dx
=
=
2
2
3 + 2x − x
4 (1 − sin 2 t )
4 − ( x − 1)


t:=
sin t
x − 1 2sin t t ∈  − ;  ↔ =


a/
c/

∫

1

1
dx
+ x +1

2

1

∫x

5

b

a − x2

12 x − 4 x 2 − 5dx

b/

0



1

∫

x2 + 1

0

dx

Gi i :
•

t:

x2 + 1 = x − t ⇒ x =

t −1
2t
2

 x =0 → t =−1; x =1 → t =1 − 2
• Khi đó : 
t2 +1
dx =
2t 2


• Do v y :

1

Ví d 2: Tính tích phân
: I
=

(

)

1

∫x

2

1 − x 2 dx

0

Gi i
•

t : t=sinx , suy ra dt=cosxdx và khi x=0,t=0 ; Khi x=1 , t=
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

π
2

Trang 5

1

II.

1π
82

1  1 − cos4t 

 dt
4
2


π
16

i bi n s d ng 2

1. Quy t c : ( Ta tính tích phân b ng ph ng pháp đ i bi n s d ng 2 theo các b
sau : )
• B c 1: Khéo léo ch n m t hàm s u(x) và đ t nó b ng t : t=u(x) .
• B c 2: Tính vi phân hai v và đ i c n : dt=u'(x)dx
• B c 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
• B

b

u (b )


β

m

β

β

m

dx = ln ax+b . Và n
∫
α
a
α ax+b

b ng 2 thì ta chia t cho m u d n đ n
β

c

β

u b c c a P(x) cao h n ho c

β

1
P( x)
m

1 3 3 2 9
2
ln
2
3
=
−
+
−
=
x
−
x
+
x
−
x
+
− − ln 35
dx
x
x
dx



1=
∫1 2 x + 3 ∫1  2 4 8 8 2 x + 3   3 8 8 16
6 16


2
 5
5
2

Ta có : f(x)=
Do đó :

3

∫
5

Trang 6

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

 5 +1
5 − 1 + 4 ln 

 4 


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

B. D NG :

β

∫


4 x + 11
dx .
+ 5x + 6

2

0

Gi i

Cách 1: ( H s b t đ nh )

A ( x + 3) + B ( x + 2 )
A
B
4 x + 11
4 x + 11
=
=
+
=
x + 5 x + 6 ( x + 2)( x + 3) x + 2 x + 3
( x + 2)( x + 3)

Ta có : f(x)=

2

Thay x=-2 vào hai t s : 3=A và thay x=-3 vào hai t s : -1= -B suy ra B=1

2 ( 2 x + 5) + 1
2x + 5
1
2x + 5
1
1
= 2. 2
+
= 2. 2
+
−
2
x + 5x + 6
x + 5 x + 6 ( x + 2 )( x + 3)
x + 5x + 6 x + 2 x + 3

Ta có : f(x)=
Do đó :
1

I= ∫ f ( x)dx
=
0

1



∫  2. x
0

β

∫
α

β
u '( x)dx
= ln ( u ( x) )
α
u ( x)

ng ta đ t (x+b/2a)=t .
3

x3
Ví d 4 : Tính tích phân sau : I= ∫ 2
dx
x + 2x +1
0

Gi i
3

Ta có :

∫x
0

3



2

dx=

∫
1

( t − 1)
t

2

3

4

dt=



3

1

Ví d 5: Tính tích phân sau : I=

1
1 4
3

Ta có :
=
2
4 x − 4 x + 1 ( 2 x − 1)2
1  x =0 ↔ t =−1
dt ; 
2 x = 1 ↔ t = 1
1
1
1
1 4. ( t + 1)
1
4x
4x
1
1 1
1 1 

2
Do đó : ∫ 2
dx =
dx
dt
2
=
=
− + 2  dt =−
 ln t
 =
2

2
2
2

b   −∆   a ( u + k ) k = −∆
a  x +  + 
 

2a
2a   2a  



Khi đó :

t u= ktant

Ví d 6: Tính tích phân : I=

2

∫x

2

0

x
dx
+ 4x + 5

dt ; ⇒ 
2
2 ↔ tan t =
4
cos t
x =

2
tan t − 2 dt
 sin t

• Do đó : ∫
dx
=
=
( ln cost
 − − 2  dt−=
2
2
2
∫
∫
1 + tan t cos t t1  cost

t1
0 ( x + 2) + 1

2

t2

c
t

17

t
( ln cost
• V y : ( − ln cost − 2t ) −2 =
− 2 2−t2 )
t1

2t )

t2
(1)
t1

1
5
=

1
17

( ln cos− t

cost
cost1

1


Gi i
1
x + 2x + 4x + 9
= x+2+ 2
2
x +4
x +4
2 3
2
2
2
1 
x + 2x + 4x + 9
dx

1 2
2
• Do đó : ∫
= 6 + J (1)
dx = ∫  x + 2 + 2
 dx =  x + 2 x  0 + ∫ 2
2
x +4
x +4
x +4
2

0
0

t : x=2tant suy ra : dx =

x = 0 → t = 0
2

 π
dt ; 
π ↔ t ∈ 0;  → cost>0
2
cos t  x = 2 → t =
 4
4


π

• Khi đó :

2

π

1
1
1
2
14
1
dt
t 4

π
8

π
8

P( x)
dx
+ bx 2 + cx + d

1. a th c : f(x)= ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có m t nghi m b i ba
Công th c c n chú ý :

β

1

∫
α x

m

dx =

Ví d 8: Tính tích phân : I=

1
1 β
. m −1
1− m x α

1

2

x

Cách 2:

1) − 1
( x +=
1
1
−
3
2
3
( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)

x

• Ta có : =
3

( x + 1)

1 
 1
1
1 
1 1 1


• Do đó :

•

1

x

1
8

Gi i
t : x-1=t , suy ra : x=t+1 và : khi x=-1 thì t=-2 và khi x=0 thì t=-1 .

• Do đó :

0

x4

∫ ( x − 1)

−1

dx=
3

−1
−1

1
 dt
t3 

• ⇔ ∫  t + 4 + + 2 + 3  dt =  t 2 + 4t + 6 ln t − − 2  =
− 6 ln 2
t t
t 
t 2 t  −2 8
2
−2 
2. a th c : f(x)= ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai nghi m :
Có hai cách gi i : H s b t đ nh và ph ng pháp nh y t ng l u
6

4

1

1

Ví d 10 : Tính tích phân sau : I=

4

3

1

∫ ( x − 1)( x + 1)

+
=
2
2
x − 1 ( x + 1) ( x + 1)
( x − 1)( x + 1)
2

1

( x − 1)( x + 1)

2

1

A=

1 = 4 A

4 . Khi đó (1)
• Thay hai nghi m m u s vào hai t s : 
⇔
1
=
−
2
C

C = − 1

⇔=
=
2 ( x + 1)  2 4
4
4

• Do đó :

3

3

1

2

dx =

Cách 2:
•
t : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 .

4
4
dt
1
1
1 t − (t − 2)
=
=

3 4
3
3

4

1
=
dx
2
2 ( x − 1)( x + 1)

• Khi đó : I= ∫

( 3t

2

− 4t )

2
2
1
1  t − (t − 4) 

Ho c : 2 =  =
t (t − 2) 4  t 2 (t − 2) 




=


t 3 − 2t 2
4  t 3 − 2t 2 
4
 3t 2 − 4t 1  3 2  
• Do đó : I= ∫  3
−  +   dt=
t − 2t 2 4  t t 2  
3

1
Ho c : 3
=
t − 2t 2

4

t+2
1 1
− = 2 
4t −2 t 

1 1
1 2
− −

4  t − 2 t t2 



3

x2

∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx
2

2

Gi i
t : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 .

( t + 1) dt
x2
Do đó : ∫
=
=
dx ∫ 2
2
t ( t + 3)
2 ( x − 1) ( x + 2 )
1
3

2

Cách 1; ( H s b t đ nh )
t 2 + 2t + 1 At + B
C

A + C =

5
t 2 + 2t + 1 1 t + 3 4 1


ng nh t h s hai t s : 3 A + B = 2 ⇔  A = ⇒ 2
=
+
9
9 t +3
t ( t + 3) 9 t 2
3B = 1


4

C = 9


Do đó :

2
3 4
1
 2 17 4
7
 1 1 3  4  1 
t 2 + 2t + 1
=

−  − 2 
 3
2 
2
2 
3  t + 3t  9 t + 3 9 t
3  t + 3t  9 t + 3 9  t t  

• V y:
 1  3t 2 + 6t  1  1
1 3 
 dt
∫1  3  t 3 ++3t 2  9  t + 3 − t + t 2 =

17 4
7
• Do đó I= + ln 5 − ln 2
6 9
9
3
2
3. a th c : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có ba nghi
t 2 + 2t + 1
dt
∫1 t 2 ( t + 3=
)
2

2



A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1)
1
1
A
B
C
f(x)=
=
=+
+
=
x ( x − 1)( x + 1)
x ( x 2 − 1) x ( x − 1)( x + 1) x x − 1 x + 1

ng nh t h s hai t s b ng cách thay các nghi m : x=0;x=1 và x=-1 vào

•


 A = −1
 x =0 → 1 =− A

1
1 1 1  1 1 
hai t ta có :  x =−1 → 1 =2C ⇔  B = ⇒ f ( x) =− + 
+ 

−
x

3
1
3 5
 2 ( ln ( x − 1)( x + 1) ) − ln x  2= 2 ln 2 − 2 ln 3

ng pháp nh y l u )

x 2 − ( x 2 − 1)
1
x
1
1 1 2x
Ta có :
=
= 2
−=
−
2
2
2
x −1 x 2 x −1 x
x ( x − 1)
x ( x − 1)

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

Trang 11


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

dx
x ( x2 − 4)

Cách 1:

A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 )
x +1
x +1
A
B
C
Ta có :
=
=+
+
=
x ( x 2 − 4 ) x ( x − 2 )( x + 2 ) x x − 2 x + 2
x ( x2 − 4)

Thay các nghi m c a m u s vào hai t s :
Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4
Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8
Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8 .



Do đó : f(x) = −   − 
+ 

4 x 8 x−2 8 x+2

dx
dx =−
ln x − ln x − 2 + ln x + 2  =

∫3 x ( x 2 − 4 )
∫
∫
∫
42x
8 2 x−2
8 2 x+2
8
8
 4
2
4

=

5
3
1
ln 3 − ln 5 − ln 2
8
8
4

Cách 2:
Ta có :
x +1

1 x − 2 1
4
x +1
1  1
1
1 2x
1
Do đó : ∫
=
−
+
−=
+ ln ( x 2 − 4 ) − ln x 
dx

 dx  ln
2
∫
2
4 3 x−2 x+2 2 x −4 x
4 x + 2 2
3
3 x ( x − 4)
4

Ví d 14: Tính tích phân sau :
Cách 1: ( H s b t đ nh )

3


dx
2 ( x − 1) ( x + 2 )

 1 x −1 5
3 1 3
1 1
5 1 
1 1
−
−
=
−
+
dx
x
ln
ln
2
ln


=
∫2  2 x − 1 2 x + 1 4 x + 2   2 x + 1 4
2 2 2
3

Cách 2.( Nh y t ng l u )
Trang 12

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

x
+ 
−
+ 1 + 
−
=
−
x + 2 2  ( x − 1)( x + 2 ) x + 1  x + 2 2  3  x − 1 x + 2  x + 1 

=

T đó suy ra k t qu .
β

D. D NG

∫
α ax

4

R ( x)
dx
+ bx 2 + c

Nh ng d ng này , g n đây trong các đ thi đ i h c ít cho ( Nh ng không h n là
không cho ) , nh ng tôi v n đ a ra đây m t s đ thi đã thi trong nh ng n m các
tr ng ra đ thi riêng , mong các em h c sinh khá ,gi i tham kh o đ rút kinh
nghi m cho b n thân .
Sau đây tôi l y m t s ví d minh h a

Gi i
1

1

∫

a.

2
0 ( x + 3x + 2 )

2

dx

Ta có :
x + 3x + 2 =
2

=

1

( x + 1)

1

∫
0

2

=2
( x + 1)( x + 2 ) 
2
1
1
1 
 1
−
=
+
− 2
−
. V y :
2
2
( x + 1)( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 )
 x +1 x + 2 

(x

 1
1
1 
1
x +1  1
 1
 1
2


1

2
2 ln 3
3

1 + x2
∫1 1 + x3 dx
1

b.

2

1 + x2
1+ x

1 − x + x2 + x
1 − x + x2
+
(1 + x ) (1 − x + x 2 ) (1 + x ) (1 − x + x 2 )

x
(1 + x ) (1 − x + x 2 )

Ta có : =
=
f ( x) =
3


x4 + 1
∫0 x6 + 1 dx
1

b.
Gi i

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

Trang 13


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

3

a.

∫
1

x2 −1
dx . Chia t và m u cho x 2 ≠ 0 , ta có :
4
2
x − x +1

1
x2 ⇒


x = 1 → t = 2
1
1
1 

2
2
t : t = x + ⇒ x + 2 = t − 2, dt = 1 − 2  dx ↔ 
 x= 3 → t= 4
x
x
 x 

3

V y:

4
3

3

4
3

dt

1



1


3 ∫ t−
2

3

t− 3
I = ln
2 3 t+ 3

4
1  1
7−4 3 
1
3 =  ln − ln
 = ln 7 + 4 3 )
7  2 3
2 3 7
2

x4 + 1
b. ∫ 6 dx . Vì :
x +1
0

 x 6 − 1=


− 1 = t 2 − 1( t = x 3 )

Cho nên :

1
1 
1
1 3x 2 
x4 + 1
x4 − x2 + 1
x2

=
−
⇒ f ( x)dx =
f ( x) =6
∫0  x 2 + 1 − 3 x3 2 + 1dx
x + 1 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) ( x3 )2 + 1 ∫0
( ) 

1 1
1
1
π 1
V y : I− =
arctan x
arctan
3x 2 )
arctan1arctan3
arctan3

2

1
1+ 2
x +1
x2 −1
x
, g ( x) =
f ( x) =
=
=
x4 + 1 x2 + 1
x4 + 1
2
x
1
1 


2
t = x + x ⇒ dt = 1 − x 2  dx, x +


t: 

1
1 

2
t = x − ⇒ dt = 1 + 2  dx, x +


∫x
1

x +1
x −1
dx ∨ ∫ 4 dx . Ta có :
4
x +1
+1
0

∫x
0

2

5
2

∫
2

(

1
x 2 . Cho nên
1
x2 + 2
x

2 2 2t− 2 t+ 2 
2 2 t+ 2 2
t− 2 t+ 2
1

)(

)

1

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

3
2

2

1
⇔ ∫ g ( x)dx =
dt
2
∫
t +2
1
0


0 cos u ( 2 + 2 tan u )
0

t : t = 2 tan u → dt = 2

1
1
1  1 + x2 + 1 − x2  1  x2 + 1 x2 −1  1
.
Ta
có
:
dx
=
=
− 4  = ( f ( x) − g ( x) )
F
x
(
)

=  4
∫1 x 4 + 1
x4 + 1 2 
x4 + 1
 2  x +1 x +1  2
2

b.



4

3
2

dx
− 4 x2 + 3

x7
d. I = ∫
dx
8
4
1
+
x
−
2x
2
3

x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1

2

a.



1
1
5
t : t = x + → dt = 1 − 2  dx , x = 1 → t = 2, x = 2 → t =
x
2
 x 
1−

2

1 

1 − 2  dx
 x 
∫1  1   1 
 x + − 5  x + − 3
x
x



2

(1)

V y (1) tr thành :
5
2

2
4
x − 4x2 + 3
− 4x + 3

Do đó :

5
2

5
2



1

∫ f ( x)dx =
∫  x − 3−− x
2

3
2

3
2

(x

1

x− 3 2
ln
ln
I =∫ 2
dx = ∫
dx =
dx =
−
=


∫
2 3 3 x− 3 x+ 3
2 3 x + 3 3 2 3 65 7 − 4 3
x+ 3
3 x −3
3 x− 3
2
2
2
2
5
2

(

)(

)


1 
1 x −1 2 1  3
1  1 15
∫0 ( x − 1)( x + 1) dx= 2 ∫3  x − 1 − x + 1  dx= 2 ln x + 1 3= 2  ln 7 − ln 5 = 2 ln 7
2
2
1

1

x2 + 1
dx .
x4 − x2 + 1
1
x

H c sinh xem l i cách gi i ví d 2-a . Ch khác là đ t : t= x − , s ra k t qu .
3
x7
x4
d. I = ∫
dx = ∫
x 3dx
8
4
2
2 1 + x − 2x
2 x4 −1
3


3 t
3  t t2 

80
1 1 1
1
1 80 1 16 13
V y : I = ∫  + 2  dt =  ln t −  = ln +
t  15 3 3 720
3 t t 
3
15 

E. TR

NG H P :

β

R ( x)

dx
∫
α Q( x)

( V i Q(x) có b c cao h n 4 )

đây tôi ch l u ý : i v i hàm phân th c h u t có b c t th p h n b c m u t i
hai b c ho c tinh ý nh n ra tính ch t đ c bi t c a hàm s d i d u tích phân mà có
cách gi i ng n g n h n . Ph ng pháp chung là nh v y , nh ng chúng ta khéo léo

+ 1)

∫ x(x
1

4
3
2
1
A Bx 3 + Cx 2 + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E )
f ( x) =
=
+ =4
x4 + 1
x ( x 4 + 1) x
x ( x + 1)

=

=
A + B 0 =
A 1

 B = −1
A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A
(
1
x3
C = 0, D = 0


x 3 ≠ 0 . Khi đó f ( x) =

Trang 16

x3
. M t khác d ( x 4=) 4 x3dx ⇔ dt
= 4 x3 dx (=
t x 4 ) , cho nên :
4
4
x ( x + 1)

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

1 3 x3 dx
1 dt
1 1 1 
f ( x)dx = 4 4
=
=  −
 =f (t ) . Bài toán tr nên đ n gi n h n r t
3 x ( x + 1) 3 t ( t + 1) 3  t t + 1 

nhi u . ( Các em gi i ti p )
1
2



B

( x − 1)

2

+

C
D
+
x −1 x + 3

1
2

3
8

5
32

- Sau đó quy đ ng m u s , đ ng nh t h s hai t s , ta có : A = , B = , C =− D =
1
2

Do v y : I=



5
5
1
= −
−
+ ln x − 1 − ln x + 3  2 = ln
2
32
 8 ( x − 1) 8 ( x − 1) 32
 0 32 28

Ví d 2. Tính các tích phân sau :
x4 −1
∫2 x6 − 1 dx
3

a.

1

d.

∫
0

x

1

3

)

4

1

x + 3x + 1
4

dx

∫ x (1 + x )

1

f.

dx

∫
1
3

1
3 3

(x − x )
x4

dx



3
x2
1
1
1 

∫2 x 2 − 1 dx + ∫2   3 2  + x3 − 1 − x3 + 1 dx

 ( x ) − 1



3

dt = 3 x 2 dx, x = 2 → t = 8; x = 3 → t = 27

Tính K . t =t x3 ⇒ 
x2
1 dt
1 1 1
1 
=
=
=
−
g
x
dx

+
=
= ln
dt
(
)


8 6 t + 1 8 6 98
6 ∫8  t − 1 t + 1 
6
2
3

3

1
1
Tính E= ∫ 3 dx = ∫
dx
2
x −1
2
2 ( x − 1) ( x + x + 1)
1
−
( x − 1) ( x 2 + x + 1)

Ta có : h( x)
=

1 3x 2
1 ( 2 x + 1)
V y : I =∫ 3 −dx ∫ 2
−dx ∫
x2
=
−
x3 − 1

3 2 x −1

2 2 x + x +1

2

x2
1  2x +1
+
3
x −1 2  x2 + x + 1
1

1  3


x+  +
2  2 

2


2
os
tan t ⇒ 
2
 x= 2 → tan t= 5 → t= a; x= 3 → tan t= 10 → t= b

3
3

1
2

Tính F :

1


x + x +1 
2

+
t : x=

3 1
dt
b
b
5
5
10 

b. ∫ =
=
=
dx ∫ 2
dx
4
2
x6 + 1
1
0 ( x + 1)( x − x + 1)
2

Ta có :

1

2

∫
1

(x

2

1

2

− 1) − x

=
x4 − x2 + 1

1

A = − 2

0
C
A+ C =
 A −=
C = 1
 B − A + C +=
1 −=
0
2
0
D
C


2
ng nh t h s hai t s ta có h : 
⇔
⇔
D 0
D 0
A − B + C + =
− B + =
D = 1

3
1
−x +1
dx
2
∫1 x 2 + x + 1 dx =− 2 ∫1 x 2 + x + 1 dx =2−∫1 x 2 + x + 1 dx 2+∫1
2
1  3


x+  +
2  2 

2

2

2

2

2

1
=−ln x 2
2

3
1
1

1 2x −1 + 3
1
2x −1
3
1
1
x +1
dx =
dx + ∫ 2
dx
=
− +2 dx + ln x 2
2
∫1 x 2 − x + 1=
∫
∫
2
2 1 x − x +1
2 1 x − x +1
20
2
1  3

x−  +
2  2 

2

K
=

−
+
x




2  2 

4
4
2
2
2
dx
1
3x3
1  d ( x ) d ( x )  1  x 4  2 1 32


c. ∫
=
=
−
=
= ln
dx
ln 
4
4

)


1
1
1

1
1
 x2 =
t − 1; dt =
2 xdx
x3
x2
1
2
d. ∫
t : t =+
dx = ∫
2 xdx (1) .
1 x ⇒
3
2 3
2
2 0 (1 + x )
 x = 0 → t = 1, x = 1 → t = 2
0 (1 + x )
2
t −1
1 1


1
1
x2 
x2
1

dx
J K (1)
+
+
=+
dx =
dx
∫0  1 + x 2 3 1 + x 2 3  ∫0 1 + x 2 ∫0 1 + x 2 3 dx =
(
)
(
)
(
)


1

Tính J : B ng cách đ t x= tan t ⇒ J=

4




−

1

π
2

1  1 
V y :=
=
=
E=

 dx
2 ∫0  1 + x 2 
1

π
2

14
1
 1
dt

2 
∫
2 0  1 + tan t  cos 2t


Tính F. T

ng t nh tính E ;

1

dx = cos 2t dt
x tan t ↔ 
=
B ng cách đ t
 x = 0 → t = 0; x = 1 → t = π

4
π
3

1  1 
V y :=
=
=
F=

 dx
2 ∫0  1 + x 2 
1

π
3

1 



T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

π

π

π

1
1 4
1 + cos4t 
2
= ∫ (1 + cos2t ) dt = ∫ 1 + 2cos2t +
dt 4 =
80
8 0
2
 0
4

π

π

1 4
1
1
1 π


 x − x3  3 1
 3 dx
∫1  x3=
 x

 1
 3 1 dx
∫1  x 2 − 1 x 2 . x

3

3

1

dx

dt = −

1
1
x
t : t=  2 − 1 ⇒ t + 1= 2 ⇔ 
x
x

 x = 1 → t = 8; x = 1 → t = 0

3


 1 1 3
 − 3
1
1
t t 
t x =⇒ dx =
− 2 dt ; f ( x)dx =
4
t
t
1
 
t 

Vì : x ∈  ;1 → x ≠ 0 .
3 
1

−=
t−( t

3

1

1 3

t )−==
dt −dt

1

1

c. ∫ e

a

x2
x p+2 + 1
x+ex

∫

b.

dx

0

x3 dx
3

( x2 + a2 ) 2

2a

d.

dx

p+2

+1

dx (

p+2
2

t : =t x = x

HTNguyên-98) : Ta có : f ( x)dx =

p
+1
2

p

2
dt
x
dx
=

⇒
⇔=
1
+
p


1

2


 +1


∫t

.

dt
+1

2

u1

du
∫π cos2u (1 + tan 2 u )=
4

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

1
3

t (t − t )


x3 dx

(x

+a

2

3
2 2

)

π

− artan e
4
dt
π

dx=a
;
0
0,
x
t
x
a
t



x
a
+
3
(
)

a 
2 

 cos t 

.

π

π

4

4

a

π
3

sin t

t : cost=u ⇒ 
2
 f (t )dt =(1 − u ) −du =1 − 1  du
( )  2

u2
 u 

-

V y : I=

2
2

∫
1

1

2
1 
1


du
1
−
=
+


e

f ( x)dx=

0

2a

∫x

2ax − x 2=
dx

0

3
3 2
3 2 −4
− 2=
− 2=
2
2
2

2
2
+
− 2=
2


π
π

dx = a.costdt,x=0 → t=- 2 ;x=2a → t= 2
t : x −=
a a.sin t ⇒ 
 f ( x)dx
= ( a + a.sin t ) a 2 cos 2t .a.costdt


V y:

π

π
 π2

 π2
2


 1 + cos2t
2
I=
a+3 ∫ (1 sin t ) cos
tdt a 3  ∫ cos
tdt  a 3  ∫
=
+ 2tdt ∫ cos 2t sin=

3
2
2  2


 2  2 2 
−
− 

2
2
2

π



∫π cos td ( cost )
−

2
2

2

Ví d 4. Tính các tích phân sau
3

a.


dx

d.

∫
1

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

x 7 dx

(1 + x )

4 2

1 + x3
dx
x4

Trang 21


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Gi i
3

a.

∫x

A ( x 2 + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + ( Cx + D ) x 2 ( x − 1) + E ( x 2 + x + 1) x 2
x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)

B + C + E ) x 4 + ( A + D − C + E ) x3 + ( E − D ) x 2 − Bx − A
(
.
=
x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)

ng nh t h s hai t s ta có h :
1

D = 3

0
−E
B + C + E =
C =
C = − 1
 A + D − C=

1
1
1
+E 0
+E 1 
3
− x+

 E + E=

 A = −1


1
1
1 

3
3
 1 1  x −1  1 1 
 1 −3x+3

3
V y : I =∫− 2 + 2
+
 dx
 dx = ∫  − 2 −  2
+
x
x + x +1 x −1 
x 3  x + x + 1  3 ( x − 1) 
2
2


3
1
dx
1 1
3

1 1 
7
5 
=
arctan +
arctan

−
6
3
3
3
1
1
x 7 dx
x4
1
b. ∫
=
3 x3 dx (1) .
2
2
∫
4
3 0 (1 + x 4 )
0 (1 + x )
dt = 3 x3 dx, x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2

t : t =+
1 x4 ⇒ 

2
2
1
1
x
x
+
+
0 (
0 (
)
)
1

x3 − 2 x

Trang 22

(1)

Gv Ph m Minh T - 0968.469.299


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

dt = 2 xdx; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2
t : t =1 + x ⇔ x − 2 = t − 3 ⇒ 
1  t −3
1 1 3 
)dx

1 + x3 2
=
dx
∫1 x6 x dx
x4
2

(1) .

2tdt = 3 x 2 dx; x = 1 → t = 2, x = 2 → t = 3

t : t = 1 + x3 ↔ t 2 =1 + x3 ↔ 
t
1 1 + x3 2
1
=
=
=
2tdt
2
 f ( x)dx 3 x 6 3 x dx 3 2
−
1
t
(
)


V y:
2

 1
+
−
−

∫  ( t + 1)2 ( t − 1)2  t − 1 t + 1   dt
2

3

t − 1  3 1  −2t
t −1  3 8 2 − 3 1
1 1
1


= −
−
− ln
=
−
=
+ ln 2 2 − 2
ln
t + 1  2 6  ( t 2 − 1)
t +1  2
6  t +1 t −1
24
3



∫
0

1

d.

dx

(x

2

)

− x ) dx
x2 + 1

∫ (1 − x ) dx
2 3

0

Gi i
4

a.

∫x

2
 x = 7 → t = 4, x = 4 → t = 5
4 t (t − 9)
A ( t 2 − 9 ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t
1
A
B
C
Ta có : f (t ) =
=+
+
=
t ( t − 3)( t + 3) t t − 3 t + 3
t (t 2 − 9)
2

ng nh t h s hai t s b ng cách thay l n l
- V i x=0 : -9A=1 → A =
−

5

dt

∫ t ( t − 3)( t + 3)
4

t các nghi m vào hai t s ta có :

1

dt
(
)
 
 
 4 9 ln t =
4 9 35
9  ∫4  t t − 3 t + 3   9 

- V i x=-3 : 9C=1 → C =

* Chú ý : N u theo ph

ng pháp chung thì đ t : x= 3sin t → dx= 3cos tdt .
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299

Trang 23


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


7
 x = 7 → 7 = 3sin t ↔ sin t =
3 . Nh v y ta không s d ng đ
Khi : 
4
 x = 4 → 4 = 3sin t ↔ sin t = > 1

3

dx
− −∫
dx =
J K (1)
∫
2
2
2
x +1
x +1
x +1
0
0

tính J :

π
1

dx = cos 2t dt , x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 4

t=
: x tan t ⇒ 
. Tính tích phân này không đ n
1
tan 2 t.
dt
2
2



x2 + 1

c.

⇒ ∫ g ( x)dx=
0

1

1

x 2 + 1dx − ∫

∫
0

0

1
x2 + 1

1
1 2

1
+/ Tính : E = ∫ x + 1dx = x x + 1 − ∫ 2 dx = 2 −  ∫ x + 1dx − ∫ 2 dx 
0 0 x +1
x +1 
0


x2

(

(

)

)

(

Do v y : I=
3

x5 − 2 x3

(

) (

)

(

2 1
2 3
+ ln 1 + 2 + ln 1 + 2 = + ln 1 + 2
2 2

2
Suy ra : J= ∫ ( t 4 − 2t 2 + 1) dt =  t 5 − t 3 + t  =
2

3
5
 1 15
 x 2 = t 2 − 1; xdx = tdt ; x = 0 → t = 1, x = 3 → t = 2

2
- Tính K: t =t
x2 + 1 ⇒ 
x 2 xdx ( t − 1) tdt
=
=
= ( t 2 − 1) dt
 f ( x)dx
2
t
x +1

2
2 4
1
Suy ra : K= ∫ ( t 2 − 1) dt =  t 3 − t  =
3
1 3
1
28 4 48 16
V y : I= + =

: x sin t → 
3
 f ( x)dx =1 − x 2 dx =cos 6tcostdt=cos 4tdt
( )


π

π

π

2
1 
1 + cos4t 
1
 1 − cos2t 
3 1

Do đó I= ∫ 
 dt =∫ 1 − 2 cos 2t +
 dt =
 − cos2t+ cos4t  dt
∫
2
4 0
2
4 2
8
