Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian, kết hợp với bài toán
tính thể tích các khối đa diện là nội dung quan trọng trong các kỳ thi HSG và kỳ
thi đại học cao đẳng, các dạng bài tập này thường là những câu phân loại học
sinh khá giỏi. Có nhiều tài liệu tham khảo đã trình bày một số phương pháp giải

m

các dạng bài tập trên, tuy nhiên các nội dung chưa thực sự đầy đủ các dạng bài
tập loại đó.

co

Trong chương trình hình học lớp 11 và lớp 12, phần lý thuyết nội dung này
đã được trình bày đầy đủ trong SGK, song với một số yêu cầu giải các bài tập
nâng cao, để đáp ứng yêu cầu như trên thì các bài tập trình bày của SGK chưa đáp

oc
.

ứng được, khi giải các loại bài tập này học sinh thường lúng túng và gặp rất nhiều
khó khăn. Trong các loại khoảng cách giữa các yếu tố, chúng tôi nhận thấy
khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là quan trọng nhất và dạng bài tập

cu

này cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi, nó đóng vai trò quan trọng trong việc
tính thể tích khối đa diện. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏi, ôn thi đại học và nghiên cứu chúng tôi đã cố gắng phân dạng và đề xuất



Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

5. Dùng phương pháp toạ độ để tính khoảng cách.
6. Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính khoảng
cách giữa các yếu tố như: Hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng song song

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU

co

a/ Thực trạng

m

với mặt phẳng.

Bài toán tính khoảng cách thường là bài toán khó, dùng để phân loại học
sinh khá giỏi trong các kỳ thi Đại học, học sinh giỏi . Tuy nhiên trong SGK chỉ

oc
.

mới đưa ra các khái niệm cơ bản và một số ví dụ đơn giản. Vì vậy trong các kỳ
thi học sinh rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải các bài tập này
b/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

cu

SKKN năm học 2013- 2014

2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

III / NỘI DUNG
1. PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP

Để tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P), ta xác định hình chiếu
của A lên (P) bằng cách dựng đường thẳng d qua A và d ^(P) tại H, khi đó:
+ Nếu có đường thẳng D ^ (P), khi đó ta dựng d qua A và d // D.

m

d((A); (P)) = AH. Ta có thể xác định điểm H bằng cách:

co

+ Nếu đường thẳng D chưa xác định, khi đó ta xác định H bằng cách:
- Ta chọn trên mặt phẳng (P) một đường thẳng a
- Dựng mặt phẳng (Q) chứa A và (Q) ^ a

c.

- Tìm giao tuyến b = (P) Ç (Q)

gb
oc

thẳng trên mặt đáy. Mặt bên (SBC) chứa
H A

BC ^ SI. Vì vậy ta chỉ cần qua

kh

I dựng IJ ^ BC, khi đó (SIJ) ^ (SBC).
Gọi E là trung điểm của BC, do DABC cân

D

I

B

N
J

.

E

C

tại A. Þ AE ^ BC. Mặt khác: IJ ^ BC Þ IJ / /AE .

Trong mặt phẳng(SIJ) dựng IH ^ SJ Þ IH ^ (SBC). Vậy d(I,(SBC)) = IH

SKKN năm học 2013- 2014

=
Þ
d
I,(SBC)
=
(
)
26
HI2 IJ 2 IS2 9a 2

om

+ Hoàn toàn tương tự, học sinh sẽ tính được d ( I;(SCD) ) và d ( I;(SAD) )

Ví dụ 2.1: Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

.c

cạnh bên AA’ = a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABCD) trùng với trung
điểm I của AB. Gọi K là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp

oc

A’IKD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’KD) ?

B’

Gọi H = DK Ç IC,

A’

on

CH =

K

C

H
I

A

D

3
3a 5
Vì ABCD là hình vuông nên IH = IC =
5
10

kh

Xét DA’AI ta có A 'I = A 'A 2 - AI 2 =

a 3
2

1
1 1

A 'I IH

3a 2
3a 2
Þ d ( I,(A 'KD) ) =
8
8

co
m

Ví dụ 3.1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết góc giữa CA’ và

(ABCD) bằng 30o. Góc giữa (A’BC) và (ABCD) bằng 45o; d ( A;(A 'CD) ) = a.
Tính VABCDA’B’C’D’ theo a ?

A’

Hướng dẫn:

H

B’

(

)

·';(ABCD) = A
·'CA = 30o

C

oc

·
· ' = 45o
Þ (ABCD);(A
'BC) = ABA

Kẻ AH ^ A’D (H Î A’D). Ta chứng minh được d ( A,(A 'CD) ) =AH.

gb

Đặt AA’ = x Þ AB = x (do DA’AB vuông cân tại A)
·'CA = 30o Þ AC = x 3 ; BC = AC 2 - AB2 = x 2
Ta có: A

on

Xét tam giác vuông AA’D ta có:

a 6 a 6 a 12 3a 3 3
.
.
=
2
2
2
2


5


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm AB

(

)

C

A

·
· M . Nhận thấy
Þ B
C;(ABB1A1 ) = CB
1
1

M

DAB1C1 là mặt bên của hình chóp

a 2

K


Đặt AC = x. Ta có DABC đều Þ CM =

K1

Do DMCB1 vuông cân tại M Þ MC = MB1 =

2

uo

æx 3ö
2
2
Xét D vuông BB1C ta có B1C = x + 2a Þ 2 ç
÷ = x + 2a Þ x = 2a
è 2 ø
2

Þ VABCA B C = SDABC .AA ' = a 3 6

gb
oc

1 1 1

2

b) Xét tam giác AKK1 ta có :
Vậy d ( K;(AB1C1 ) ) =



Þ (SCB) ^(SIK)

Kẻ IH ^ SK Þ IH ^ (SCB). Vậy: d(I,(SCB)) = IK.
SDIBC = SABCD - SDDIC - SDAIB

SKKN năm học 2013- 2014

3a 2
=
. (1)
2

6


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Þ BC = 2a 2 + a 2 = a 5 Þ IK =

2SDIBC 3a 5
=
.
BC
5

· = 60o . Xét
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là SKI

S

I

c.
c

Þ d(I,(SBC)) =

H

3a 15
10

K

C

D

Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên, học sinh được rèn luyện kỹ năng tính

oc
uo

khoảng cách từ một điểm (là chân đường cao của hình chóp hoặc lăng trụ) đến
mặt phẳng là mặt bên của hình chóp.

Ví dụ 6.1: Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a 3 .
Hình chiếu của A lên (A’B’C’D’) trùng với tâm O của hình vuông A’B’C’D’.
3a
. Tính VABCDA’B’C’D’ và d ( O;(ADC'B') ) ?


3a
Vậy d ( O,(AA 'D) ) = OH =
4

Xét tam giác vuông AOM:

A’
K

B’

1
1
1
16
1
4
=
+
Û
=
+
OH 2 OA 2 OM 2
9a 2 OA 2 3a 2

Þ OA =

H
M

4
4
3a
=
+
= 2 + 2 Þ OK =
2
2
2
4
OK
OA
ON
9a
3a

m

Xét tam giác vuông AON ta có:

co

2. SỬ DỤNG QUAN HỆ SONG SONG, TỶ SỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG
CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG.

c.

Để giải quyết được bài toán này, học sinh cần nắm vững một số tính chất
cơ bản sau:


S

kh

SO ^ (ABCD), kẻ OI ^ AB, khi đó:

(SOI)^ (SAB). Vậy OH = d ( M;(SAB) )
M.

Xét tam giác vuông SOI ta có:

Þ d ( O,(SAB) ) = a 6
SKKN năm học 2013- 2014

H

D

1
1
1
= 2+
Þ OH = a 6
2
OH
OI
OS2

I


Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 3a; BC = 4a;

c.

· = 30o . Tính khoảng cách từ B đến
(SBC) ^ (ABC). Biết SB = 2a 3; SBC

uo

(SAC) theo a?
Hướng dẫn:

Gọi H là hình chiếu của S lên BC. Do (SBC) ^ (ABC) nên SH ^ (ABC). Ta sẽ

oc

tính d ( H,(SAC) ) sau đó dựa vào tính

S

chất 2 để tính d ( B;(SAC) ) .

on
gb

Kẻ HI ^ AC tại I Þ (SHI) ^ (SAC)
Kẻ HK ^ SI tại K

Þ HK ^ (SAC).


1
1
3a 7
3a 7
= 2+
Þ HK =
. Vậy d ( H,(SAC) ) =
.
2
2
14
14
HK
HI
HS

Ta có: BH Ç (SAC) = {C}
SKKN năm học 2013- 2014

9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Þ

d ( B,(SAC) ) CB
6a 7
=
= 4 Þ d ( B,(SAC) ) = 4d ( H,(SAC) ) =

ta có SKH
4

1
a
Þ HK = DC = . Xét tam giác vuông
4
4

VSABCD

a 3
.
4

gb
o

SHK, ta có SH = HK tan 600 =

B

M
K

A

D

N

2
2
2
8
HM
HN
HS
9a
d ( A,(SCD) ) CA 4
=
=
d ( H,(SCD) ) CH 3

kh
Þ

4
4 3a a
Þ d ( A,(SCD) ) = .d ( H,(SCD) ) = . =
3
3 8 2

Nhận xét: Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến
mặt phẳng bằng cách sử dụng tính chất 1 và tính chất 2, giáo viên yêu cầu học
sinh tính d ( I,(SCD) ) (với I là trung điểm BC).
SKKN năm học 2013- 2014

10



)
(
)
ïî

Kẻ IK ^ CB, IH ^ SK, ta có

oc

Hướng dẫn:

A

cu

(SBC) ^ (SIK). Vậy d ( I, ( SBC ) ) = IH

B

I

D

C

K

gb
o


3a 15
=
+
=
a
Þ
d
I,(SBC)
=
IH
=
.
(
)
10
HI 2 IS2 IK 2 27

Ta có: AI Ç BC ={E}Þ AI Ç (SBC) = {E}. Do đó
d ( A,(SBC) ) EA 4
4
2a 15
=
= Þ d ( A,(SBC) ) = d ( I,(SBC) ) =
d ( I,(SBC) )
EI 3
3
5

SKKN năm học 2013- 2014



E

K

D

O

C

uo

khoảng cách từ B’ đến (A’BD) ta sẽ B

C’

c.

cao của hình chóp A’ABCD). Học sinh

co

đường cao của lăng trụ (chính là đường

tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy của lăng trụ (tức là trên mặt đáy hình
chóp A’ABCD) đến mặt phẳng (A’BD), sau đó dựa vào tính chất 1 hoặc tính 2

oc


2
AK AB AD

d ( A,(A 'BD) ) = d ( B';(A 'BD) ) =

a 3
2

+ Chú ý: B’C //(A’BD) nên ta có thể tính d ( B',(A 'BD) ) dựa vào tính chất 1.
d ( B',(A 'BD) ) = d ( C;(A 'BD) )

SKKN năm học 2013- 2014

12


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Ví dụ 6.2: Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB =
a 2 . Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa
uur
uur
·
= 60o . Tính theo a VSABC và tính khoảng cách từ
mãn IA = -2IH ; SC;(ABC)

(

)



600

Mặt khác: BC ^ SH (2)

A

Từ (1) và (2) suy ra: BC ^ (SAH) .

Vậy d ( B,(SAH) ) = BI. Ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 4a 2 Þ BC = 2a Þ BI = a

gb
oc

1
a
Þ d ( E,(SAH) ) = d ( B,(SAH) ) = .
2
2

Ví dụ 7.2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA; M là trung điểm AE. Tính
d ( M,(SAC) ) theo a?

on

Hướng dẫn:

Nhận thấy EM Ç (SAC) = {A}


C

(2)

SKKN năm học 2013- 2014

13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Từ (1) và (2) suy ra : BD ^ (SAC) .
1
a 2
Vậy d ( D,(SAC) ) = DO Þ d ( M,(SAC) ) = DO =
2
2

m

3. SỬ DỤNG THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH

Có những trường hợp sử dụng các phương pháp trên khó khăn, nhưng

việc tính thể tích các khối chóp liên quan đến bài toán dễ thì ta có thể sử dụng

co

thể tích là đại lượng trung gian để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng. Ta
dựa vào kết quả sau:

î

·
· 'C = 30
'B;(ACC'A ') ) = ( A
'B,A 'C') = BA
( A·

.M

B’

G
o

on

DA’BC vuông tại C; BC = AC = a Þ AB = a 2 ;

C’

.K
A
B

Xét tam giác vuông A’BC ta có:

kh

A’B = 2a Þ A’B = 2a Þ AA ' = a 2


1
3 2
a 6
SA ' BC = a 3.a
a Þ d ( M,(A 'BC) ) =
2
2
6

Nhận xét: Học sinh có thể tính d ( M;(ABC) ) bằng cách dựa vào tỷ số khoảng
cách: Kẻ AK ^ A’C Þ AK ^ (A’CB). Vậy d ( A,(A 'BC) ) = AK.
a 6
(dựa vào tam giác vuông A’AC)
3

co
m

Ta tính AK =

Nhận thấy AM Ç (A’BC) = G (G là trọng tâm tam giác A’AB)

d ( M,(A 'BC) ) GM 1
1
a 6
=
= Þ d ( M,(A 'BC) ) = d ( A,(A 'BC) ) =
2
6


A

on

Theo giả thiết: SO ^ (ABC) nên

M.

· = 60o . Ta có DHAO
SB,(ABC) ) = SBO
(·

kh

vuông cân tại H

H

C
N

O

B

3
3a
Þ HO = HA = AB = . Trong DBHO vuông tại H có:
4

îOH ^ AB
3V
1
a 2 39
a 130
SDSAB = AB.SH =
Þ d ( C,(SAB) ) = CSAB =
2
8
S DSAB
13

Học sinh có thể tính d ( C,(SAB) ) = 2 d ( N,(SAB) ) =

m

Nhận xét:
AN
.d ( O,(SAB) )
AO

co

Nhưng học sinh chọn cách này sẽ phải tính toán nhiều hơn so với cách giải trên.

Ví dụ 4.3: Cho hình chóp SABC, có góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60o,

c.

DABC, DSBC là tam giác đều cạnh a. Tính d ( B,(SAC) ) theo a?

uo

Hướng dẫn: H là trung điểm BC. Ta có DABC và DSBC là tam giác đều

on

a 13
a 2 39
Þ CM =
; SDSAC =
4
16
3V
3V
3a 13
d ( B,(SAC) ) = BSAC = SABC =
SDSAC
SDASC
13

S

A

C

O

H



c
2

c 2
2

B’

A

H

A’
B

3V
1
a 6
SDSAC BH Þ d ( B,(SAC) ) = BSAC =
3
SDSAC
3

co

1
abc 2
1
bc 3

3a
Gọi I là trung điểm AB Þ CI = AB =
2
2

oc

S

1
Vì G là trọng tâm DABC Þ IG = IC
3
a
ta có DIGB vuông tại I
2

gb

Þ IG =

2

K
C

on

2

B


Trong DAIC vuông tại I, ta có AC = IA 2 + IC2 =

SKKN năm học 2013- 2014

a
;
2

3a
.
2

17


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

3VSABC
1
3a 2 3
S∆SAC = SK.AC =
Þ dB; (SAC)) =
=a 3
2
4
SSAC

Nhận xét: Học sinh có thể tính d ( B,(SAC) ) thông qua d ( G;(SAC) )
Ví dụ 6.3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a; AA’= a.


A

2

D

.c

Ta có: SDMAC

2
2 1
2a
= .SDADC = . a.2a =
3
3 2
3

M

oc

VMAB 'C

1
= VB' MAC = SDMAC .d ( B';(MAC) )
3

Ta có: AC2 = CB'2 = 5a Þ DCAB' cân tại C.

1
1
1
1
=
+
+
OH 2 OA 2 OB2 OC2

Dựa vào kết quả trên, giáo viên hướng dẫn học sinh giải ví dụ 6.3 bằng

cách dựa vào tứ diện BAB’C.

Gọi d ( B,(AB'C) ) = h ta có:

1
1
1
1
9
2a
=
+
+
=
Þ
h
=
3
h 2 BA 2 BC2 BB'2 4a 2


1. Học sinh tự tính VABMO’

O

B

M

C

N.

Nhận thấy: OA, OM, ON đôi một vuông góc,

D’

c.
c

xét tứ diện vuông OAMN ta có:

A’

O’

B’

1
1

14

uo

tức là:

C’

a 14
14

oc

Gọi N là trung điểm OO’, ta có: d ( O ',(AMN) ) = d ( O',(AMN) )

Ví dụ 2.4:Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J, K lần lượt là

gb

trung điểm CD, AD và DD’, O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’. Tính d(O’,(IJK))
và tính VO’IJK ?

A

J

D

H


1
1
1
4
4
4 12
a
=
+
+
=
+
+
=
Þ
h
=
.
h 2 DI 2 DJ 2 DK 2 a 2 a 2 a 2 a 2
12

ìA 'B / /IK
Þ ( A 'BC') / / ( IJK ) Þ O'B / / ( IJK )
í
A
'C'/
/IJ
î
SKKN năm học 2013- 2014


16

Ví dụ 5.4: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a; BC = b; AA’= a.

co

Gọi E là trung điểm A’D’. Tính khoảng cách từ E đến (BC’D) và tính VBC’DE ?
Hướng dẫn:
a 2 + b 2 ; C’D = a 2

D

a

B

uo

DBDC’ cân tại B. Gọi H = CD’ Ç C’D

b

A

c.

Ta có: BD = BC’ =

C


D’

C’

1
a a + 2b
SDBDC ' = BH.C'D =
. Trên (BCD’A’) ta có BH Ç CE = I. Ta tính
2
2
2

2

3
3
3
được : IE = IC Þ d ( E,(BC'D) ) = d ( C,(BC'D) ) = h . Xét tứ diện vuông
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
ab
=


AB=BC=a; AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm BC , N là trung điểm BB’. Tính

khoảng cách từ B’ đến (AMN)?
Hướng dẫn:
Xét tứ diện BAMN ta có: BA, BM, BN đôi một vuông góc. Gọi h là khoảng
SKKN năm học 2013- 2014

20


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

cách từ B đến (AMN).
Ta có:

A

1
1
1
1
=
+
+
h 2 BA 2 BM 2 BN 2

C
a


a 7
7

B’

.c

Ví dụ 4.4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
· 'C = 30o . Tính theo a thể tích ABA’C’ là
cân tại B, biết BA=BC=a; BA
A

cu

Hướng dẫn:

oc

d ( C,(A 'BC') ?

C

B

ìBC ^ AB
Ta có: í
Þ BC ^ ( ABB'A ' )
îBC ^ BB'

I

o

CB’ Ç (A’BC’) tại trung điểm I của CB’ Þ d ( C;(A 'BC') ) = d ( B';(A 'BC') ) = h
Do B’A’; B’B; B’C’ đôi một vuông góc, xét tứ diện vuông B’A’BC’ ta có:
1
1
1
1
5
a 2
=
+
+
=
Þ
d
=
h 2 B'B2 B'A '2 B'C'2 2a 2
5

SKKN năm học 2013- 2014

21


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

5. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ HOÁ

Trong chương trình hình học lớp 12, các em đã được học phương pháp tọa

gb
o

tích, diện tích thiết diện, …

+ Bài toán cực trị, quỹ tích.

3/ Một số mô hình có thể dùng phương pháp tọa độ hóa
+ Hình tứ diện vuông: chọn hệ tọa độ có gốc tại đỉnh vuông, các trục là

kh
on

các cạnh

+ Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông

(hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.
+ Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường

cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là
Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b;
0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)
+ hình hộp chữ nhật. Ta chọn hệ tọa độ có gốc tại một đỉnh vuông, các
trục là các cạnh của hình hộp.
.....
SKKN năm học 2013- 2014

22



I

x

B

(M l trung im CD). A ẻ Oz.

K

uo

ổ a
ử
ổ a
ử
ổa
ử
Ta cú: a ỗ - ;0;0 ữ ; D ỗ - ;a;0 ữ ; C ỗ ;a;0 ữ
ố 2
ứ
ố 2
ứ
ố2
ứ

ổ
3a 2
3a

gb

uur ổ a a ử uur ổ a
a 3ử
ử uuur ổ
Khi ú: IK ỗ ; ;0 ữ ; ID ỗ - ;a;0 ữ ; IA ' ỗ 0;0;
ữ.
2
ố2 2 ứ
ố 2
ứ
ố
ứ

uur uur ổ
3a 2 ử
1
ộ
ự
Ta cú: ở IK, ID ỷ = ỗ 0;0;
ị VA 'IKD =
ữ
6
4 ứ
ố

3
uur uur uuur
ộ IK, ID ự .IA ' = a 3 (vtt)
ở

)

)

(

)

ổ a 3ử
3a
Phng trỡnh mp(AKD) l: 1( x - 0) + 2( y - 0) + 3 ỗ z ữ = x + 2y + 3z - = 0
2 ứ
2
ố

2x + 4y + 2 3z -

-3a
3a
3a
3a 2
= 0 ị d ( I; ( A 'KD ) ) =
=
=
2
8
4 + 16 + 12
32

SKKN nm hc 2013- 2014


B

nhng tớnh toỏn tng i cng knh.

C

Oxyz sao cho O(0;0;0);

y

A

D

y

uo

ổa 3
ử
ổ a ử ổ a aử
Aỗ
;0;0 ữ ; D ỗ 0; ;0 ữ ; S ỗ 0; ' ữ .
ố 2 ứ ố 2 2ứ
ố 2
ứ

c.


CI ỗ
; ; ữ = 3 3;1;1 = .u ; SD ỗ 0; -a; - ữ = - ( 0;2;1) = - .v
4
2ứ
2
2
ố
ố 4 4 4ứ 4

(

)

Mt phng (a) cha CI v song song SD cú vộc t phỏp tuyn
r
r r
a 3
n = ộở u, v ựỷ = -1; -3 3;6 3 . Phng trỡnh (a) l: x + 3 3y - 6 3z +
=0
2

(

kh

Ta cú d ( D;(a) ) =

)

a 3


A 0 ( 0;0;0 ) . Tia Ox ngc hng

vi tia BM (vi M l trung im AC).

(

)

C

c.
co

C ( 0;a;0 ) v A ' 0;0;a 3 . Khi ú

ổa 3 a ử
ổa 3 a
ử
Bỗ
; ;0 ữ ; B' ỗ
; ;a 3 ữ ; C' 0;a;a 3
ố 2 2 ứ
ố 2 2
ứ

)

uuuur ổ a 3 a
ử a


M

A

m

B

Chn h trc to Oxyz sao cho:

a r
3;1;2 3 = .v . Mt phng (a) cha BC v song
2

bo
c

r
r r
song AB cú vộc t phỏp tuyn n = ộở u, v ựỷ = 0; -12;2 3 .

(

)

Phng trỡnh mt phng (a) l: -6y + 3z + 3a = 0
3a
39



SKKN nm hc 2013- 2014

1
1
4
= 2 + 2 ị x = AB = a 5
2
AH
x
x

25