Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

m

TITU ANDREESCU
DORIN ANDRICA

c.

BÀI TẬP SỐ PHỨC

co

Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

kh

on

gb

oc
uo

(98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
LỜI GIỚI THIỆU

Người dịch.

Lê Lễ

Page 2


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

Mục lục1
Mục lục............................................................................................................................................. 3
1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5
1.1 Định nghĩa số phức................................................................................................................. 5


Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng

Lê Lễ

Page 3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

Bài tập số phức

Lê Lễ

Page 4

uo

c.

∀ ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ ℝ2:
Tổng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℝ2.
Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ∈ ℝ2.
Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng.
Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân.
Ví dụ 1.
a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2)
z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) .
z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16) .
1
1 1
b) z1 ( ,1), z2 ( , )
2
3 2
1 1
1
5 3
z1 z2 (
,1 ) ( , )
2 3
2
6 2
1 1 1 1
1 7
z1z2 (
,

(2) Kết hợp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 .z3 ), z1 , z2 , z3 C .
(3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) C , z.1 1.z z, z C .

gb

oc
uo

c.

co

m

(4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: z C* , z 1 C : z.z 1 z 1.z 1 .
Giả sử z ( x, y) C* , để tìm z 1 ( x ', y ') ,
xx yy 1
. Giải hệ, cho ta
( x, y).( x ', y ') (1, 0)
yx xy 0
x
y
. Vậy
x'
,
y
x2 y 2
x2 y 2
1
x

1 2
z1 ( 2
,
)
(
, ).
1 22 12 22
5 5
b) Nếu z1 (1,2), z2 (3,4) thì
z1
3 8 4 6
11 2
(
,
) ( , ).
z2
9 16 9 16
25 25
*
Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ ,
z 0 1; z1 z; z 2 z.z; z n 
z.z. z , n nguyên dương.
n

1

z ( z ) n , n nguyên âm.
0 n 0 , mọi n nguyên dương.
(5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng:
z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C

( x,0) ( y,0) ( x

Ta đồng nhất
(x,0)=x.
Đặt i=(0,1)

( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1)
x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy .
Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ ,
trong đó i2=-1.
Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân :
i 2 i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) 1 .
Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó:
C {x yi | x R, y R, i 2
1} .
x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i.
(1) Tổng hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C .
Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực
(phần ảo) của hai số đã cho.
(2) Tích hai số phức
z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C .
(3) Hiệu hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C .
Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần
thực(phần ảo) của hai số phức đã cho.
Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý
i2
1 là đủ.
Ví dụ 3.


f là một đẳng cấu

Lê Lễ

Page 7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

z1z2

1
i) (
2
1
1
(
i)(
2
3
(

1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i
i 0 1; i1 i; i 2
4

3

1 7
(
)i
i.
2
4 3
3 12

i,
7

6

.

m

z2

co

z1

gb

oc
uo

c.


3x 2 y

kh

1.6 Số phức liên hợp
Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z.
Định lý.
(1) z z
z R,
(2) z z ,
(3) z.z là số thực không âm,

Lê Lễ

Page 8


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

z2

(5) z1.z2

(2)
(3)

z1
, z2 C* ,

y2 )i ( x1

y2i)

z1

y1 y2 ) i( x1 y2

( x1 iy1 )( x2 iy2 )

1
1
1 ( z. ) 1
z
z
1
tức là ( z ) ( z ) 1.

x2 ) ( y1

y2 )i

z2 .

x2 y1 ) ( x1x2

y1 y2 ) i ( x1 y2

x2 y1 )


z1.z2 ,

1

(6) z

z1

m

(4) z1

1
1
1 z1
) z1.( ) z1.
.
z2
z2
z2 z2
(8) z z ( x yi ) ( x yi) 2 x.
z z ( x yi ) ( x yi ) 2 yi.
z z
z z
Do đó: Re( z )
, Im(z)=
2
2i
Lưu ý.
a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành:


kh

on

(7)

Lê Lễ

Page 9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu
1 là đủ.
ý i2

1

1

10 8i
2
i
41

10 8i 5
164

z1z2

z1.z2

E

gb

1.7 Môđun của số phức
Số | z | x 2 y 2 gọi là Môđun của số phức z=x+yi.
Ví dụ 6. Cho
z1 4 3i, z2
3i, z3
| z1 |

42

32

10 8i
102 82

co

(10 8i)

oc
uo

b) Tính z

22

2.

kh

on

Định lý.
(1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | .
z 0.
(2) | z | 0,| z | 0
(3) | z | | z | | z | .
(4) z.z z 2 .
(5) | z1 z2 | | z1 || z2 | .
(6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
(7) | z 1 |
z
(8) | 1 |
z2
(9) | z1 |

| z | 1 , z C*
| z1 |
, z2 C * .
| z2 |
| z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .

Lê Lễ


z1z2

co

(6) | z1

m

Bài tập số phức

2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | .

Do đó

oc
uo

c.

| z1 z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 . Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | .
Bất đẳng thức bên trái có được do:
| z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 |
| z1 | | z2 | | z1 z2 |
1
1
1
1
1 | z |.
1
.

| z1 z2 |2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )

z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2
2(| z1 |2 | z2 |2 ) .
z z
Bài tập 2. Chứng minh nếu | z1 | | z2 | 1, z1 z2 1 thì 1 2 là số thực.
1 z1 z2
Lời giải. Sử dụng tính chất (4),

kh

| z1 |2 z1 z2

Lê Lễ

Page 11


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
1
.
z1

z1 z1 | z1 |2 1, z1

1
z1


uo

z C * ,| z

c.

1
| a .
z
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0.
Lời giải.
1 2
1
1
z2 z 2
1
2
2
a |z
| (z
)( z
) |z|
2
z
z
z
|z|
| z |2
| z |4 ( z z ) 2 2 | z |2 1
.


2

]

kh

on

a2 4 a
a2 4
|z| [
;
].
2
2
a
a2 4
a
a2 4
max | z |
,min | z |
.
2
2
z M,z
z.
Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z,
1
, hoặc | z 2 1 | 1.

uo

c.

co

(a2 b2 )2 2(a2 b2 ) 0,2(a2
Cộng các bất đẳng thức được
(a2 b2 )2 (2a 1)2 0. Mâu thuẫn
Bài tập 5. Chứng minh
7
7
|1 z | |1 z z 2 | 3 , ∀ z, |z|=1.
2
6
Lời giải. Đặt
t |1 z | [0;2] .
t2 2
t 2 (1 z )(1 z ) 2 2 Re( z ) Re( z )
.
2
Khi đó | 1 z z 2 | | 7 2t 2 |. Xét hàm số

m

(1 a 2 b 2 ) 2

f :[0;2]

Được


kh

H {z C , z x 1 xi, x R} .
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức z H ,| z | | w |, w H .
Lời giải. Đặt
y 1 yi, y R.
Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho

Lê Lễ

Page 13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

f :R

R, f ( y ) ( y 1) 2

y 2 , ∀ y∈ R.

( y 1)2
y2

2 y2

2 y 1 2( y

y tx (1 t ) z
tương đương với
y x (1 t )( z x).

1 2
)
2

on

gb

oc
uo

c.

co

x

1
,
2

m

( x 1)2 x2
Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số



b i
b i
, x2
.
2a
2a
Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên hợp và phân tích nhân tử được
ax2 bx c a( x x1 )( x x2 )
trong cả trường hợp Δ
1
z1,2
( b y1,2 ) .
2a
Quan hệ nghiệm và hệ số
b
c
z1 z2
, z1z2
,
2a
a
Và luôn có phân tích nhân tử
az 2 bz c a( z z1 )( z z2 ) .
Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức
z 2 8(1 i) z 63 16i 0.
Lời giải.
(4 4i)2 (63 16i) 63 16i

Lê Lễ

Page 15


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
r |

632 162

63 16i
x
1
x2 y 2
63
2
2
x y 2 xyi
63 16i
.
y 8
xy
8
Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i.
Phương trình có hai nghiệm
z1 4(1 i ) (1 8i) 5 12i,

Có nghiệm y1,2

65 63
2

63 16i

z2 4(1 i ) (1 8i ) 3 4i
Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc
p
hai x2 px q 0 có Môđun bằng nhau, thì là một số thực
q
Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và r | x1 | | x2 | . Khi đó

2 2

p2
q2

2
Re( x1 x2 )
r2

0.

p
là một số thực.
q
Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|.
a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình az 2 bz c 0 có Môđun bằng 1 thì
b2=ac.
b) Nếu mỗi phương trình
az 2 bz c 0, bz 2 cz a 0 có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì
|a-b|=|b-c|=|c-a|.

kh

Vậy

Lê Lễ

Page 16



a 2 b 2 c 2 ab bc ca.

z1z2 , hay (

Hệ thức tương đương với

oc
uo

(a b)2 (b c)2 (c a)2

Tức là

m

z2 )( z1

z2 |2 1. Hệ thức tương

a2

c.

( z1

b
,| a | | b |, ta có | z1
a

z2

các hệ thức, được
2

)2 (

)2 (

gb

Tức là (

2

)2

0 . Do đó α=β=γ.

2 3i, z3 1 i . Tính

on

1.9 Bài tập
1. Cho các số phức z1 1 2i, z2
a) z1 z2 z3 ,
b) z1 z2 z2 z3 z3 z1 ,
c) z1 z2 z3 ,

2

z22 z32 ,


(3 2i ) xy

4 y2

z0 .

1 2
x
2

(3xy 2 y 2 )i.

gb

c) (4 3i ) x 2

oc
uo

b) (1 i) z 2
1 7i.
6. Cho z=a+bi. Tính z 2 , z 3 , z 4 .
7. Cho z0 a bi. Tìm z∈ C sao cho z 2
8. Cho z=1-i. Tính z n , n nguyên dương.
9. Tìm các số thực x, y sao xho
a) (1 2i) x (1 2 y)i 1 i;
x 3 y 3
b)
i;

1

kh

on

i )( 3 2i )(5 4i );
4i)(5 2i ) (3 4i)( 6 i);
i 16 1 i 8
)
(
);
i
1 i
1 i 3 6 1 i 7 6
d) (
) (
);
2
2
3 7i 5 8i
e)
.
2 3i 2 3i
11. Tính
a) i 2000 i1999 i 201 i82 i 47 ;
b) En 1 i i 2 i3
i n ; n≥ 1;

c) i1.i 2 .i3. i 2000 ;

R.

oc
uo

19 7i
b) E2
9 i
15. Chứng minh
a) | z1 z2 |2 | z2

( i)94 ;

co

13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho z

100

c.

d) i 5 ( i) 7 ( i)13 i
12. Giải phương trình
a) z 2 i;
b) z 2
i;
1
2
c) z 2
i

1
| 2. Chứng minh | z
| 2.
16. Cho z C * , | z 3
3
z
z
17. Tìm tất cả các số phức z sao cho
| z | 1,| z 2 z 2 | 1 .
18. Tìm tất cả các số phức z sao cho
4z 2 8 | z |2 8.
19. Tìm tất cả các số phức z sao cho z 3 z .
20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh
1 1 1
|
| .
z 2 2
1
3
21. Cho các số thực a,b và
i
. Tính
2
2
(a b
c 2 )(a b 2 c ) .
22. Giải phương trình
a) | z | 2 z 3 4i;

Lê Lễ

Có ít nhất một nghiệm thực.
24. Tìm tất cả các số phức z sao cho
z ' ( z 2)( z i )
là số thực.
1
25. Tìm tất cả số phức z sao cho | z | | | .
z
26. Cho z1 , z2 C , sao cho | z1 z2 | 3,| z1 | | z2 | 1 . Tính | z1 z2 | .
27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
1 i 3 n
1 i 3 n
(
) (
) 2.
2
2
28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình
z n 1 iz .
29. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức | z1 | | z2 | | z3 | R 0 .
Chứng minh
| z1 z2 || z2 z3 | | z3 z1 || z1 z2 | | z2 z3 || z3 z1 | 9R2 .
v(u z )
30. Cho u,v,w là ba số phức | u | 1,| v | 1, w
. Chứng minh | w | 1 | z | 1 .
u .z 1
31. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức sao cho
z1 z2 z3 0,| z1 | | z2 | | z3 | 1.
Chứng minh
z12 z22 z32 0 .
32. Cho các số phức z1 , z2 , , zn sao cho


oc
uo

c.

co

m

a) x12000 x22000 ;
b) x11999 x12999 ;
c) x1n x2n ; n N .
35. Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất các đa thức
a) x4 16;
b) x 3 27 ;
c) x3 8 ;
d) x 4 x 2 1.
36. Tìm tất cả các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau
a) (2 i )(3 i) ;
5 i
b)
;
2 i
c) i 51 2i80 3i 45 4i 38 .
37. (Bất đẳng thức Hlawka) chứng minh
| z1 z2 | | z2 z3 | | z3 z1 | | z1 | | z2 | | z3 | | z1 z2 z3 |, z1 , z2 , z3 C

Lê Lễ


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức

kh

on

gb

oc
uo

c.

co

m

8. Với mọi số nguyên k không âm, ta có

Lê Lễ

Page 23


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Bài tập số phức
37.


co

có điều phải chứng minh.

2. Biểu diễn hình học của số phức

on

gb

oc
uo

c.

2.1 Biểu diễn hình học của số phức
Định nghĩa. Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức
z=x+yi. Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ
phức của M là z.
Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức.

kh

Các điểm M,M’ (tương ứng với z , z ) đối xứng nhau qua Ox.
Các điểm M,M’’ (tương ứng với z, z ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
 
Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM , M(x,y) .

Lê Lễ

bởi bốn điểm trên đường tròn đơn vị tâm O. Bởi vì
| z1 | | z2 | | z3 | | z4 | 1 .

kh

on

gb

2.3 Biểu diễn hình học các phép toán
(1) Phép toán cộng và nhân. Xét số phức z1 x1 y1i, z2 x2 y2i và các vectơ tương


 


ứng v1 x1i y1 j , v2 x2i y2 j .
Tổng hai số phức
z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i .
Tổng hai vectơ
 


v1 v2 ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j .
 
Tổng z1 z2 tương ứng với vectơ tổng v1 v2 .

Lê Lễ

Page 25