Ngày soạn

Tiết 6-7-8-9

Chủ đề : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1) Một số phép toán vectơ
Tọa độ không
gian. r r r r
r
1. u ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k
uuuur r r r uuuur
2. M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + yj + zk ⇔ OM ( x; y; z )
r
r
3. Nếu a ( x; y; z ), b ( x '; y '; z ') thì:
r r
+ a ± b = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ')
r
+ kar= (kx; ky; kz)
r
+ a.b = x.x '+ y. y '+ z.z '
r
+ | a |= x 2 + y 2 + z 2
rr
a.b
x.x '+ y. y '+ z.z '
r r
+ cos(a , b ) = | ar | . | br | =
x2 + y 2 + z 2
r

 xM = 2

y +y

+ Nếu M là trung điểm của AB thì:  yM = A B
2

z A + zB

 zM = 2


Tích có hướng của hairvectơ.
r
* Nếu a ( x; y; z ), b ( x '; y '; z ') thì tích có hướng của hai vectơ đó là một véc tơ:
r r  y z z x x y 
[a , b ] = 
;
÷
 y' z' z' x' x' y' 
r
r
r r
* Kết quả: + Vectơ [a , b ] vuông góc với a và b .
r
r
r r
+ Hai vectơ a và b cùng phương thì [a , b ] = 0.
1


B; C ) là:
tuyến
A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0
Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0)
Nếu mp (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có 1vtpt của ( α ) là:
r
n = (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
x y z
+ + =1
a b c

( Phương trình đoạn chắn)

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà nó đi qua
và 1 véctơ pháp tuyến.
*) Vị trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :
° (α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
A

B

C

D

A

B


 x = x0 + at


 y = y0 + bt (t ∈ ¡ )  y = y0 + bt (t ∈ ¡ )
 z = z + ct
 z = z + ct
0
0



+ Phươngr trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x 0;y0;z0) và có vectơ chỉ
phương u = (a; b; c) là:
 x = x0 + at
x − x0 y − y0 z − z0

=
=
 y = y0 + bt (t ∈ ¡ )
a
b
c
 z = z + ct
0


+Vị trí tương đối của 2 đườnguuthẳng
d , d’ : Ta thực hiện hai bước
r
r

giữa u d ' , ud
Cùng
phương

/

, d’
d ≡ d'
d / /d '

Không
cùng
phương

d cắt d’
d , d’ chéo
nhau

4) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Tùy theo dang của đường thẳng và mặt phẳng đã cho mà ta chọn cách xét vị trí tương
đối. Cụ thể có ba cách xét chính đó là:
+ Xét hệ phương trình tương giao.
+ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và vectơ nối hai điểm
của đường thẳng.
+ Quan hệ thuộc.
5) Góc và khoảng cách.
+ Gọi góc giữa hai đườnguurthẳng
d1, d2 là α nên ta có:
uur
cos α =| cos(ud1 , ud2 ) |

| u∆ |

+ Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau d1 và d2 là:
uuuuuur
r r
| [u d1 , u d2 ].M 1M 2 |
d (d1 / d 2 ) =
r r
| [u d1 , u d2 ] |

6) Mặt cầu:
+ Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R là:
(x – a )2 + (y – b )2 + (c – z )2 = R2
+ Phương trình: x 2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình của mặt
cầu khi và chỉ khi A2 + B2 + C2 – D > 0.
Khi đó tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) và bán kính R = A2 + B 2 + C 2 − D .
+ Nếu d(I/(P)) = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu.
+ Nếu d(I/(P)) > R thì mp(P) không cắt mặt cầu.
+ Nếu d(I/(P)) < R thì mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm là
hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) và bán kính r = R 2 − d 2 với d = d(I/(P)).
3


II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1: Các bài toán về các phép toán của véc tơ.
1. Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng của tam giác.
A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ AB, AC không cùng phương.
2. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
uuur uuur

(P) đi qua điểm M và đường thẳng d cho trước
uuuuur r
r
+ n( P ) = [ MM 0 ,u d ] ( M 0 ∈ d )
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M.
6. Mặt phẳng (P) đi qua điểm hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:
r
r r
+ n( P ) = [u d ,u d ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M 1 thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 hoặc giao điểm
của hai đường thẳng đó)
7. Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d và d'.
uuur uuruuuuur
+ n( P ) = ud ,MM '
+ Điểm mặt phẳng đi qua là điểm M thuộc d hay M' thuộc d'.
8. Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 (d1 và d2 chéo nhau)
r
r r
+ n( P ) = [u d ,u d ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1.
9. Mặt phẳng (P) chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước:
r
r r
+ n( P ) = [ud , n(Q ) ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d
10. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với d1 và d2 chéo nhau
r
r r
+ n( P ) = [u d ,u d ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M.

+ Tìm D.
13. Mặt
phẳng (P) song song với mp (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
uuur uuur
+ n( P ) = n(Q ) ⇒ PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0.
+ Tìm D.
14. Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo nhau d, d’ và tiếp xúc với
mặt cầu (S).
uuur r r
+ n( P ) = u d , u d '  ⇒ PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0.
+ Tìm D.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng.
1. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
r
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c) :
 x = x0 + at

+ Phương trình tham số:  y = y0 + bt (t ∈ ¡ )
 z = z + ct
0


+ Phương trình chính tắc:
 x = x0 + at

 y = y0 + bt (t ∈ ¡ )
 z = z + ct
0



b
c

2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q).
Cách 1:
r
r
r
+ ud = [n ( P ) , n (Q ) ]
+ Điểm mà đường thẳng d đi qua có tọa độ là 1 nghiệm của hệ phương trình
được tạo bởi phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Cách 2: Lấy hai điểm A, B là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q), suy ra
giao tuyến của hai mặt phẳng đó chính là đường thẳng AB.
Cách 3: Gọi M là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q). Giả sử M có hoành
độ x = t, ta đi tìm y và z theo t ,từ đó ta có phương trình tham số của giao tuyến của
hai mặt phẳng (P) và (Q).
5


3.Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên
mp(P):
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mp(P).
+ Khi đó đường thẳng d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q).
Cách 2:
+ Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d.
+ Tìm điểm A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của điểm A và B ttrên mp(P).
Khi đó: đường thẳng A’B’ chính là hình chiếu của đường thẳng d trên (P).
4. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với hai đường thẳng
d1, d2.

+ Viết phương trình
mp(Q) điuurqua
điểm M và đường thẳng d2.
uur
uur uur
Khi đó: Nếu ud , ud và ud , ud không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao
tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q).
Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1.
+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d2 và mp(P).
+ Viết phương trình đường thẳng MI. Nếu vectơ chỉ phương của hai đường thẳng MI và
d1 không cùng phương thì đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm.
1

2

7. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d 1, và vuông
góc với đường thẳng d2.
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1.
+ Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2.
Khi đó: Nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d 1 không
cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q).
Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2.
+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d1 và mp(P).
6


Khi đó: đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm.

⇒
AB
+ Vì d song song d1
cùng phương với d1 AB = ku d1 ⇒ Ta có hệ hai phương trình

+ Giả sử 

hai ẩn t và t’.
Giải hệ ta tìm được t và t’ suy ra tọa độ của A và B.
Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm.
9. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau d1, d2.
Cách 1:
d ∩ d1 = A
ta viết được tọa độ tổng quát của A, B theo t và t’.
d ∩ d 2 = B
uuur
uuur
 AB ⊥ urd
 AB.urd = 0
⊥ d1
1
⇒  uuur r ⇒  uuur r 1
⇒ Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’.Giải hệ
⊥ d2
 AB ⊥ u d2
 AB.u d 2 = 0

+ Giả sử 
d



Khi đó: giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng d cần tìm.
10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm I của đường thẳng d’ và
mặt phẳng (P), nằm trong (P) và vuông góc với d’.
+ Tìm toạ độ điểm I.
r
r r


u
=
n
d
+
 (P) , ud ' 
Dạng4: Tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng , đường thẳng.
a. H là hình chiếu của M trên mp(α)
. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (α).
. H = d ∩ (α)
b. H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
. H thuộc
đt d ⇒ Toạ độ tổng quát của H theo tham số t.
uuuur
. Tính MH
uuuur uur uuuur uur
. Ta có MH ⊥ ud ⇔ MH .ud = 0 ⇒ t = ? ⇒ tọa độ H
Dạng 5 : Điểm đối xứng M’ của M qua 1 mặt phẳng, đường thẳng.
a. Điểm M/ đối xứng với M qua mp(α)
. Tìm hình chiếu H của M trên mp(α)

Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3)
8


a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A. Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AM, với AM là trung tuyến của tam
giác ABC.
c) Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC.
d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC).
Bài giải
a)

uuur
uuur
 Ta có: AB = (−2; −2; 4) ⇒ AB = 2 6, AC = (0; −2; −1) ⇒ AC = 5
uuur uuur
uuur uuur
 Suy ra: AB. AC = 0 + 4 − 4 = 0 ⇔ AB ⊥ AC

 Hay tam giác ABC vuông tại A.
 Diện tích tam giác ABC: S =

1
1
AC. AB =
5.2 6 = 30
2
2

b)

⇔ 5x − y + 2 z + 2 = 0

d) khoảng cách từ D đến mp(ABC):
d ( D, ( ABC )) =

10 − 1 + 4 + 2
25 + 1 + 4

=

30
2

Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x − 2 y + 2 z + 1 = 0
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A.
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P).
Bài giải
a)
Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB.
AB = 1 + 4 + 1 = 6

Phương trình mặt cầu cần tìm:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = r 2
⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z − 1) 2 = 6

b)
9



c)
Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính
r = d (C , ( P )) =

0 − 4 − 12 + 1
1+ 4 + 4

=5

Phương trình mặt cầu cấn tìm:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = r 2
⇔ x 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 6) 2 = 25

Bài 3: Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 8 z + 1 = 0 .
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1).
Bài giải
a)
 −2a = −2
a = 1
 −2b = 6
b = −3


⇔
Từ phương trình mặt cầu ta có: 
 −2c = −8
c = 4
 d = 1
 d = 1

Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT n = (6; −7;9) có phương trình:

b)

6( x − 0) − 7( y − 1) + 9( z − 2) = 0
⇔ 6 x − 7 y + 9 z − 11 = 0
uuur
uuur
r uuuuuur uuuuuur
DE = (1;0;1), GH = (3; −1; −3), n = [ DE , GH ] = (1;6; −1)
10


Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có phương trình:
1( x − 1) + 6( y − 1) − 1( z − 1) = 0
⇔ x + 6y − z − 6 = 0

c)

Gọi I là trung điểm MN, I ( −1; 2;3) .
uuuur
MN = (−6; −2; 4) .
Mp(P) là mp trung trực của MN nên đi qua điểm qua I ( −1; 2;3) , nhận
uuuur
MN = (−6; −2; 4) làm VTPT có phương trình:
−6( x + 1) − 2( y − 2) + 4( z − 3) = 0
⇔ −6 x − 2 y + 4 z − 14 = 0

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết phương trình
tham số của đường thẳng d biết:

 x = −t

3

Phương trình tham số đường thẳng d:  y = 1 − t
2

1

 z = 2 − 2 t
uuur
uuur
AB = (−3;0; 2), BC = (4; −3; −5)
r
uuur uuuuur
VTCP: u = [ AB, BC ] = (6; −7;9)

Phương trình đường thẳng d cần tìm:

 x = 1 + 6t

 y = − 2 − 7t
 z = −1 + 9t


 x = −1 + t

Bài 6: Xét vị trí tương đối của d  y = 3 − t với các đường thẳng:
 z = 3t



Xét hệ phương trình: −2t = 3 − t ' ⇔ −2t + t ' = 3 vô nghiệm.
3 + 6t = 3t '
6t − 3t ' = −3


r
r
Và u1 = (2; −2;6) = 2u
11


Suy ra: d // ∆1 .
b)

Thực hiện tương tự: d và ∆ 2 cắt nhau.

c)

Thực hiện tương tự: d và ∆ 3 chéo nhau.
Bài 7: Cho 4 điểm A(-2;6;1) B(-1;1;2) C(2;-1;2) D(-1;1;0)
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
2. Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên (BCD).
3. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (BCD).
4. Tìm toạ độ hình chiếu K của D trên đường thẳng BC.
5. Tìm toạ độ điểm D’ đối xứng với điểm D qua đường thẳng BC.
Giải:
uuur uuur
uuur
uuur


uuur
Do K ∈ BC ⇒ K(-1+3t;1-2t;2) ⇒ KD ( −3t ; 2t; 2 )
uuur uuur
Do KD ⊥ BC ⇒ KD.BC = 0 ⇒ t = 0 ⇒ K (−1;1; 2)

5. Do D’ đối xứng với D qua BC nên K là trung điểm của BC ⇒ D’(-1;1;4)
Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết: mp (P) đi qua điểm
 x = 1 + 3t

A(-1; 2; -3) và đường thẳng d có phương trình  y = −1 + 2t
 z = 3 − 5t


Giải:

Ta có: đường thẳng d luôn đi qua điểm M(1; -1; 3) và có vectơ chỉ phương

uuur
r
ud (3;2;-5) ; MA=(-2; 3; -6)
r
Gọi n( P ) là vectơ pháp tuyến của mp(P).

Vì mp(P) đi qua điểm A(-1;2;-3) và đường thẳng d nên

uuur r
r
n( P ) = [ MA, ud ] = (-3; -28; -13) . Suy ra phương trình mp(P) là:


a) Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2.
Giải:
Ta luôn có:
r
Đường thẳng d1 đi qua M1(-2; 2; 0) và có vectơ chỉ phương u d (−1;1; 2) .
r
Đường thẳng d2 đi qua M2(-5; 2; 0) và có vectơ chỉ phương u d (3; −1;1) .
c) Xét hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng d1, d2 :
1

2

x + y = 0
x+2 y−2 z
=
=

 −1
2 y − z − 4 = 0
1
2
⇔


x+5 = y−2 = z
x + 3y −1 = 0
 3
 y + z − 2 = 0
−1

Vì mặt phẳng ( α ) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng ( α ) có dạng :
4x + 3y -12z + D =0
Hơn nữa: mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
1

1

2

2

1

2

d(I
⇔

(α )

) =R

4 + 6 − 3.6 + D

16 + 9 + 144
⇔ D − 26 = 52

=4

 D = 78

d(I
⇔
⇔

( P)

) =2

2 − 2t − 3 + 2t − 6 − 2t + 9
4 +1+ 4

=2

−2t + 2

= 2 ⇔ 1− t = 3
9
 1− t = 3
t = −2
⇔
⇔
1 − t = −3
t=4

* Với t=2 ta có : I (3;-7;1)
* Với t =4 ta có: I( -3;5;7)
Vậy: có hai điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài đó là : I (3;-7;1) và I( -3;5;7)
b, Do A = d ∩ ( P ) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
 2x + y +1 = 0



d(I

( P)

)=

2−2+8
6

=

8

 x + 2 y − z + 8 = 0

z= 3


Và bán kinh của (C) là:

r = 25 −

64
23
=
6
8

Vậy: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm
4 5 10
23
H (− ; − ; ) và bán kính r =
.
3 3 3
8

Bài 13: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: A(0; 0;
0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (Với a > b > 0).
Gọi M là trung điểm CC’.
Xác định tỉ số

a
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.


D'

b

a

A

a

D

y

C

B
x

r

uuur uuuur

Và : vectơ chỉ phương của mp(MBD) là: n2 = [ MB,MD]=(ab/2; ab/2; − a 2 ) .
* Để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau ta phải có:
r r
r r
a 2b2 a 2b2
n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 ⇔

3/  y = 1 + t
 z = −2t


2/ ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 =
2

2

25
6

1 1 1
I  ; ;− ÷
6 6 3

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2),
C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB.
3/ Viết phương trình đường thẳng AD.
4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 0
2/ 2x - 3y - z + 7 = 0
3/

x +1 y − 2 z
=
=
1

2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này
cắt mặt phẳng (P).
x = 1+ t

Đs: 1/  y = − y (P): 2x - 3y + z - 7 = 0
 z = 11 + t


2/ ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 25
2

2

2

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1),
C(1 ; 0 ; -4).
1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình
hành .
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông
góc với mp(ABC).
16


ĐS: 1/ D(2;2;-5)

I(1;2;-2)

2


2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B
qua A.
ĐS:

x = 3 + t

1/  y = t
 z = −2 − 3t


2/

x + y - 3z + 2 = 0

Bài 9 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục
toạ độ.
ĐS: a/ x - z - 1 = 0 b/ 2x - y - 3z + 7 = 0 c/ x - z + 2 = 0 d/ x + z = 0
e/ x + 4 = 0
f/ 6x - 4y + 3z - 12 = 0
Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d):

x +1 y −1 z − 2
=
=

13 =
13
11
−5
−7

x+

Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1).
a). Viết phương trình đường thẳng BC.
b). Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
17


x = 0

ĐS: a/  y = 2 + t
 z = −1 + t


b/ V =

3
2

Bài 12 :Cho ( α ) : 2 x + 5 y + z + 17 = 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0.
a/ Tìm giao điểm A của (d) và ( α ) .
b/ Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong
mp ( α ) .


Bài 14 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng
 x = −2 + 3t

( d) có phương trình tham số  y = −2 + 2t .
 z = −t


a). Viết phương trình mp( P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d) .
b). Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d)
c). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d) .
ĐS: a/ x - 3y - 5z - 3 = 0 b/ 3x + 2y - z - 4 = 0
c/ H(1;0;-1)
Bài 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) : x + y + 2 z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
ĐS: a/ (1;2;-2)
b/ x + y + 2z + 1 = 0
và
x + y + 2z - 11 = 0

18