Tính đơn điệu của hàm số và các
dạng toán thường gặp
Tính đơn điệu (đồng biến - nghịch biến hay tăng - giảm) là một tính chất quan trong của
hàm số. Tính chất này được áp dụng để giải rất nhiều bài toán như chứng minh bất đẳng
thức, giải phương trình, hệ phương trình...Trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về
tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán cơ bản cần nắm vững.

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một miền D.
f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu
f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu

thì
thì

Ta có thể hiểu đơn giản: hàm số đồng biến là hàm số mà x và f(x) cùng tăng, cùng giảm;
hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và ngược lại.

Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến
Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một
đường thẳng đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một
đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.


Quan sát đồ thị ở hình trên, ta
thấy trên các khoảng
đồ thị đi lên từ trái sang phải nghĩa làm trên
các khoảng này hàm số đồng biến. Trên khoảng (-1; 1) đồ thị đi xuống từ trái sang phải
nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.



và

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lưu ý: Trong bảng biến thiên, nếu y' mang dấu + nghĩa là hàm số đồng biến thì ở dòng y
ta biểu diễn bằng mũi tên đi lên, nếu y' mang dấu - nghĩa là hàm số nghịch biến thì ở
dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi xuống.
Ví dụ 2: xét tính đơn điệu của hàm số
Giải
TXĐ:

Bảng biến thiên:


Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

và

Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta có thể kết luận hàm số đồng biến trên các khoảng của tập
xác định vì
(do cả tử và mẫu đều dương) mà không cần dùng tới bảng biến
thiên. Tuy nhiên, ta nên lập bảng biến thiên để có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác
sau này.

Lưu ý: Quy tắc để tính nhanh đạo hàm của hàm số

là

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch
biến trên TXĐ