F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 1
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
ĐỂ GIẢI MỘT VÀI VÍ DỤ BÀI TOÁN MAX, MIN
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Với lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (tìm max, min), chứng
minh bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp để giải quyết. Sau đây, tôi xin giới
thiệu phương pháp kết hợp bất đẳng thức Cauchy và tính đơn điệu của hàm số để
giải một vài ví dụ về lớp bài toán này.
Kiến thức:
1.Tính đơn điệu của hàm số:
Cho hàm số
()y f x
xác định trên D.
+) Nếu
' '( ) 0y f x
(dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì
()y f x
đồng
biến trên D.
Khi đó,
00
,:x D x D x x   
ta có:
0

thì
max ( ) ( )f x f a
và
min ( ) (b)f x f
.
+) Nếu
()y f x
liên tục trên đoạn
 
;ab
thì ta chỉ cần tìm các nghiệm
i
x
của
phương trình
'( ) 0fx
rồi so sánh để đi đến kết luận:
     
 
12
min ( ) min ( ); ; ; ;f x f a f x f x f b
;
     
 
12
max ( ) max ( ); ; ; ;f x f a f x f x f b
.




.
Ví dụ 1.(Đề 78II.2-Bộ đề) CMR nếu
0
2
x


thì
sinx tan 1
2 2 2
xx

(1).
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
sinx tan
1
sinx tan sinx tan
2
2 2 2 2 .2 2
x
xx


  
.
Để có (1), ta cần chứng minh:
sinx tan
1
1

cos x cos x cos x
        
.
()fx
đồng biến trên
0;
2





0;
2
x


  



ta luôn có:
( ) (0) sinx tan 2 0f x f x x    


đpcm.
Ví dụ 2. (đề 113II.2-bộ đề) CMR nếu
0
2
x
F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 3
2sin tanx 3
11
22
2sin tanx 3
2 2 1 1 2sin tanx 3 0
22



        
xx
xx
xx

Xét hàm số:
(x) 2sin tanx 3  f x x
trên
0;
2





.

Suy ra hàm số
()fx
đồng biến trên
0;
2





.
0;
2
x


  


ta có
( ) (0)f x f
đpcm.
Cách 2: ta có
3
22
11
'( ) osx+ osx 3 3 osx. osx. 3 0
os x os x
cauchy
f x c c c c

2
1 2 2 1 1
1
x
x x x t
x
      

.
và
2
1 ost + cos2t = 2cos osty c t c  
.


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 4
Đặt
2
ost y = 2XX c X  
với
cos1 X 1
.
Ta có
' 4 1 0yX  
(vì

     
2 2 3
33
16 12 34 16 12 3 34A xy x y xy xy x y xy x y xy

         


Do
1xy


     
22
16 12 1 3 34 16 2 12A xy xy xy xy xy      
.
Đặt
 
2
1
0
44
cauchy
xy
t xy t xy

     
.
Xét hàm số
2

F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 5
khi
 
1
1 2 3 2 3 2 3 2 3
; ; ; ;
16
16 4 4 4 4
1
xy
t x y
xy


   

   
  
   
   
  

   



   






.
Vậy
191
min
16
A 
khi
 
2 3 2 3 2 3 2 3
; ; ; ;
4 4 4 4
xy

   
   


   


   

.

Cauchy xảy ra
x,y 0
1
xy
1
xy
4
2
xy




   




.
Chúng ta có thể tổng quát bài toán như sau:
BTTQ: Cho
,0xy
và
1xy
. Hãy tìm max, min của biểu thức:
  
22
T ax by ay bx cxy   
,
 

.
2
2
2
11
x x 2
xx

   


.
Do đó chúng ta có thể biến đổi hàm số đã cho về hàm số với ẩn mới t (
1
tx
x

).
Cái khó còn lại là chúng ta cần tìm miền xác định của hàm số với biến t. Chúng ta
sẽ làm như thế nào để tìm được miền xác định đây?
Bài giải:
+) Điều kiện:
x0
.
+) Đặt
2 2 2
22
1 1 1
2 2 . 2 4 2          
Cauchy

min 2y 
khi
1
21xx
x
     
.
N.Xét: Nhiều bạn sẽ nói tại sao chúng ta không áp dụng ngay bất đẳng thức
Cauchy khi đặt
1
tx
x

. Vì chúng ta chỉ được áp dụng bất đẳng thức Cauchy khi
các hạng tử không âm và dấu “=” có xảy ra không, nhưng ở đây chúng ta chưa
biết dấu của
1
x,
x
, nên chúng ta không được áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy.


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 7
Ví dụ 6.
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

2
22
22
x y x y
2
y x y x

   


.
Do đó, chúng ta sẽ tư duy đưa biểu thức P về hàm số ẩn t với
xy
t
yx

.
Bài giải:
Từ
x,y 0
ta có:
 
    
22
x y 1 1
2 x y xy x y xy 2 2 1 xy 2
y x y x
   
          
   

t2
2
5
2t 1 2 2 t 2 4t 4t 15 0 t
2

        
.
Ta có biểu thức:
   
3 2 3 2
P 4 t 3t 9 t 2 4t 9t 12t 18       
.
Xét hàm số:
32
f(t) 4t 9t 12t 18   
với
5
t
2

.


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 8

đồng biến trên
5
;
2







5 23
f(t) f
24

  


.
Dấu “=” xảy ra
     
 
x y 5
y x 2
x;y 1;2 ; 2;1
xy 2



  

(**)
Dấu “=” xảy ra
x,y 0
2
x
y
x y 2
xy
yx





   





.
Nhưng khi thay
x y 2
vào (**), ta được:
(**)
VT 3 4 2
.
Do đó, chúng ta có một bài học ở đây là không phải lúc nào chúng ta cũng áp
dụng bất đẳng thức Cauchy, kể cả khi biểu thức cho rất đẹp, nhưng vấn đề là dấu
“=” trong bất đẳng thức Cauchy khi áp dụng có xảy ra hay không.

Do
x,y 0 x y 0   
.
      
Cauchy
2
1 1 4
(1) x y 3 3 x y 3 x y 4 0 x y 1 x y 4 0
x y x y
                   

x y 4  
.
Mặt khác
1 3 1 3
(1) 1 1
xy x y xy x y
     

.
Nên
   
22
22
1 4xy 4x y 3 3
A x y 2xy x y 1
2xy x y
  
       


4
  
.
Dấu “=” đạt được khi
x y 4
t 4 x y 2
xy


    



.
Vậy
71
minA
4

tại
x2
y2





.
Ví dụ 8. Cho
, , 0x y z 

3
x y z 1
0 t xyz
32

   
.


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 10
Xét hàm số
4
2
3
f(t) 3t
t

trên
1
0;
2





2



   




.
Vậy
195
minT
16

khi
x y z 2  
.
Ví dụ 9. Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
23
T
x xy xyz x y z

   
.
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
33
11

3
minf(t) f(1)
2
  
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16
x
21
x y z 1
4
2x 8y y
21
2x 32z
1
z
21



  



  






nhất của biểu thức
   
3
2 abc
P
3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c

     
.
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức
   
2
x y z 3 xy yz zx , x,y,z      
ta có:
   
2
ab bc ca 3abc a b c 9abc 0      

ab bc ca 3 abc   
.
Ta có:
   
 
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc , a,b,c 0      
.
Thật vậy:
         



      


.
Xét hàm số
 
2
2
3
2t
f(t)
1t
3 1 t



trên


0;1
.
Ta có:
 
 
   


5

      




.
Vậy
5
maxP =
6
khi
a b c 1  
.


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 12
Ví dụ 11. Cho các số thực x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
   
  
3 3 2 2
x y x y
T
x 1 y 1
  


22
tt
xy xy
44
    
nên ta có:
 
2
32
2
2
t
t t 3t 2
t
4
P
t
t2
t1
4
  



.
Xét hàm số
2
t
f(t)
t2



    



.
Vậy
minT 8
khi
x y 2
.
Ví dụ 12. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn
2x 3y 7
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
 
 
 
2 2 2 2
3
A 2xy y 5 x y 24 8 x y x y 3        
.
Bài giải:
Ta có:
     
2
2 2 3 3
6 1 1 2 2 3 3 36 5
2

   
 
22
2 3 8 3x y xy x y x y        
.
Suy ra:
     
33
2 2 24 2 3 2 24 2 3A xy y x y x y xy x y xy x y xy              

Đặt


, 0;5t x y xy t   
 
3
2 24 2 3A t t   
.
Xét hàm số
 
3
( ) 2 24 2 3f t t t  
trên


0;5
.
Có
 
 

 
2
22
5
2 2 3 3
2
5
3
1
52
x y xy
xy
x
t
xy
y
x y x y
  


  



   






Ta có
 
 
2
2 2 2
1
2
xy yz zx x y z x y z

       

.


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 14
Do đó:
 
2
3
4
2
x y z
P
x y z
  

t
P
t

  
.
Xét hàm số
2
34
()
2
t
ft
t


trên
3;3


.
Ta có:
3
2
4
'( ) '( ) 0 4f t t f t t
t
     
.
Từ bảng biến thiên, ta có

khi
1x y z  
.
Ví dụ 14 (mở rộng). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
abc
và
2 2 2
5abc  
.
Chứng minh rằng:
    
4a b b c c a ab bc ca      
.
Bài giải:
Ta có:

         
44a b b c c a ab bc ca P a b b c a c ab bc ca              
(*)
Do
abc
nên
+) Nếu
0 0 4 (*)ab bc ca P      
đúng.
+) Nếu
0ab bc ca  
thì đặt
0x ab bc ca   
.

     
2 2 2
2 2 2
4 2 2 2a b c ab bc ca a b b c a c          
.
 
     
22
2 2 2
4 3 4 5 3 0a b c ab bc ca a c x a c            
.
05
5
02
3
x
x
ac






  


(2)
Từ (1) và (2), ta có:
 

x
f x x x x f x
x



      





.
(0) 0; (2) 4; (5) 0f f f  

 
0;5
maxf(x) (2) 4 4fP    
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
2 2 2
2
2
1
2
0
5
ab bc ca
a
a b b c

Page 16
1. Cái khó nhất trong các bài toán dạng trên là ta cần tìm ra ẩn mới để đưa biểu
thức (hoặc hàm số) đã cho về hàm số mới và từ biến mới đó, ta cần tìm điều kiện
của biến để đưa ra miền khảo sát cho hàm mới (miền xác định).
2. Khi đề toán cho các giá trị của biến không âm (hoặc dương) thì thường ta sẽ
nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Chú ý khi áp dụng bất đẳng thức
Cauchy xem dấu “=” có xảy ra không.
Tuy nhiên, ta cũng có thể gặp những bài toán như ví dụ 5, chúng ta cần tìm cách
đưa các số hạng chưa rõ dấu về các số hạng dương, sau đó mới được áp dụng bất
đẳng thức Cauchy.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Chứng minh rằng nếu
sinx tanx x 1
2.3 3 3


.
Bài 2. Tìm max, min của hàm số
22
2x 2 4x 4
y 2015 cos cos
x 2x 2 x 2x 1

  
   
.
Bài 3. Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn
x y 1
. Tìm max, min của biểu
thức: