Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

phần A : mở đầu

I. lý do chọn đề tài :
Nhà toán học lỗi lạc RENE DESCARTES đã từng nói : Toán học là cánh cửa và là
chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác .
Trong chơng trình toán THPT , kiến thức về phần bất đẳng thức và giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất là một phần rất quan trọng. Tuy nhiên trong nhiều bài toán khi sử dụng
các phơng pháp : sử dụng các bất đẳng thức cổ điển, phơng pháp đánh giá, phơng pháp
quy nạp toán học, phơng pháp lợng giác,..đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, khi dạy
đến phần kiến thức tính đơn điệu của hàm số tôi nhận thấy áp dụng kiến thức này vào
sẽ giải quyết đợc một lớp các bài toán về bất đẳng thức hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức đại số và cho ta một lời giải ngắn gọn hơn.
Xuất phát từ thực tiễn công tác ôn thi Đại học kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các
đồng nghiệp nhóm chúng tôi xây dựng chuyên đề áp dụng tính đơn điệu của hàm số
để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
đại số .
Với phơng pháp này chúng tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong việc rèn luyện t duy
Toán học và là nguồn tài liệu không nhỏ giúp các em học sinh luyện tập nâng cao kiến
thức phục vụ cho kỳ thi Đại học.
II. Mục đích nghiên cứu:
- Trang bị cho học sinh về một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số mang lại hiệu quả rõ nét.
- Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả
năng t duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.
III. Đối tợng nghiên cứu:
- Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm
trong chơng trình toán phổ thông .


+) Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
x D : f(x) m

x 0 D : f(x 0 ) = m

f(x)
Kí hiệu m = min
D

f(x), min f(x) có thể không tồn tại.
+) Chú ý: max
D
D
I.2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a; b ] và chỉ có một số hữu hạn
f(x) và min f(x) .
điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãy tìm max
[ a; b ]
[ a; b ]
Cách giải.
-Tìm các điểm tới hạn x1, x2, , xn của f(x) trên đoạn [ a; b ] .
-Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-2-


Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

thiên ta suy ra đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Nếu trên khoảng (a; b) hàm số f(x) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu)
thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của
hàm số đã cho trên (a; b).
II.Các dạng bài tập: Các dạng đợc phân chia từ đơn giản đến phức tạp.
II.1 .Dạng 1 : Đối với một lớp các bất đẳng thức mt biến. Đạo hàm một lần sau đó sử
dụng bảng biến thiên ta có ngay kết quả.
Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = ln x trên đoạn 1;e3 .
x

(2 ln x)ln x
x2
Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
Lời giải : Ta có: y ' =

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-3-


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
x

1

lnx

Max
y = y(e 2 ) =
3
1;e



4
e2

khi x = e2 ,

9
Min
y = Min y(1);y(e 3 ) = M in 0; 3 = 0 khi x = 1.
3
1;e
e


Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003

{

}

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =
Lời giải : Ta có: y' =

(x

y

Vậy :

Max y = y(1) = 2
[ 1;2]

khi x = 1,

3
Min y = Min { y( 1);y(2)} = M in 0; = 0 khi x =-1.
[ 1;2]
5

Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2003
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = x + 4 x 2 trên đoạn [ 2;2 ] .

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
-4-


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

4 x2 x ,
4 x2 x
y' = 0
=0x= 2


[ 2;2]

2,

Min y = Min { y( 2);y(2)} = M in { 2; 2} = 2
[ 2;2]

khi x =-2.

Bài toán 4 : Đề thi Học sinh giỏi toán 12- năm 2009
5 4a 1 + a
5 4a + 2 1 + a + 6

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P =
trong đó a là tham số thực và -1 a
Lời giải : Xét hàm số P(a) =

5
.
4

5
5 4a 1 + a
trên -1; .
4
5 4a + 2 1 + a + 6

(


5 4a + 2 1 + a + 6

)

2

6 1 + a + 12 3 5 4a + 6

5 4a
2 1 + a < 0, a 1; 5

4ữ
5 4a + 2 1 + a + 6



5
Suy ra hàm số P(a) luôn nghịch biến trên -1;
4
Max P(a) = P(1) =
5
-1; 4



1
khi a = 1 ;
3

5

e/ y = (3 x) x 2 + 1 trên đoạn [ 0; 2 ]
II.2. Dạng 2 : Đối với một lớp các bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể quy về bất đẳng
thức một biến. Dựa vào điều kiện của bài toán ta rút biến này theo biến kia rồi thay vào
bất đẳng thức cần chứng minh hay biểu thức đại số cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất.
Trong phơng pháp này ta cần chú ý :
+) Rút biến nào theo biến nào để bài toán đợc thuận lợi.
+) Tìm điều kiện cho biến còn lại dựa vào điều kiện của giả thiết.
Bài toán 1 : Cho x, y là các số không âm thoả mãn x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

x
y
+
y +1 x +1

Lời giải :
Từ giả thiết ta suy ra : y = 1- x . Do x,y 0; x + y = 1 nên 0 x 1
Khi đó : A = f(x) =

x
1 x
+
2 x x +1

Khảo sát hàm số f(x) trên [ 0;1] , ta có :

f '(x) =

2



Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

1
2

0

x

_

f'(x)

0

1
+

f(x)

1 2
Từ đó ta có : M in A = f( ) = ;
MaxA = f(0) = f(1) = 1
2 3
Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2009
Cho x,y 0 và x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

4

Từ đó suy ra đợc :


2 3
2+ 3
x
=

x =


191
4
4
hoặc
khi
MinS =
16
y = 2 + 3
y = 2 3


4
4

MaxS =

25

Ta nhận thấy khi x=0, y=0, z=2 thì A=4
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2.
Bài toán 4: Cho x, y, z l ba s thc dng cú tng bng 3.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc
P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 xyz .
Lời giải :
Ta cú:
P = 3 ( x + y + z ) 2 2( xy + yz + zx ) 2 xyz

= 3[ 9 2( xy + yz + zx) ] 2 xyz

= 27 6 x( y + z ) 2 yz ( x + 3)
( y + z)2
27 6 x(3 x)
( x + 3)
2
1
= ( x3 + 15 x 2 27 x + 27)
2
Xột hm s f ( x) = x 3 + 15 x 2 27 x + 27 ,
x =1
f , ( x) = 3 x 2 + 30 x 27 = 0
x = 9
x
y



0
+

yz = x 2

1
2

2
2
2
2
Mt khỏc yz y + z = 1 x , suy ra x 2 1 1 x , do ú 6 x 6 (*)
2
2
2
2
3
3
Khi ú: P = x5 + ( y 2 + z 2 )( y3 + z 3 ) y 2 z 2 ( y + z)
2

1

= x + (1 x ) ( y + z )( y + z ) yz ( y + z ) + x 2 ữ x
2

2
5
2 1 2 1
5
2
2

6
6

6
6
6
6
, f
ì Do ú f ( x) 6 ì
Ta cú f
ữ= f
ữ=
ữ= f
ữ=
9
9
3
6
3
6 9
5 6
Suy ra P
ì
36
6
6
5 6
Khi x =
, y=z=
ì

)

Với mọi x, y ta luôn có : ( x + y ) 4xy ,x 2 + y 2 2xy, 2 x 2 + y 2 ( x + y ) .
2

2

Từ đó ta có hớng đặt ẩn phụ sao cho thuận lợi.
Bài toán 1 : Cho x, y l cỏc s thc dng tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca


1

2

2
biu thc: P = x + 2 ữ y + 2 ữ
y
x

Lời giải :
1
2
Ta cú P = 2 + ( xy ) +
(xy) 2
x, y > 0
1
Do
nờn 1 = x + y 2 xy 0 < xy .
4

)(

)

S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy

(
+ 12 ( x + y ) ( x

)(

)

(

)

Lời giải : Ta có : S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy = 16x 2 y 2 + 12 x 3 + y 3 + 34xy

= 16x 2 y 2

2

)

xy + y 2 + 34xy

2
= 16x 2 y 2 + 12 ( x + y ) ( x + y ) 3xy + 34xy



1

16

4

_

f'(t)

0

+

f(t)

1
191
M
inf(t)
=
f(
)
=
Từ đó suy ra : 1
16
16
0;
4

y = 2 + 3
y = 2 3


4
4

25
1
khi x = y =
2
2
Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2009
MaxS =

(

) (

)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : A = 3 x 4 + y 4 + x 2 y 2 2 x 2 + y 2 + 1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện : ( x + y ) + 4xy 2
3

Lời giải :
Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên : ( x + y ) 4xy
2

Suy ra: ( x + y ) + ( x + y ) ( x + y ) + 4xy 2

(do ( x + y ) + ( x + y ) + 2 = ( x + y ) + + > 0)
2 4

2

x + y 1
2

Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

( x + y)


2

2
Ta biến đổi A nh sau :

(

)

nên x 2 + y 2

(

1
2

)


(

)

2

(

)

2 x2 + y2 + 1

9 2
1
t 2t + 1 với t
4
2

9
f '(t) = t 2
2
Từ đó ta có bảng biến thiên sau :
t

4

1

9

9
thì A =
2
16

9
1
khi x = y =
16
2
Bài toán 4 : Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B năm 2008
Tóm lại, M in A =

Cho x, y là các số thực thoả mãn : x 2 + y 2 = 2 .

(

)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = 2 x 3 + y 3 3xy
Lời giải :
Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 12 -


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
2

(

)

Ta có nhận xét : ( x + y ) 2 x 2 + y 2 = 4 2 x + y 2
2

Đặt t = x + y 2 t 2

t2 2
t2 2
3
P = 2t 2
= t 3 t 2 + 6t + 3
ữ 3
2
2
2


3
Từ đó ta xét hàm số : f(t) = t 3 t 2 + 6t + 3 với 2 t 2
2
f '(t) = 3t 2 3t + 6
Bảng biến thiên :
1

-2

t

x =
2


1+
y
=


x 2 + y 2 = 2
2
13

khi

MaxP =


2
x + y = 1
1+
x =
2



1
y =
2



1 1 1 1
x 1 1
T gi thit ta cú: xy y 1 2 = ữ +
y y y
y 2 4 4

x
+1
y

x
2
x+ y
x 2y
y
P=

=

2
x
x 2 xy + 3 y 2 6( x + y )
x x
6 + 1ữ

+
3
yữ y
y



)

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 14 -


Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
3t + 7
8 5
1
1
1
t 0; :

,


f '(t) =
=
> 0 ( do 0 < t < 1)
2
2
2
2
t +1
t t +1

(

)

(

)

Do đó hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên (0;1).

ln a
ln b


ln 1 + 4a
a

(1+ 4 )

b

2 ab

a

(

1 + 4a

) ln ( 1 + 4 )

) (1+ 4 )
b

b

a

b

b

(do a,b > 0)



Vậy hàm số f(x) là hàm nghịch biến trên ( 0;+ )
Vì a b > 0 nên ta có : f(a) f(b) . Từ đó suy ra điều cần phải chứng minh.
Bài toán 4: ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B 2007 )
Cho x, y, z >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

x 1
y 1 z 1
P = x + ữ+ y + ữ+ z + ữ
2 zx 2 xy
2 yz
Lời giải :

x2 y2 z 2 x2 + y 2 + z 2
Ta có : P =
+ + +
2
2 2
xyz
áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx
và đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Từ đó, ta có : P

x 2 y 2 z 2 xy + yz + zx x 2 1 y 2 1 z 2 1
+ + +
= + ữ + + ữ+ + ữ
2
2 2
xyz
2 x 2 y 2 z

2
3
x
1 3 y2 1 3 z2 1 3
Vậy min f(t) = f ( 1) =
suy ra :
+ ;
+ ;
+
( 0;+ )
2
2 x 2 2 y 2 2 z 2
Cộng bất đẳng thức cùng vế ta đợc : P
Vậy MinP =

9
đẳng thức xảy ra khi x = y= z = 1.
2

9
khi x = y= z = 1.
2

Bài toán 5: Cho 3 s thc dng a, b, c tha món a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
a 5 2a 3 + a b 5 2b 3 + b c 5 2c 3 + c 2 3
Chng minh rng
+
+

b2 + c2

3
= a + a

) (

) (

)

Bt ng thc tr thnh a 3 + a + b3 + b + c 3 + c

2 3

3
3
2 3
Xột hm s f ( x ) = x + x x ( 0;1) . Ta cú: Max f ( x ) =
( 0;1)
9

(

f ( a) + f ( b) + f ( c)

)

2 3
3

Du = xy ra khi v ch khi a = b = c=

a 2 + 1 + b 2 + 1 + c2 + 1 10

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 18 -


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

II.5. Một số bài toán đặc sắc :
Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B 2011

(

)

Cho a, b là các số thực dơng thoả mãn 2 a 2 + b 2 + ab = ( a + b ) ( ab + 2 ) .

a3 b3 a 2 b2
P = 4 3 + 3 ữ 9 2 + 2 ữ
a b
a
b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải :

(


a
a b
Suy ra : 2 + ữ+ 1 2 2
+

b
a
b




b
ữ
aữ


Đặt : t =

a b
+ ,t2
b a

Khi đó ta có : 2t + 1 2 2 t + 2 4t 2 4t 15 0 ( 2t 5 ) ( 2t + 3 ) 0 t

5
2

a3 b3 a 2 b 2

Suy ra : Minf(t)
khi t = .
5

2
4
;+ ữ
2
2



Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 19 -


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng

a = 1

23
b = 2
Từ đó ta có : MinP =
khi
a = 2
4


Đặt b =
y


x
c =
y


y
x

+

1
1+

z
y

+

1
1+

x
y

abc = 1
1

a y
1 + b 1 + c 1 + bc

Do đó : P

bc
2
+
2bc + 3 1 + bc

Ta lại đặt t = bc , vì 1 bc =
Ta đợc : P

bc = 1
b = c


x
4 nên 1 t 2
y

t2
2
+
2t 2 + 3 1 + t

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 20 -


Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên [ 1;2 ]
Do đó: P f(t) f(2) =

34
33

34
khi t = bc = 2 và b = c tơng ứng với x = 4; y = 1; z = 2.
33
Bài toán 3 : Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn x + y + z 1 . Chứng minh rằng :
Vậy : min P =

x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 82
2
x
y
z

Lời giải :
Vì x, y, z là ba số dơng thoả mãn x + y + z 1 nên x,y,z (0;1) .
Xét hàm số f(t) = t 2 + 1 + 40 82 t, t (0;1).
t2
41
Ta có : f '(t) =



1
40 82
27 82

t+
, t (0;1).
2
t
41
41
Thay t lần lợt bởi x, y, z rồi cộng theo vế bất đẳng thức cùng chiều, suy ra :
Từ đó ta suy ra :

t2 +

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 21 -


Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
1
1
1
40 82
81 82
x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2
82

2
P = 32
ữ +
ữ x + y
y + 3 x + 3
3

3

S + 3S 2 P
S
x
y
2
2

+
8
ữ x + y = 8

2
y +3 x+3
3S + P + 9
2

3

3

3

1
> 0, S 2 P min = P (2) = 1 2
2

Du = xy ra chng hn khi x = y = 1.
Bài toán 5 : (USA, 2003) Cho x, y, z là ba số dơng. Chứng minh rằng :

( 2x + y + z ) + ( 2y + z + x ) + ( 2z + x + y ) 8
2
2
2
2x 2 + ( y + z )
2y 2 + ( z + x )
2z 2 + ( x + y )
2

2

2

Lời giải :
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử : x + y + z = 3 thì x + y + z = 3
Khi đó bất đẳng thức sẽ tơng đơng với :
x 2 + 6x + 9
y 2 + 6y + 9
z 2 + 6z + 9
+
+
8
3x 2 6x + 9 3y 2 6y + 9 3z 2 6z + 9

2

t = 1 ( 0;3 )
4 =0
t = 0 ( 0;3 )

Ta có bảng biến thiên :
t

1

0

f'(t)

+

3
_

0

f(t)

2
Từ bảng biến thiên ta suy ra : f(t) f(1) = 0 t + 6t + 9 4t + 4
t 2 2t + 3
Thay t lần lợt bởi x, y, z rồi cộng theo vế bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra :

x 2 + 6x + 9 y 2 + 6y + 9 z 2 + 6z + 9


+ 2.3

2

12[( x + y ) 2 xy ]

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 23 -


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng

Dơng Quang Hng Lê Mạnh Hùng
3 x y + 2.3

3 x+ y
2

2 3 x+ y .

t t = x + y 0 , xột f(t) = 2.( 3)3t 2 3t
f(t) = 2.3( 3)3t .ln 3 2 3 = 2 3( 3.( 3) 3t ln 3 1) > 0
f ng bin trờn [0; +) f(t) f(0) = 2
M 3 x y 30 = 1. Vy P 30 + 2 = 3, du = xy ra x = y = z = 0.
Vy min P = 3.
Bài toán 7 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D 2012
Cho cỏc s thc x, y tha món (x 4) 2 + (y 4)2 + 2xy 32. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc A = x3 + y3 + 3(xy 1)(x + y 2).

2

1+ 5
17 5 5
)=
4
2

1+ 5
17 5 5
xy ra khi t =
4
2

17 5 5
1+ 5
A f(t)
. Du bng xy ra khi x = y v x + y =
2
4

Chuyên đề : áp dụng tính đơn điệu của hàm số dể chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- 24 -


Trờng THCS & THPT Hai Bà Trng
1+ 5
17 5 5
Vy giỏi tr nh nht ca A =