MỤC LỤC
Phần I. PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………….Trang 2
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích của đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần II. PHẦN NỘI DUNG…………………………………………… .Trang 3
I .THỰC TRẠNG NHỮNG SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT…......Trang 3
Chương I: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI ỨNG
DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN……… …………………………………….Trang 3
Chương II: SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN
LOGARIT…………………………………………………………………………Trang 11
Chương III: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN……………………………………………….Trang 14
II. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG ..................................................................................Trang 15
Phần III. PHẦN KẾT LUẬN............................................................................Trang 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................Trang 17

1


Phần I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các môn học, toán học giữ một vai trò quan trọng, là chìa khóa cho
mọi môn học khác. Toán học giữ vai trò chủ chốt trong mọi khoa học công nghệ,
kinh tế, thông tin và nhiều lĩnh vực khác của xã hội. Giải toán giúp cho học sinh
nhiều trong công việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận,
phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp cho học sinh rèn luyện
trí thông minh sáng tạo. Nó còn giúp cho học sinh cần cù nhẫn nại, tự lực cánh
sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, chuộng chân lý.
Vì tầm quan trọng của toán học đối với mỗi học sinh nên nếu học sinh suy

DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN
1.1. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =

x

3

x+2

trên đoạn [-1 ; 0]

2 x 2 ( x + 3)
( x + 2) 2
x = 0
y' = 0 ⇔ 
 x = −3

Học sinh giải như sau: y ' =

Học sinh tính: y(-3) = 27
y(0) = 0
y(-1)=-1
⇒ maxy = y (−3) = 27; miny = y (−1) = −1
[ −1;0]

[ −1;0]

Sai lầm: Học sinh không loại nghiệm x=-3 vì x = −3 ∉ [ −1;0]
Lời giải đúng:

2 x −3 2 x−6
lim f ( x) = 0
f ′( x) =

x →+∞

Bảng biến thiên:
6

x
f’(x
)

+∞

-

f(x)

3
0

⇒ max f ( x) = 3; min f ( x) = 0
[ 6;+∞ )

[ 6; +∞ )

f ( x) , thì phải ∃x0 ∈ K sao cho f ( x0 ) = m
Sai lầm: Học sinh quên khái niệm min
K


+

1

0

-

2

+∞

-1/3

1
max f ( x ) = − ; min f ( x ) = −1
[-2;2]
3 [-2;2]

Sai lầm: Học sinh đã nhầm lẫn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với bài toán tìm
cực đại, cực tiểu, học sinh quên tính y(-2), y(2) để so sánh.
Lời giải đúng:
53
11
y (−2) = ; y (2) = −
3
3
53
11

2

-∞

g’(t
)

+
1
2

g(t)

+∞

+
+∞

-∞

1
2

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho rằng giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
g(t), ∀t ∈ ¡ nên sau khi đổi biến đã không tìm miền xác định của g(t).
Lời giải đúng:
t −1

f ′( x) =

π



f(x) = tanx – x với x ∈  0; ÷
 2

1
 π
− 1 = tan 2 x > 0; ∀x ∈  0; ÷ => hàm số đồng biến trên
2
cos x
 2

 π
 0; ÷
 2

 π
Từ x > 0 ⇒ f ( x) > f (0) ⇔ tan x − x > tan 0 − 0 ⇔ tan x > x; ∀x ∈  0; ÷


2

π







Học sinh thường mắc sai lầm là vận dụng sai tính chất của hàm đồng biến và
nghịch biến.
1
x
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ∀x > −1 thì xe > −
e
Một số học sinh giải như sau:
Xét f ( x) = x; g ( x) = e x là các hàm số đồng biến trên ¡ ⇒ h( x) = xe x là tích của
2 hàm số đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡
Từ x > −1 ⇒ f ( x) > f (−1) ⇔ xe x > −

1
e

Phân tích: sai lầm của học sinh là nhầm lẫn tích của hai hàm số đồng biến là một
hàm số đồng biến điều đó nó chỉ đúng khi 2 hàm số đó cùng dương.
Lời giải đúng:
Xét f ( x) = xe x ; f ′( x) = e x ( x + 1) ≥ 0 ∀x ≥ −1
Dấu “=” xảy ra tại x = -1 ⇒ Hàm số đồng biến trên [ −1; +∞ )
1
e
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Nếu x ≥ y > 1 thì x + y ≥ y + x
x
Từ x > −1 ⇒ f ( x) > f (−1) ⇔ xe > −

Một số học sinh giải như sau:
6

y’ < 0, ∀x ∈ (a; b) ⇒ Hàm số nghịch biến trên (a;b)
Điều ngược lại không đúng trong một số trường hợp.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 – x + 2 nghịch biến trên trên ¡ .
Một số học sinh giải như sau:
Tập xác định: D = ¡
y′ = −3 x + 2mx − 1

Hàm số nghịch biến trên ¡

 −3 < 0
a < 0
⇔ y′ < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
⇔ 2
⇔− 3 0

Hàm số nghịch biến trên ¡ ⇔ y ′ ≤ 0 , ∀x ∈ ¡ ⇔  ′ ⇔ − 3 ≤ m ≤ 3
∆ ≤ 0
• Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số học sinh thường quên
đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.
Quy tắc:
 f ′( x0 ) = 0

⇔ m∈∅
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇔  ′′
 y (0) < 0
12m.0 < 0
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích: Giả sử khi m=-1, ta có:
y = −x4 ,
y ′ = −4 x 3 ;
y′ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên
x -∞
y’
y

0

+

0

+∞

-

Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu?
 f ′( x0 ) = 0
⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số.
Ta có 

>
0



Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ 

Vậy không tồn tại m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích: Với m=0, ta có:
y = x4 + 1

y′ = 4 x 3 = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+∞
y

0

-

0

+∞

+

+∞


t

Xét hàm số f(t) = t- ( t ≠ 0)
f’(t)= 1+

1
>0 ⇒ f(t) là hàm số tăng ∀ t ≠ 0
t2

9


(1) ⇔ f(x)=f(y) ⇔ x=y thế x=y vào (2)…
Nguyên nhân sai lầm:
Vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0 nên không dùng tính đơn điệu.
x ≠ 0
Lời giải đúng: Điều kiện 
y ≠ 0
 x = y
1


3
( x − y )(1 + ) = 0
2 y = x + 1

xy
⇔
Hệ phương trình ⇔ 
xy = −1


x −1
+ log 3 x − 3
2
x −1
⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 6) = log 3 (
x −3)
2
x −1
x −1
x2 − 5x + 6 =
x − 3 ⇔ ( x − 2)( x − 3) =
x−3
2
2
x −1
⇔ x−2 =
⇔ x = 3 (loại)
2

(1) ⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 6) = log 3

Vây phương trình vô nghiệm.
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Điều kiện không đúng
Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng

Α2n > 0 ⇔ Α ≠ 0

Α >0⇔Α≠0

3
log 1 ( x + 2) 2 − 3 = log 1 (4 − x) 3 + log 1 ( x + 6) 3 (1)
2
4
4
4

Một số học sinh có lời giải như sau:
( x + 2) 2 > 0

 x ≠ −2
3
Điều kiện: (4 − x) > 0 ⇔ 
 −6 < x < 4
( x + 6)3 > 0


(1) ⇔ log 1 ( x + 2)3 − 3 = log 1 (4 − x) 3 + log 1 ( x + 6) 3
4

4

4

⇔ ( x + 2) 4 = (4 − 3) ( x + 6) ⇔ ( x + 2)4 = (4 − x)( x + 6)
3

3

3

  x = 1 − 33
  x = 1 + 33


Vậy nghiệm của pt là x=2; x=1- 33
2
2
Ví dụ 3: log 2 ( x + 2) − 3log 2 ( x + 2) − 1 = 0 (1)
Một số học sinh giải như sau:
Điều kiện: x + 2 > 0 ⇔ x > −2
(1) ⇔ 2 log 22 ( x + 2) − 3log 2 ( x + 2) − 1 = 0
Đặt t = log 2 ( x + 2)
Phương trình trở thành : 2t 2 − 3t − 1 = 0
n m
n
n
Phân tích: log a b = m log a b
Lời giải đúng:
Điều kiện: x> -2

12


x = 0
log 2 ( x + 2) = 1
(1) ⇔ 4 log ( x + 2) − 3log 2 ( x + 2) − 1 = 0 ⇔ 
⇔
x = 1 − 2
log 2 ( x + 2) = − 1
4

(1) ⇔  2
 x + 2mx = x − 1(*)
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (*) có nghiệm duy nhất x > 1
− x2 + x − 1
(*) ⇔ 2m =
x
− x2 + x −1
Đặt f ( x) =
x

− x2 + 1
f ′( x ) =
; f ′( x) = 0 ⇔ x = ±1
x2
Bảng biến thiên:
x
f’(x
)
f(x)

-∞

-1

Yêu cầu bài toán ⇔ 2m > −1 ⇔ m > −

0

1


(Với C = C1 − C2 )

−x

−x

−x

−x

−x

dx − ∫ e − x dx = (−(1 + x)e − x + C1 ) − (−e − x + C2 ) = − xe x + C

3

dx
2
− 3 (x + 2)
Một số học sinh giải như sau:

Ví dụ 2: Tính I= ∫
I= −

1 3
1
6
= − −1 = −
x + 2 −3
5

Một số học sinh giải như sau:

14


0

I=

0
1 − cos 2 xdx = ∫ sin xdx = − cos x −π = −1
π
−
2
2

0

∫π

cos 2 x − cos 2 xdx =

0

∫

−π
2

−

Một số học sinh giải như sau:
4

4

( x − 3) 2 dx = ∫0 ( x − 3) dx = (

I =∫
0

Nguyên nhân sai lầm:
Lời giải đúng:

∫

( x − 3) 2 = x − 3 với x ∈ [0;4] là không đúng.

4

4

I=

4
x2
− 3x) = -4
0
2

x − 6 x + 9dx =

, ∀n ∈ ¥ *

b

2n

( f ( x)) = ∫ f ( x ) dx trước tiên ta phải xét dấu của f(x) trên [a;b] sau đó dùng
a

tính chất của tích phân tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
II. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Đề tài này có thể làm tài liệu giảng dạy của giáo viên cũng như làm bài tập tham
khảo cho học sinh khối 12.

15


Phần III. PHẦN KẾT LUẬN
I. Ý nghĩa của đề tài đối với việc giảng dạy môn toán giải tích 12
- Đề tài đã làm sáng tỏ nhiều sai lầm của học sinh khi giải toán giải tích lớp 12.
- Đề tài đã phân tích được nguyên nhân của những sai lầm đó và tìm cách khắc
phục cho học sinh.
II. Bài học kinh nghiệm, và hướng phát triển của đề tài
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải toán tích lớp 12
có ý nghĩa rất quan trọng trong quá trình dạy học, hi vọng khi áp dụng sáng kiến
này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được việc nắm không chắc kiến thức toán học thì
gặp phải những sai lầm không đáng có trong khi giải toán. Từ đó học sinh rút ra
những kinh nghiệm trong học tập đặc biệt là môn toán và có những biện pháp khắc
phục hữu hiệu nhằm phát huy tính tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ, tích cực chủ
động củng cố trau dồi kiến thức để có kết quả học tập cao hơn.