THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Dạng 1 : Tính thể thích bằng cách áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
A.
-

Lý thuyết
Thể tích của hình lăng trụ V= B.H với B là diện tích đáy và h là chiều cao
Thể tích hình chóp V= 1/3. B.h với B là diện tích đáy và h là chiều cao
Thể tích của hình hộp chữ nhật V = a.b.c với a , b , c là ba kích thước
Thể tích của hình lập phương V = a3 với a là độ dài cạnh
Thông thường trong các đề thi đại học chỉ tính thể tích của hình lăng trụ và hình chóp .
Để tính được thể tích của chúng ta phải xác định được đường cao và thể tích đáy

Chú ý :
-

Xác định đường cao của hình chóp .
Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao.
Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh vuông
góc với giao tuyến của đáy với mặt bên đó ( Nói đơn giản là đường cao của mặt bên ) .
Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên
chung của 2 mặt đó .
Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc bằng
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy .
Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm
đường tròn nội tiếp đáy .
Ngoài ra trong một số trường hợp khác chúng ta có thể khai thác các tính chất khác của
đa diện để xác định đường cao.
Để tính được độ dài đường cao thông thường chúng ta gắn vào các tam giác vuông và chú
ý.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ΔABC vuông ở A ta có :


)(

) với

p=
Đặc biệt :


ΔABC vuông tại A : S =



ΔABC đều cạnh a : S =

-

Công thức tính diện tích tứ giác ABCD :
Diện tích hình vuông : S =
Diện tích hình chữ nhật : S = AB.AC

-

Diện tích hình thoi = AC.BD

-

Diện tích hình thang : S = (AB+CD).h

-



=

ΔIDC vuông nên
Từ C kẻ CH ⏊ AB
 ΔCHB là tam giác vuông
CH = 2a , CD = a => HB = a
=
 ΔBIC là tam giác vuông cân vì
Kẻ IK ⏊ CB . Gọi J là trung điểm của IC => IJ =


=> BJ =

√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


√

Ta có : BJ.IC = IK.BC => IK =

√
√


(SIB) ⏊ (ABCD) và (SIC) ⏊ (ABCD) nên ta có SI ⏊ (ABCD)
Vậy SI là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Ta tính SI :
Có diện tích hình thang ABCD là : dt(ABCD) = 3 .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


,

Δ

=>

Δ

Δ

BC = √(

)

√
) thì ta có BC ⏊ (SIK) => ̂ =

Kẻ IK ⏊ BC ( K
SI = IK.tan ̂


, BG = , BM =

.

Đặt AB = 2x suy ra AC = x

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


Gọi M là trung điểm của AC
 MC =

√

Vậy



√

Tính thể tích khối tứ diện A’ABC là V =

√

√

.

Vậy d(A,(IBC)) =

√
√
√

√

Cách 2 :

Có BC = √
Kẻ IH ⏊ AC ( H

AC ) => IH ⏊ (ABC)

Kẻ HE ⏊ BC ( E

BC ) => IE ⏊ BC ( Định lý 3 đường vuông góc )

Ta có

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


 HE = AB =
Do đó

Nên

√

, A’H = 2AH = a√ và AA’ =

.

√ √

Vậy thể tích khối lăng trụ :
V=

√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


Kẻ đường trung trực của GA tại trung điểm M của GA trong mặt phẳng (A’AH) cắt GI tại J thì
GJ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC .
Ta có : GM.GA = GJ.GI
 R = GJ =
Thí dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH =

. Gọi

CM là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối


Ta có

)

√

√

√

Nên

Thí dụ 6 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a , BC = 2a ,
̂

và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc
. Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B , CC’ theo a .
Giải :

Trong (ABC) kẻ CH ⏊ AB ( H
góc của A’C lên (ABB’A’) .
Do đó : [

(̂

)]

AB ) , suy ra CH ⏊ (ABB’A’) nên A’H là hình chiếu vuông


√

Xét tam giác vuông AA’C ta có :
AA’ = √
Thể tích lăng trụ là : V =

√

Δ

√

Do CC’ // AA’ => CC’ // (ABB’A’) .
Suy ra : d(A’B , CC’) = d(CC’ , (ABB’A’)) = d(C,(ABB’A’)) = CH =

√

Thí dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ̂
,
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA ,
CD theo a .
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


(̂)

̂

Xét tam giác vuông SOI ta được :
SO = OI.tan
Suy ra : V =
Gọi J = OI

=

√

√

√

√

CD và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


Suy ra : IJ = 2OI =

√


Hay SH là đường cao của hình chóp .
Trong tam giác vuông ACB tại C ta có :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


BC = √

√

Nên SH = √
Lại có

√
√

( Do ABCD là nửa lục giác đều )
√

Vậy thể tích khối chóp là

√

√

( đvtt )

Thí dụ 9 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt

Vậy :

√

)

(đvtt)

Thí dụ 10 : Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy , các cạnh
SB = SC = 1 và các góc ̂

̂

̂

. Tính thể tích của hình chóp S.ABC .

Giải :

Gọi H là trung điểm BC => SH ⏊ BC
(SBC) ⏊ (ABC) => SH ⏊ (ABC)
ΔSBC đều cạnh 1 => SH =

√

ΔSAB = ΔSAC => AB = AC => AH ⏊ BC . Đặt SA = x , x > 0 .

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SAC ta có

ΔAHC vuông =>


⏊(
⏊

)
} => AC ⏊ SJ

Suy ra góc ̂
SH = HJ.tan

và AB =
=

√

√

√

√

Thể tích hình chóp là
√

(√ )

√

.


.

Giải :

Gọi H là giao điểm của AC và BD .
Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng SD .
Do ABCD là nửa lục giác đều nên AB vuông góc với BD , kết hợp với AB vuông góc với SH
suy ra AB ⏊ (SBD) => AB ⏊ BK => BK là đoạn vuông góc chung của AB và SD
Do BC // AD suy ra AC = BD = √
Mặt khác ta có :
2

√

√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17


 2SH = √

=> 4

+



̂
(
))

Từ tam giác vuông ABC với BC = 2a
̂

=> AC = 2a√ .

AB = 4a , CM =

=> CH = a



>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18


√

Vậy thể tích lăng trụ là
Kẻ HK ⏊ AC => đường xiên

⏊

=> ((



=> A’K = 2A’H

Ta có :
 A’K =

√

, AA’ = √

 OA’ = a√ , OK =

, AC’ = A’C = 2a√

√

√
Δ

Δ

Dựng đường cao BI của tam giác ABC thì BI ⏊ (CA’K)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

19


Nên BI là đường cao của khối chóp BA’CK và BI =



(đvtt)

Dựng AK ⏊ BC tại K và GI ⏊ BC tại I => GI // AK


=> CI =

=

√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

20


Dựng GH ⏊ A’I tại H (1)
⏊
⏊

Do :

} => BC ⏊ GH (2) .

Từ (1) và (2) => GH ⏊ (A’BC)
Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’ . Từ đó d[
(


. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt

phẳng (ABC) .
Giải :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC)
Ta có :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

21


+ Ta có

⏊(
)
}
( )
⏊

⏊

Tương tự HC ⏊ BC
Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông
+ Ta có : AH // BC
 d( (

))

Thể tích khối chóp S.ABC được tính bởi
V=

√

√

+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc ̂

√

√

(đvtt)

( do tam giác SHB vuông cân )

Thí dụ 17 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác đều , hình
chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ΔA’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với
(A’B’C’) góc
. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a .
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

22


Gọi M , M’ lần lượt là trung điểm BC , B’C’ => A’, G , M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình
hành .

Δ

√

.

.
√

√

)
√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

23


Thí dụ 18 : Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a , góc giữa
AD và mặt phẳng (ABC) bằng
. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và góc giữa hai mặt
phẳng (ABD) và (ABC) .
Giải :

Gọi H là trung điểm của BC .
Do ΔABC và ΔBCD đều cạnh a nên :
AH = DH =

Vậy góc giữa 2 mp(ABD) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng DE và HE và bằng góc ̂
Gọi CF là đường cao xuất phát từ C của tam giác đều ABC cạnh a nên có :
CF =

√

, HE = CF =

√

nên tan ̂ =

=> ̂

Vậy góc giữa hai mp(DAB) và (ABC) là góc ̂
Thí dụ 19 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích V . Các mặt phẳng (ABC’) , (AB’C) ,
(A’BC) cắt nhau tại O . Tính thể tích khối tứ diện OABC theo V .
Giải :

Gọi I = AC’

A’C , J = A’B

(
(

)
)

)