S GIO DC & O TO THA THIấN HU
trường trung học phổ thông vinh xuâ
&

sáng kiến kinh nghiệm

B mụn: Toỏn hc
đề tài :

ứng dụng của phương pháp xác
định hình chiếu một điểm lên mặt
phẳng để giảI các bài toán hình
học không gian
trong các đề thi đại học

H v tờn: lê-viết-hòa
T: Toỏn
n v: Trng THPT Vinh Xuõn
Vinh Xuõn, thỏng 03 nm 2013


MỤC LỤC
Trang
Phần 1 -MỞ ĐẦU………………………………........……......…….....……2
1.1 - Lý do chọn đề tài
1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài
1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài
1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần 2 -NỘI DUNG …………………………………….............…......…....4
2.1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT…………………………………….........……4

1.2 - Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”
này sẽ giúp học sinh hệ thống được cách xác định hình chiếu của một điểm
lên mặt phẳng; rèn luyện cho học sinh hệ thống kỹ năng giải quyết các bài
toán tính thể tích của khối đa diện, tính khoảng cách và góc thường gặp trong
chương trình Toán THPT thông qua việc xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng.
1.3 - Phạm vi nghiên cứu đề tài
1.3.1. Khách thể: Chương trình môn Toán THPT.
1.3.2. Đối tượng: Các bài toán về “Hình học không gian trong các đề thi đại
học-cao đẳng”
1.4 - Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học”
cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống bài tập về “Tính
Trang 3


thể tích của khối đa diện, khoảng cách và góc” từ các bài toán đã được ra
trong các đề thi Đại học-Cao đẳng.
1.5 - Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý
thuyết.

Trang 4


Phần 2 -


Trang 5


M∉d) ta xác định hình chiếu I của điểm M trên đường thẳng d và xác định
hình chiếu H của M trên mp(β). Khi đó

·
=ϕ
( (·α ) , ( β ) ) = MIH

2.2 - BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA
MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG
2. 2.1.Ba bài toán cơ bản về xác định hình chiếu của một điểm lên mặt
phẳng
a. Bài toán 1: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã
biết một đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) đó.
b. Bài toán 2: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã
biết điểm S thuộc mặt phẳng (Q) mà (Q)⊥(P).
c. Bài toán 3: Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P) khi đã
biết hai mặt phẳng (Q) và (R) cắt nhau, cùng vuông góc với (P).
2. 2.2.Các bước xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (P)
Bước 1. Xác định đường thẳng ∆⊥(P);
+ Ở bài toán 1 thì đường thẳng ∆ đã có sẵn;

+ Ở bài toán 2 thì đường thẳng ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(Q) qua S và ∆ vuông góc với giao tuyến m của hai
mặt phẳng (P) và (Q);
m

+ Ở bài toán 3 thì đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q)

= 2+
(1)
2
AH
AI
AD 2

+ Xét tam giác ABC có BC2= AC2+ AB2 nên tam giác ABC vuông tại A có AI
là đường cao. Do đó, ta có:
Từ (1) và (2), ta có:

1
1
1
=
+
(2)
2
2
AI
AB
AC 2

1
1
1
1
1
1 1 1
=

Giải:
+ Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó A’H⊥(ABC).
Theo giả thiết, ta có tam giác ABC vuông tại A nên
1
BC=2a và AH = BC = a .
2
Xét tam giác AHA’ vuông tại H nên A ' H = a 3 .
Do đó VA '. ABC

1
a3
= S ABC . A ' H = ( ®vtt )
3
2

+ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng A’A và B’C’.
Xét tam giác A’B’H vuông tại A’ nên B’H=2a, do đó tam giác BB’H cân tại
B’.
· ' BH (vì A’A//BB’). Suy ra cos ϕ = 1 •
Từ đó, ta có ϕ = B
4
Nhận xét: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải.
2. 3.2.Hình (khối) chóp, lăng trụ có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt
bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM
vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối A)
Giải:
+ Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh AD. Khi đó

Ví dụ 2:

1
1  1 a a  SH a 3 3
= SCNP .MK = . . . ÷.
=
( ®vtt ) •
3
3 2 2 2 2
96

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a,
SB = a 3 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung
điểm của AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và
tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2008-Khối B)

Giải:
+ Do ABCD là hình vuông nên BD⊥AC⇒BD⊥MN.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó
SH⊥(ABCD).
Xét tam giác SAB có AB 2 = SA2 + SB 2 ⇒tam giác
SAB vuông tại S; có SH là đường cao của tam giác
SAB nên

1
1
1
= 2 + 2 ⇒ SH = a 3 .
2

) (

)

· , DN = SM
· , ME .
và DN. Khi đó ϕ = SM
Xét tam giác SAE vuông tại A, nên SE = SA2 + AE 2 =

a 5
(1).
2

Xét tam giác MAE vuông tại A, nên ME = MA2 + AE 2 =

a 5
(2).
2

a
2
·
Từ (1) và (2), suy ra tam giác SME cân tại E nên ϕ = SME
⇒ cos ϕ =
a 5
2
Vậy cos ϕ =

5
•

Xét hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCD’A’) có BC⊥(ABB’A’)
Trang 10


⇒(ABB’A’)⊥(BCD’A’).
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên BA’=(ABB’A’)∩(BCD’A’). Suy ra
AH⊥(BCD’A’) (BCD’).
Do đó, ta có: d( A,( BCD ') ) = d( A,( BCD ' A ') ) = AH .
Xét tam giác ABA’ vuông tại A có AH là đường cao nên
1
1
1
a 6
=
+
2
2
2 ⇒ AH =
AH
AB
AA '
6
a 6
Vậy d( A,( BCD ') ) =
( ®v®d ) •
6
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng
a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính theo a diện
tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2002-Khối A)

2
Trang 11


Xét tam giác AIE vuông tại I nên AI = AE 2 − IE 2 =
Vậy S AMN

a 10
.
4

1
1  a 10  a a 2 10
= AI .MN = .
( ®vdt ) •
÷. =
2
2 4  2
16

2. 3.3.Hình (khối) chóp, lăng trụ khi có hai mặt cắt nhau cùng vuông góc
với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D; AB=AD= 2a , CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.
(Đề thi Đại học năm 2009-Khối A)
Giải:
+ Ta có (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy

Xét tam giác IBC, ta có S IBC = BC.IK ⇒ IK = IBC =
.
2
BC
5
·
=
Xét tam giác SIK vuông tại I, ta có: tan SIK

SI
3a 15
⇒ SI = IK tan 600 =
IK
5

1
3a 3 15
Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là V = S ABCD .SI =
( ®vtt ) •
3
5
2. 3.4.Một số bài toán khác về hình (khối) đa diện liên quan đến hình
Trang 12


chiếu
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2a, AB=a. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông
góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo
a.

4

Xét tam giác DHC vuông tại H nên HC = DC 2 − DH 2 =
SH = SC − HC =
Vậy VS . ABH

a
⇒
4

7a
4

1
1 1
7 a 3 11
= S ABH .SH = . . AB.DH .SH =
( ®vtt ) •
3
3 2
96

Nhận xét: Đây là bài toán về hình chóp đều nên nó có hình chiếu của đỉnh lên
mặt đáy trùng với tâm của đáy.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB=a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt
Trang 13


phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai

0

1

Xét tam giác ABD có OE là đường trung bình nên
OE =

AB a
= .
2
2

Xét

tam

(

giác

A1OE

vuông

tại

O

nên


CB CD 2

a 3
2

a 3
Vậy d( B ;( A BD ) ) = CH =
•
1
1
2
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với
AB=AC=3a,BC=2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với
Trang 14


mặt đáy (ABC) một góc 600. Kẻ đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA⊥BC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
(Đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2001)
Giải:
a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mp(ABC)
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S trên các cạnh AB, BC, CA. Từ đó, suy ra:
HI⊥AB, HJ⊥BC, HK⊥CA; góc của các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy

· , SJH
·
·
·
·

AB 2 − BJ 2 = 2a 2

1
BC. AJ = 2a 2 2
2

Chu vi của tam giác ABC là 2p=AB+BC+CA=8a⇒p=4a.
Ta có S∆ABC = p.HJ ⇒ HJ =

S∆ABC a 2
=
p
2

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có HS = JH tan 600 ⇒ HS =
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là VS . ABC

a 6
.
2

1
2a 3 3
= S∆ABC .HS =
( ®vtt ) •
3
3
Trang 15



5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a;
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC, AH =

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là
4

trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
(Đề thi Đại học năm 2010-Khối D)
6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và

·
mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC
= 600 . Hình
chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
(Đề thi Đại học, Cao đẳng năm 2007-Khối B)
Trang 17


Phần 3 -

KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

1. Đề xuất-Kiến nghị.
Đề tài “Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên
mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại
học” đã đề cập đến ứng dụng của ba bài toán cơ bản về vấn đề xác định
hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng để tính thể tích của khối đa diện,

3. www.moet.edu.vn

Trang 19


PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại: ……………………………………………………………………
Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………