SỐ PHỨC
I. GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC
I.1. CÁC KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a, b ∈ ¡ , i 2 = −1 được gọi là một số phức
Đối với số phức z = a + bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z .
Tập hợp các số phức kí hiệu là £ .
Chú ý:
 Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i
 Như vậy ta có ¡ ⊂ £ .
 Số phức bi với b ∈ ¡ được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)
 Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.
2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng
a = c
b = d

bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ 

3. Số phức đối và số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i 2 = −1
 Số phức đối của z kí hiệu là − z và − z = −a − bi .
 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z = a − bi .
4. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M (a; b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là
điểm biểu diễn số phức z = a + bi .
5. Môđun của số phức
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi M (a; b) trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài
uuuu
r
của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | z | .

, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp
a + bi

c + di (c + di )(a − bi ) ac + bd ad − bc
=
=
+
i.
a + bi (a + bi )(a − bi ) a 2 + b 2 a 2 + b 2

I.1.3. TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i 2 = −1
 Tính chất 1: Số phức z là số thực ⇔ z = z
 Tính chất 2: Số phức z là số ảo ⇔ z = − z
 Cho hai số phức z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i; a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ta có:
 Tính chất 3: z1 + z2 = z1 + z2
 Tính chất 4: z1.z2 = z1.z2
 z1  z1
÷ = ; z2 ≠ 0
 z2  z2
 Tính chất 6: | z1.z2 |=| z1 | . | z2 |
z
|z |
 Tính chất 7: 1 = 1 ; z2 ≠ 0
z 2 | z2 |
 Tính chất 8: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |

 Tính chất 5: 

I.1.4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC

2. Chú ý
 Phương trình bậc hai trên tập hợp số phức với hệ số thực luôn có 2 nghiệm
là 2 số phức liên hợp.


 Khi b là số chẵn ta có thể tính ∆ ' và công thức nghiệm tương tự như trong
tập hợp số thực.
 Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 (a ≠ 0) a, b, c là các
−b

 z1 + z2 = a
số thực hoăc số phức. Khi đó ta có: 
 z .z = c
 1 2 a

II. GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ
II.1. CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán trên tập hợp số phức
II.1.1.Dạng 1: Thực hiện các phép tính trên tập hợp số phức. Xác định phần
thực, phần ảo và tính môđun của một số phức
A. Phương pháp
 Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các
biểu thức.
 Để xác định phần thực, phần ảo và môđun của số phức z thì ta phải sử dụng
các khái niệm liên quan đến số phức và các phép toán trên tập hợp số phức
để biến đổi số phức z = a + bi (a; b ∈ R ) . Khi đó: z có phần thực bằng a; phần
ảo bằng b; z = a 2 + b 2
 Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng
nhớ như trong số thực.
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Cho số phức z =

4
4
2
2
2


2

3

3

2

2
3
 3 1   3
 3 1 
31  1 
− i÷ = 
c) z = 
÷ − 3
÷  i ÷+ 3  i ÷ −  i ÷ = −i
2 2  2 
 2 2   2 
 2  2 
3 + 3 1+ 3
+
i


( 3 + 2i ) ( 4 + 3i ) − ( 1 + 2i ) 

Lời giải:
a) A =

5 + 4i

( 4 + 3i ) ( 1 + i ) + ( 1 − i ) ( 4 − 3i )
( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 4 + 3i ) ( 4 − 3i )

=

1 + 7i 1 − 7i 27 161
+
=
+
i
2
25
50 50

Ngoài cách áp dụng quy tắc nhân chia số phức như cách làm trên, ta có thể tính
bằng cách quy đồng mẫu số và thực hiện nhân chia như trong số thực.

( 4 + 3i ) + ( 1 − i )
A=
( 4 + 3i ) ( 1 − i )
2


trung bình. Nhưng thực tế, trong quá trình giảng dạy chúng tôi thấy
rằng các em biết cách làm nhưng tính toán thường hay sai, nhất là đối
với học sinh có kĩ năng tính toán kém và không cẩn thận. Vì vậy khi
dạy phần này chúng tôi cho nhiều bài tập và hỏi các câu hỏi khác
nhau để rèn cho học sinh kĩ năng nhận dạng bài toán, kĩ năng tính
toán và trình bày bài cho khoa học.
 Sau khi cho học sinh làm xong bài, chúng tôi thay đổi cách hỏi như
sau: Tìm phần thực, phần ảo của số phức và tính mô đun của số phức
để khắc sâu cho học sinh các khái niệm: phần thực, phần ảo, môđun
của số phức.
 Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng tôi cho học sinh làm bài tập:
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết:
a) z =

(

2 +i

) (1− i 2 )
2

b) ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + ( 1 + 2i ) z
2

c) z = ( 1 + i ) , biết n là số tự nhiên thỏa mãn phương trình:
n


log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3
11

(

và có môđun: z = 52 + − 2

)

2

=3 3

b) ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + ( 1 + 2i ) z
2

⇔z=

8+i
( 8 + i ) ( 1 − 2i ) = 10 − 15i = 2 − 3i
=
1 + 2i ( 1 + 2i ) ( 1 − 2i )
5

2
Vậy z có phần thực bằng 2; phần ảo bằng −3 ; z = 22 + ( −3) = 13

c) Giải phương trình log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3 tìm được n = 7 (thỏa mãn điều
kiện)
7
Khi đó z = ( 1 + i ) = 8 − 8i
Vậy z có phần thực bằng 8; phần ảo bằng −8 ; z = 82 + (−8) 2 = 8 2
d) Ta có:


(

3+i

−1 − i 3

)

)

10

5

10

Lời giải:
a) A = i109 + i 43 + i 60 − i 54 = i 4.27 +1 + i 4.10+3 + i 4.15 − i 4.13+ 2 = i − i + 1 + 1 = 2
Để làm bài toán trên, giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tính lũy thừa của i. Ta
có: i 2 = −1; i 3 = −i; i 4 = 1; i 5 = i 4i = i; i 6 = i 4i 2 = −1
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: Với mọi số tự nhiên n ta có:


i 4n = 1
i 4 n +1 = i
i 4 n + 2 = −1
i 4 n +3 = −i
n
Như vậy: i ∈ { −1;1; i; −i} , ∀n ∈ N *

11

11

Để tính biểu thức ( 1 + i ) giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính một cách
thuận tiện nhất.Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi hướng dẫn học sinh làm theo
một trong hai cách sau:
 Cách 1: Đối với học sinh học ban cơ bản
11

(

Phân tích ( 1 + i ) = ( 1 + i )
11

)

2 5

( 1 + i ) = ( 2i ) ( 1 + i ) = 32i 5 + 32i 6 = −32 + 32i
5

 Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao
1 
π
π
 1

+
i ÷ = 2  cos + i.sin ÷


(

10

(

= (1− i)

)

2 5

= ( −2i ) = −32i 4. .i = −32i
5

) = ( 3 + i) ( 3 + i)
= ( 3 3 + 9i + 3 3i + i ) ( 3 + 2 3i + i )
= 8i ( 2 + 2i 3 ) = −16 3 + 16i
( −1 − i 3 ) = ( 1 + i 3 ) = ( ( 1 + i 3 ) ) ( 1 + i 3 ) = ( −8) ( 1 + i 3 )
3+i

5

3

2

2


7π 

1 − i = 2  cos
+ i sin
÷
4
4 

π
π

3 + i = 2  cos + i sin ÷
6
6


4π
4π 

−1 − i 3 = 2  cos
+ i sin
÷
3
3 


Thay vào D ta có:

35π
35π  5 


(

) (
n

chứa các biểu thức sau: ( ±1 ± i ) ; ± 3 ± i ; ±1 ± i 3
n

)

n

 Cách 1: Phân tích

( ±1 ± i )

n

= ( ±1 ± i )

2k + p

; k ; n; p ∈ ¥ ;0 ≤ p ≤ 1

(
) (
)
( ±1 ± i 3 ) = ( ±1 ± i 3 )
± 3±i


n

n
nπ
nπ 
2  cos
+ i sin
÷
4
4 

nπ
nπ 

= 2n  cos
+ i sin
÷
3
3 


( )
n

nπ
nπ 

= 2n  cos
+ i sin

4
2012
2014
a ) S1 = C2015
− C2015
+ C2015
− ×××+ C2015
− C2015
1
3
5
2013
2015
S 2 = C2015
− C2015
+ C2015
− ×××+ C2015
− C2015
0
4
8
2008
2014
b) S3 = C2015
+ C2015
+ C2015
+ ×××+ C2015
+ C2015
1
5

0
2
4
2012
2014
1
3
5
2013
2015
= ( C2015
− C2015
+ C2015
− ×××+ C2015
− C2015
− C2015
+ C2015
− ×××+ C2015
− C2015
) + ( C2015
)i
2015

 2
Mặt khác : (1 + i ) = 
÷
 2 
1
1
Vậy S1 = 1018 ; S 2 = − 1018

+ C2015
0
1
2
2014
2015
0 = C2015
− C2015
+ C2015
− ×××+ C2015
− C2015
0
2
4
2012
2014
1
3
5
2013
2015
⇒ A = C2015
+ C2015
+ C2015
+ ×××+ C2015
+ C2015
= C2015
+ C2015
+ C2015
+ ×××+ C2015

2π
2π
Gọi ω = cos + i sin
thì z = ω; z = ω 2 ; z = ω 3 là các nghiệm của phương trình
3
3
3
z =1
Nên 1 + ω 3k + ω 6 k = 3;1 + ω 3k +1 + ω 6 k + 2 = 0;1 + ω 3k + 2 + ω 6 k + 4 = 0 ∀k = 1; n

Xét f ( x) = ( 1 + x )

2015

. Ta có:

2015

k
f (1) = 2 2015 ; f (ω ) = ∑ C2015
×ω k =
k =0

2015
1
3
1
3
k
−


671

k
= ∑ C2015
×( 1 + ω 3k + ω 6 k ) = 3S5

m
2015

×( 1 + ω

3 m +1

+ω

6m+2

671

) + ∑C
n=0

n
2015

×( 1 + ω 3n + 2 + ω 6 n + 4 )

(2)


Lời giải:
a) Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡

) là một căn bậc hai của

 x 2 − y 2 = 4
Khi đó ta có: ( x + yi ) = 4 + 6i 5 ⇔ 
2 xy = 6 5
  x = 3

 y = 5
Giải hệ phương trình tìm được nghiệm: 
  x = −3
  y = − 5

2

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + i 5; z2 = −3 − i 5
b) Tương tự, ta có số phức w = −1 − 2i 6 có hai căn bậc hai là:
z1 = 2 − i 3; z2 = − 2 + i 3

II.1.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính biểu thức sau:
i + i 3 + i 5 + ... + i 2015
i 2 + i 4 + i 6 + ... + i 2016
B = 1 + (1 + i ) 2 + (1 + i) 4 + ... + (1 + i ) 20
A=

C = (1 − i ) 2015
2015

3
2015
b. z = 1 + i + 2i + 3i + ... + 2015i
1 + i + i 2 + ... + i 2015
1 + 2i + 3i + 4i + ... + 2015i
(1 + i)100
d. z =
( 3 + i)91

c. z =

π
π

e. z =  cos − i sin ÷i15 (1 + 3)17
3
3


Bài 3:
0
5
10
2010
2015
+ C2015
+ C2015
+ ×××+ C2015
+ C2015
a) Tính tổng : S = C2015

5
2) Cho z = a + bi , a, b ∈ ¡ ⇒ z = a − bi , từ giả thiết bài toán ta có:
(2a + 2bi − 1)(1 + i ) + (a − bi + 1)(1 − i ) = 2 − 2i
⇔ 3a − 3b + (a + b − 2)i = 2 − 2i
1

a
=

3a − 3b = 2
3
⇔
⇔
a + b − 2 = −2
b = −1

3
1) (2 + i).z +

 Nhận xét:
Với cách dạy cũ tôi cho học sinh đề bài là: Tìm số phức z biết:
1)

2(1 + 2i )
= 7 + 8i
1+ i
(2 z − i)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i .
(2 + i).z +

2)

d) | z − 1|= 1 và (1 + i )( z − 1) có phần ảo bằng 1.
e) z 2 + 2 z là số thực và z +

1
−π
có một acgumen là
.
z
3

Lời giải:
a) Điều kiện z ≠ −2i . Khi đó
(1) ⇔ 2( z − 1)(2 − i) = (3 + i )( z + 2i )
⇔ ( z − 1)(4 − 2i ) = 3 z + 6i + iz + 2i 2
⇔ (1 − 3i ) z = 2i + 4
2i + 4 (2i + 4)(1 + 3i) −1 7
⇔z=
=
=
+ i
1 − 3i
10
5 5
−1 7
⇒z=
− i (thỏa mãn điều kiện).
5 5
b) Gọi z = a + bi , a, b ∈ ¡ ⇒ z = a − bi . Từ giả thiết ta có:
(a + bi )2 + (a − bi ) = 0 ⇔ (a 2 − b 2 + a ) + (−2ab − b)i = 0
 b = 0

3
i
Vậy số phức cần tìm là: z = 0; z = −1; z = ±
2 2
c) Gọi số phức z cần tìm dạng: z = a + bi , a, b ∈ ¡ ⇒ | z |= a 2 + b 2 . Từ giả thiết

ta có: | z |= 5 ⇔ a 2 + b 2 = 5 (1)
( z + i ) 2 = (a + bi + i ) 2 = a 2 − (b + 1) 2 + 2a (b + 1)i
Để ( z + i) 2 là số ảo thì a 2 − (b + 1) 2 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:


a 2 = 5 − b 2
a + b = 5
a = ±2 a = ±1

⇔  b = 1
⇔
; 
 2
2
b
=
1

b = −2
a = (b + 1)
 b = −2


b = 0
⇔
a = 1

1
1
−π
(loại z + không thể có một acgumen là
)
a
z
3

1 2 + b2  1
b
−
i÷
+) a = 1 ⇒ z = 1 + bi ⇒ z + =

z
1 + b2  1 + b2
1 + b2 
−π
 1
=
cos(
)

2
3

b) Tính tổng lũy thừa bậc 4 của tất cả các số phức vừa tìm được.


c) Tìm phần ảo của z hoặc hỏi là | z |= 5 và ( z + i) 2 là số thuần ảo.
d) Tìm phần ảo của z 2015
e) Viết dạng lượng giác của z.
II.2.3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm số phức z biết | z − 2i |= 5 và điểm biểu diễn số phức z thuộc đường
thẳng (d) có phương trình: 3x –y +1 = 0.
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn; 1 + z =| z − i |2 +(iz − 1) 2 . Tính w = z +

4
z +1

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn: z = (1 − 3i ) 2 + i z. Hãy xác định phần thực, phần
ảo của số phức z.
(i + 1) z
−π
Bài 4: Cho | z |=| 2 z − 3 + i | và
có một acgumen bằng
. Hãy
1 − 3 + (1 + 3)i

6

biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn: z 3 là số thực và z = 2




2

2

1
1
1− i 
z + i = 0 ⇔ z = (−2i ) ⇔ z 2 = (1 − i) 2 ⇔ z 2 = 
÷
2
2
 2
1
1

z = 2 − 2 i
⇔
z = − 1 + 1 i

2
2
2
2
z − 2iz − 1 = 0 ⇔ ( z − i ) = 0 ⇔ z = i
2

2


c) z 2 + (1 − 3i ) z − 2(1 + i ) = 0

d)
÷ =1
 z −i 

Lời giải:
a ) z 3 + 8 = 0 ⇔ ( z + 2)( z 2 − 2 z + 4) = 0
 z = −2

⇔  z = 1 + 3i
 z = 1 − 3i

b) z 4 − z 3 + 6 z 2 − 8 z − 16 = 0 ⇔ ( z + 1)( z − 2)( z 2 + 8) = 0
 z = −1

⇔ z = 2
 z = ±2 2i

c) ( z − 3) 2 .( z + 3) 2 + 4 z 2 = 0 ⇔ ( z 2 − 9) 2 + 4 z 2 = 0 ⇔ ( z 2 − 9) 2 − 4i 2 z 2 = 0
z = i ± 2 2
 z 2 − 2iz − 9 = 0
⇔ 2
⇔
 z + 2iz − 9 = 0
 z = −i ± 2 2
d) Điều kiện: z ≠ i , khi đó phương trình tương đương với:
 z + i  2
z+i
z +i

=1 ∨

 z + i = −( z − i )i

Nhận xét:
 Giải phương trình trên tập hợp số phức cần đầy đủ các kĩ năng của việc giải
phương trình trên tập hợp số thực, qua các ví dụ trên ta đã sử dụng phương
pháp phân tích thành tích để đưa một phương trình bậc 3, bậc 4 về thành tích
của các phương trình bậc nhất, bậc 2. Tôi nhấn mạnh cho học sinh: một
phương trình đa thức bậc n xét trên tập hợp số phức thì có n nghiệm
phức(các nghiệm không nhất thiết phân biệt ).
 Kĩ năng đặt ẩn phụ để quy phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 se
được minh họa trong bài tập sau:
Bài 3: Giải các phương trình:
a) 2 z 4 − 2 z 3 + z 2 + 2 z + 2 = 0
b) ( z + 3) 4 + ( z + 5) 4 = 2
c) ( z 2 − z )( z + 3)( z + 2) = 10
d ) z 4 − 4 z 3 + 11z 2 − 14 z + 10 = 0
e) ( z 2 + 3 z + 6) 2 + 2 z ( z 2 + 3 z + 6) − 3 z 2 = 0

Lời giải:
a) 2 z 4 − 2 z 3 + z 2 + 2 z + 2 = 0
+) z = 0 không là nghiệm của phương trình.
+) z ≠ 0 phương trình tương đương với:
1 1 1
1
1 1
z2 − z + + + 2 = 0 ⇔ (z 2 + 2 ) − (z − ) + = 0
2 z z
z
z 2
1 

1 1 − 3i
2
z− =
⇔ 2 z − (1 − 3i ) z − 2 = 0 ⇔ 
 z = −1 − 1 i
z
2

2 2
4
4
b) ( z + 3) + ( z + 5) = 2
Đặt t = z + 4 , khi đó phương trình trở thành:


(t − 1) 4 + (t + 1) 4 = 2 ⇔ t 4 + 6t 2 = 0
t 2 = 0
t = 0
⇔ 2
⇔
t = ± 6i
t + 6 = 0
+) Với t = 0 ⇒ z = −4
+) Với t = 6i ⇒ z = −4 + 6i
+) Với t = - 6i ⇒ z = −4 − 6i
c) ( z 2 − z )( z + 3)( z + 2) = 10 ⇔ ( z 2 + 2 z )( z 2 + 2 z − 3) = 10
2
Đặt t = z 2 + 2 z , khi đó phương trình trở thành: t ( t − 3) = 10 ⇔ t − 3t − 10 = 0

t = 5


e
d 
1) az + bz + cz + dz + e = 0,  ÷ =
a
b
 TH1: Kiểm tra z = 0 có là nghiệm của phương trình
 TH2: z ≠ 0 ,chia cả hai vế của phương trình cho z 2 ta được:
 2  d 2 
d 

 a  z +  ÷  + b  z + ÷+ c = 0
bz 
 bz  


2

3

2

d
, ta đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn t.
bz
 Đặc biệt: az 2 + bz 3 + cz 2 ± bz + a = 0
2) ( z + a) 4 + ( z + b) 4 = c

 Đặt t = z +


.
z
=
5(1
+
i
)
z
+
z
=
5
−
2
i

1
2
 1
2
z = 3 − i
z 2 − (4 + i ) z + 5(1 + i ) = 0 ⇔ 
 z = 1 + 2i
Vậy nghiệm của hệ phương trình ( z1 , z 2 ) là (3 − i;1 + 2i ) và (1 + 2i;3 − i )

II.3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) z 4 + 4 z 2 − 5 = 0
2) − z 3 + 8 z + 3 = 0
3) (4 z + 1)(12 z − 1)(3 z + 2)( z + 1) = 4

IV. CHUYÊN ĐỀ 4: Biểu diễn hình học của số phức
IV.4.1. Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện
cho trước
A. Phương pháp
 Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng
toạ độ.


 Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập mối liên hệ giữa x và y
 Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm trong mặt phẳng biểu diễn
cho số phức z .
B. Bài tập minh hoạ
Bài 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều
kiện sau:
a) z = 1
b) 1 < z ≤ 2
z
=3
z −i

c)

d) z − 2 + 3i =

3
2

Lời giải:
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng toạ
độ.


3
 9
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  0; ÷ và bán kính R =
8
 8
2

2

2


3
3
9
( *) ⇔ ( x − 2) + ( y + 3)i = ⇔ ( x − 2)2 + ( y + 3) 2 =
.
2
2
4
3
Tập hợp M là đường tròn(C) tâm I ( 2; - 3) và bán kính R =
2
Bài 2: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

d) Ta có z − 2 + 3i =

kiện sau:
a) z − 2 − 4i = z − 2i

2 xy
= 2
+ 2
i
c) Ta có
2
z − i x + ( y − 1)
x + ( y − 1) 2
 x = 0
 xy = 0
z +i

⇔   y = 0
Nên
là số thực ⇔ 
z +i
 x + (1 − y )i ≠ 0
( x; y ) ≠ (0;1)

Vậy tập hợp điểm M là hai trục toạ độ bỏ đi điểm M ( 0;1) .

d)
 Cách 1
z − 3i
= 1 ⇔ z − 3i = z + i ⇔ x + ( y − 3)i = x + ( y + 1)i
z +i
⇔ x 2 + ( y − 3) 2 = x 2 + ( y + 1) 2 ⇔ y = 1
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng y = 1 .

Ta có


b) z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) 2 + x 2 + ( y + 1) 2 = 4 (*)
Đặt F1 (0; −1) ; F2 (0;1)
(*) ⇔ MF1 + MF2 = 4 > F1F2 = 2

Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F1 , F2 .
x2 y 2
+ 2 = 1 (0 < a < b; b 2 = a 2 + c 2 )
2
a
b
 MF1 + MF2 = 2a
a = 2
⇔
⇒ b2 = a 2 + c 2 = 5
Ta có 
c = 1
 F1F2 = 2c

Gọi (E) có phương trình

Vậy (E) có phương trình

c) Ta có

x2 y 2
+
=1
4
5

 y = 3a + b
 x − 3 = a − 3b − 1
⇔
 y − 3 = 3( a − 1) + b
⇒ ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 ≤ 4 (a − 1) 2 + b 2  ≤ 16 ( do(1)).
⇒ ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 ≤ 16 .

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I (3; 3) , bán kính R = 4 .
II.4.2. Dạng 2. Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước.
A. Phương pháp
 Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc tham số) biểu diễn cho số phức z trên mặt
phẳng toạ độ.
 Cho M thuộc và hình biểu diễn của z , ta tìm được giá trị của tham số.
 Kết luận số phức z cần tìm.
B. Bài tập minh hoạ
Bài 1: Cho số phức z = m + (m − 3)i, m ∈ R
a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = − x .
b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hybebol y =

−2
.
x

c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.
Lời giải:
Số phức z = m + (m − 3)i, m ∈ R → điểm biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng
toạ độ là: M ( m; m − 3) .
3
a) Để M nằm trên đường phân giác thứ hai y = − x thì m − 3 = −m ⇔ m = .


m − 3m + 2 = 0
m = 2


c) Để khoảng cách từ M đến O nhỏ nhất ⇔ m 2 + (m − 3) 2 nhỏ nhất
2
 
3 3
3
⇔
m
=
⇔ (2m − 6m + 9) nhỏ nhất ⇔  2  m − ÷ + ÷
nhỏ
nhất
2 2÷
2
 

Bài 2: Cho số phức z = a + bi,(a, b ∈ R) . Hỏi a, b phải thoả mãn điều kiện gì để:
a) Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng x = −2 và x = 2 ?
b) Điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng y = −3 và y = 3 ?
2

c) Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2?
Lời giải:
a) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng x = −2 và x = 2
thì



uuuruuu
r
0 A(3;3),0 B(3; −3) → OA.OB = 0 → OA ⊥ OB nên VABC vuông tại O.
Vậy VOAB vuông cân tại O.
Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
phức

4i
2 + 6i
; (1 − i )(1 + 2i ) ;
.
−1 + i
3−i

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Lời giải:
a) Ta có
z1 =

4i
4i ( −1 − i) −4i + 4
=
=
= 2 − 2i → z1 có điểm biểu diễn là A ( −2;2 ) .
−1 + i
1+1
2

z2 = (1 − i )(1 + 2i ) = 3 + i → z2 có điểm biểu diễn là B ( 3;1) .

uuu
r uuur

 x = −1
 x = −1
⇔
 y − 2 = −3
 y = −1

ABCD là hình vuông ⇔ BA = CD ⇔ 

Vậy D biểu diễn số phức z = −1 − i .
Bài 3: Cho A, B, C không thẳng hàng biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 .
a) Trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
b) z1 , z2 , z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 . Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh một tam
giác đều ⇔ z1 + z2 + z3 = 0 .
Lời giải:
 x A + xB + xC y A + yB + yC 
;
÷ biểu diễn số phức
3
3



a) Trọng tâm tam giác ABC là G 
z1 + z2 + z3
.
3


Hơn nữa: OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A,C thẳng hàng và A thuộc
uuur đoạn
uuu
r thẳng
OC. Khi O ≠ A ( hay z ≠ 0 ), điều đó có nghĩa là có số k ≥ 0 để AC = kOA tức là
w = kz .
( Còn khi z = 0 , rõ ràng z + w ≤ z + w ).


Vậy z + w ≤ z + w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z ≠ 0 thì tồn tại k ∈ R+ để
w = kz .
IV.4.3. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều
kiện sau:
a) z − (3 − 4i) = 2
KD-2009
b) z − i = (1 + i ) z
KB-2010
c) z − i + z + 2i = 5
d) z − 4i + z + 4i = 10
2
2
e) z − ( z.z ) = 4

g) z + z + 3 = 4
h) z 2 = ( z ) 2
i) z − z + 1 − 2i = 3
k) z = z + 4i − 3
Bài 2:
a) Cho A, B biểu diễn hai số phức z0 ; z1 ≠ 0 thoả mãn: z0 2 + z12 = z0 z1 . Chứng