TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
A.
A.
ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
I. LÝ THUYẾT:
I. LÝ THUYẾT:
1. Khái niệm số phức :
 Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
2
i
= –1.
Kí hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
 Tập hợp các số phức kí hiệu là
C
= {a + b
i
/ a, b∈
R
và
2
i

a a
b b
=


=



VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)
i
= (2y + 1) + (3x – 7)
i
(1)
(1) ⇔
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
− = + − = =
  
⇔ ⇔
  
− − = − + = =
  
3. Biểu diễn hình học của số phức:
 Mỗi số phức z = a + b
i
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.

uuuur
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu
2 2
z = a + bi = a + b


VD: z = 3 – 4
i
có
2 2
3 4 3 ( 4)z i
= − = + −
= 5


Chú ý :
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z= − + = − + = + =
5. Số phức liên hợp:
 Cho số phức z = a + b
i
, số phức liên hợp của z là
z a bi
= −
.

⇔
z = a + bi z = a - bi

∈
C
 Hai điểm biểu diễn z và
z
đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
6. Cộng, trừ số phức:
 Số đối của số phức z = a + b
i
là –z = –a – b
i

 Cho
z a bi
= +
và
' ' 'z a b i
= +
. Ta có
z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
7. Phép nhân số phức:
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
1
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
 Cho hai số phức
z a bi
= +
và

2
z
+ 4 =
2
z
–
2
(2 )i
= (z – 2
i
)(z + 2
i
).
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
8. Phép chia số phức:
 Số nghịch đảo của số phức
z a bi
= +
≠ 0 là
-1
2
1 z
z = =
z
z
hay
2 2
1 a - bi
=
a + bi a + b

i
i
−
⇔
(2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i i
z z z i
+ − +
= ⇔ = ⇔ = − +
+
9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k ∈ N

4k 4k+1 4k+2 4k+3
i = 1; i = i; i = -1; i = -i


VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z =
13
(2 2 )i−
6
2 6 6 6 19 19
(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i
 
= − − = − = − + = − +
 
Phần thực a =
19
2
−

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
 Hướng dẫn :
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả
biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| ≤ 1 c) 1 < |z| ≤ 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
 Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1a b
+ =
, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1a b
+ ≤
, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
2
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
2 2
1 2a b

6 6
F
π π
 
 ÷
 
nên F biểu
diễn số
3 1
2 2
i+
. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
3 1
2 2
i
− −
. E đối xứng F qua Ox nên E
biểu diễn số
3 1
2 2
i−
. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
3 1
2 2
i− +
7) Cho
1 3
2 2
z i
= − +

8) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng
( )
1
2
z z+
, phần ảo của số phức z bằng
( )
1
2
z z
i
−
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi
z z
= −
.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi
z z
=
.
d) Với mọi số phức z, z
′
, ta có
' ', ' . 'z z z z zz z z
+ = + =
và nếu z
≠
0 thì
' 'z z

.
d)
2 2
; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b= + = + = +
là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z
+ = + + + = + − + = − + − = +
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
3
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z
= − + + = − − + = − − =
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
   
= = = =
 ÷  ÷
   
9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;
m m m m
i i i i i i
+ + +
= = = − = −
 Hướng dẫn : Ta có

.
f) Với mọi số phức z, z
′
, ta có |z.z
′
| = |z|.|z
′
| và khi z
≠
0 thì
'
'
z
z
z z
=
g) Với mọi số phức z, z
′
, ta có
' 'z z z z
+ ≤ +
 Hướng dẫn :
a)
z a bi
= +
thì
2 2
z a b
= +
,

( ) ( )
. ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i
= − + +
,
2 2 2 2
, ' ' 'z a b z a b
= + = +
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
. ' ' 'z z a b a b
= + +
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b
= − + + = + + + = + +
Vậy |z.z′| = |z|.|z′|
Khi z ≠ 0 ta có
2 2
' . ' . '
' '.
.
z z z z z
z z z
z z z z
z z

do đó
' 'z z z z
+ ≤ +
11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
h)
1z i
− =
b)
1
z i
z i
−
=
+
c)
3 4z z i
= − +
 Hướng dẫn : Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với
z x yi
= +
⇒
( )
2
2 2 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y
− = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với

TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.
13) Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có
10
2 9
1
1
1
z
z z z
z
−
+ + + + =
−
 Hướng dẫn :
Với z ≠ 1,
( )
( )
( )
2 9 2 9 10 2 9 10
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z
+ + + + − = + + + + − + + + + = −
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
a)
2 2
( )z z
+
b)

i
z z a ab
−
=
+ −
là số ảo;
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab
i
z z a b
−
=
+ + +
là số ảo.
15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i)
2
z
là số thực âm; b)
2
z
là số ảo ; c)
2 2
( )z z
=
d)
1

2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
− −
=
+ − + −
là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j)
2 0iz i
+ − =
c)
( )
2 4 0i z
− − =
e)
2
4 0z
+ =
k)
( )
2 3 1i z z
+ = −
d)
( ) ( ) ( )
1 3 2 3 0iz z i z i
− + − + =
 Hướng dẫn :

là số
thực dương.
 Hướng dẫn :
a) Phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
, phần ảo
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
b) Là số thực dương khi
0x
=
và
2 2
1 0x y
+ − >
⇒ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu
diễn hai số phức
,i i
−
.

vậy G biểu diễn số phức
( )
1 2 3
1
3
z z z z
= + +
b) Vì
OA OB OC= =
uuur uuur uuur
nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng
O hay
1 2 3
0z z z+ + =
.
B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT
I. LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b
i
thoả
2
z
= w được gọi là căn bậc hai của w.


w là số thực: w = a∈
¡



VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4
i
.
ĐS: có 2 căn bậc hai của w là
1
z
= 1 + 2
i
,
2
z
= –1 – 2
i
.
2. Phương trình bậc hai:
a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực:
2 2
0 ( 0), 4ax bx c a b ac+ + = ≠ ∆ = −
.

∆

≥
0: Phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x

∆
= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
−
=

∆

≠
0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2
B
x
A
δ
− ±
=
với
δ
là 1 căn bậc hai của
∆
.
 VD: Giải phương trình: a)
2
1 02z iz
− + =

−
= = −
b)
2
(3 2 ) 5 5 0z i z i+ − + − =
có ∆ =
2 2
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i− − − = − + − + = − +
=
2
(1 4 )i
+

Phương trình có 2 nghiệm phức
1
3 2 1 4
1 3
2
i i
z i
− + + +
= = − +
;
2
3 2 1 4
2
2
i i
z i
− + − −

i
±
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
4 2
6 0z z
+ − =
b)
4 2
7 10 0z z
+ + =
 Hướng dẫn :
a)
2; 3i
± ±
b)
2; 5i i
± ±
3) Cho a, b, c ∈ R, a ≠ 0,
1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình
2
0az bz c
+ + =
. Hãy tính
1 2
z z+
và
1 2

= 2a, z
z
=
2 2
a b
+
. Vậy phương trình đó là
2 2 2
2 0x ax a b
− + + =
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì
z w
=
 Hướng dẫn :
z a bi
= +
là một căn bậc hai của w ⇒
2
2 2
z w z w z w z w
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
VD:
( )
2
3 4 2i i
− = −
tức
2z i
= −
là một căn bậc hai của

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i
+ + = ⇔ + = − ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − ±
c)
( ) ( ) ( )
2 2
1 3 8 1 2 1i i i i
∆ = − + + = = +
Phương trình có hai nghiệm phức là
1 2
2 ; 1z i z i= = − +
.
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ
số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai
2
0z Bz C
+ + =
(B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng
không?
 Hướng dẫn :
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
7
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net

∆ = − + = −
nên hai số cần tìm là
1 2
3 ; 1 2z i z i= + = −
.
c) Phương trình
2
0z Bz C
+ + =
có hai nghiệm là
;z a bi z a bi
= + = −
thì
( )
2B z z a
= − + = −
là số
thực và
2 2
.C z z a b
= = +
là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8) a) Giải phương trình sau:
( ) ( )
2 2
2 1 0z i z iz
+ − − =
b) Tìm số phức B để phương trình
2
3 0z Bz i

z
+ =
trong các trường hợp sau:
a) k = 1; b) k =
2
; c) k = 2i.
 Hướng dẫn :
2
1
1 0z k z kz
z
+ = ⇔ − + =
có 2 nghiệm
( )
2 2
1,2
4
2
k
z k
δ
δ
±
= = ∆ = −
a) k = 1 thì
1,2
1 3
2 2
z i
= ±

a)
( )
( )
3 2
1 3 1 3
1 0 1 1 0 1, ,
2 2 2 2
z z z z z z i z i
+ = ⇔ + − + = ⇔ = − = + = −
.
b)
4 4 2
1 0 1 1 1,z z z z z i− = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± = ±
c)
( ) ( )
4 4 2
4 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i
+ = ⇔ = − ⇔ = ± ⇔ = ± − = ± +
d)
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2
1 1 3
1 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, ,
2 4 4
z z z z z z z z z i
+ − = ⇔ + − + + = ⇔ = − = = − ±
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình



+ + + =

⇔
2 4
2 2 6
4 2 8 4
b c a
a b b
a b c c
+ = = −
 
 
+ = − ⇔ =
 
 
+ + = − = −
 
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)
I. LÝ THUYẾT
I. LÝ THUYẾT
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
8
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
1. Số phức dưới dạng lượng giác :
a) Acgumen của số phức z ≠ 0 :

thì –z biểu diễn bởi –
OM
uuuur
nên có acgumen là
ϕ
+ (2k + 1)π

z
biểu diễn bởi M′ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –
ϕ
+ k2π
 –
z
biểu diễn bởi –
'OM
uuuuur
nên có acgumen là –
ϕ
+ (2k + 1)π

1
z
=
1
2
| |
z
z
z
−

⇔
2 2
a b
z = a + bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =
r r



VD :
 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng π nên có dạng lượng giác là z = cosπ +
i
sinπ
 Số 1 +
3
i
có môđun bằng 2 và một acgumen bằng
ϕ
thoả cos
ϕ
=
1
2
và sin
ϕ
=
3
2
. Lấy
ϕ
=

có dạng lượng giác là cos(
ϕ
+ π) +
i
sin(
ϕ
+ π)
 Số cos
ϕ
–
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(–
ϕ
) +
i
sin(–
ϕ
)
 Số – cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(π –
ϕ
) +
i

(
r
′≠ 0)
 Ta có
1
'z
và
z
có cùng acgumen là –
ϕ
’ + k2π nên
1 1
[cos( ') sin( ')]
' '
i
z r
ϕ ϕ
= − + −
.
Do đó
[cos( - ') sin( - ')]
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= +
(
r
’

1
2
z
z
Với
2
2 cos sin
12 12
z i
π π
 
= +
 ÷
 
;
1 2
.z z
=
5 5 3 1
2 2 cos sin 2 2 6 2.
6 6 2 2
i i i
π π
 
 
+ = − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 

ϕ
+
i
sin
ϕ
)

[ ]
n
n
r(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ)
(n∈
*
¥
)
b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :`
 Mọi số phức z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) (
r
> 0) có 2 căn bậc hai là
δ
 
=

và căn bậc hai của w = 1 +
3.i
 Ta có 1 +
i
=
1 1
2 2 cos sin
4 4
2 2
i i
π π
 
 
+ = +
 ÷
 ÷
 
 
.
Do đó
( )
100
1 i
+
=
( )
100
50
2 cos sin 2 cos25 sin 25
4 4

và
7 7
2 cos sin
6 6
i
π π
 
+
 ÷
 
.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn
( )
19
1 i+
và công thức Moavrơ để tính
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

− + − + −
ð ð ð ð ð
.
 Hướng dẫn :
1 2 cos sin
4 4
i i
π π
 
+ = +

19 19 2 2
1 2 cos sin 2 2 2
4 4 2 2
i i i i
π π
 
 
+ = + = − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
có phần thực
9
2 512
− = −
Vậy
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

− + − + −
ð ð ð ð ð
= –512.
2) Tính:
21
2004
5 3 3
;
1

= = + = + = −
 
 ÷  ÷  ÷
+
     
 
( )
( )
21
21
21
21 21
5 3 3 2 2
1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 2
3 3
1 2 3
i
i i i
i
π π
π π
 
+  
 
= − + = + = + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
−

TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
W là số thực khi
4
sin 0
3
n
π
=
, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để
m
w
là số ảo.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

( ) ( )( )
i
iii
i
i 1
32321
1
1
10
2
+−++−+









+++−
i
izizi
c.
;0||
2
=+ zz
d.
0
2
2
=+ zz
;
3.Tính: a. 1 + (1+i) + (1+i)
2
+ (1+i)
3
+ + (1+i)
20
b. 1 + i + i
2
+ i
3
+ ……+ i

6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,k
iz
z
=
−
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
1
=
−
−
iz
z
và
.1
3
=
+
−
iz
iz
8. Tìm số phức z thỏa mãn
1
4
=




;
b.
( ) ( )
0363263
22
2
2
=−+++++ zzzzzz
c. (z
2
+1)
2
+(z+3)
2
=0a.
( )
( )( )
01
32
=++− izziz
d.
( ) ( )
.0124
2
2
2
=−+++ zzzz
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
, zz

55
2
2
2
1
21
12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a. -1-i
3
; b.
4
sin
4
cos
ππ
i−
c.
;
8
cos
8
sin
ππ
i−−
d.
ϕϕ
cossin1 i+−

;
2





−
ππ
b.
( )
( )
9
10
3
1
i
i
+
+
; c.
2000
2000
1
z
z +
biết rằng
.1
1
=+
z
z
16. CMR: 3(1+i)

3 3
−
−
i
n
i
2)
7
( )
4 3
+
−
i
n
i
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
 Hướng dẫn :
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
 Hướng dẫn : z = a + bi ⇒ |z| =
2 2
a b
+
. Ta có |z| ≥
2
a
= a và |z| ≥

a)
7 47
6
i
− ±
b)
4
8
±
,
4
8i
±
c)
1, i
± ±
5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
12
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
 Hướng dẫn :
1 2 1 2
3, 4z z z z+ = =
⇒
1 2
,z z
là nghiệm phương trình
2

1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình
1 2
( )( ) 0z z z z− − =
hay
2
1 2 1 2
( ) 0z z z z z z
− + + =
⇔
2
0z az b
− + =
7) Chứng minh rằng nếu
1z w
= =
thì số
( )
1 0
1
z w
zw
zw
+
+ ≠
+
là số thực.
 Hướng dẫn : Ta có
2

+
là số thực.
8) Giải phương trình:
a)
( ) ( )
2
3 6 3 13 0z i z i
+ − − + − + =
b)
2
3 3
3 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ +
 
− − =
 ÷
− −
 
c)
( )
( )
2
2
2
1 3 0z z+ + + =
 Hướng dẫn :
a)

iz
z i
i z i
iz iz
z i
iz i z i
z i z i
z i
z i
+


= −
= − +


+ = − +

+ +
 
−
− − = ⇔ ⇔ ⇔


 ÷

+ − = −
− −
 


3 4
1 2 ; 1z i z i= − = − −
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
2
( ) 2( ) 5x yi x yi+ − + +
. Với giá trị nào của x, y thì số phức
trên là số thực.
 Hướng dẫn : Phần thực là
2 2
2 5x y x− − −
, phần ảo là
2( )xy y
−
. Số phức trên là số thực khi y = 0
hoặc x = 1.
10) Thực hiện các phép tính:
a) d)
3 3
(1 2 ) (1 2 )i i+ − −
; g)
2010 2009
(1 ) (1 )i i+ + −
e)
2 2 1 2
1 2 2 2
i i
i i
+ +
−
− −

; f)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
g)
( ) ( )
2
1 1 2 2
1
z i
z i i
i
+
+ + − − =
−
h)
1 2
2 3
1 1
i z i
z i
i i
− + −
− + =
+ −

z i
= − −
;
e)
i
; f)
2 4
5 5
i− −
g)
3z i
= −
h)
3z i
=
i)
2 3z i
= +
12) Biết
1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
3 3 0z z+ + =
. Hãy tính:
a)
2 2

=
6 3
; c)
1 2
2 1
z z
z z
+
= –1; d)
2 2
1 2
z z
+
= 6.
13) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
 Hướng dẫn : Hai số phức cần tìm là
1
3 7
2 2
z i
= +
và
2
3 7
2 2
z i
= −
14) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2

15) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b)
4 2
6 25 0x x
+ + =
; b)
4 2
16 100 0x x
− + =
; c)
4 2
3 3 3 0x x i
− + − =
d)
4 2
3(1 2 ) 8 6 0x i x i− + − + =
; e)
4
7 24 0x i
+ − =
; f)
4
28 96 0x i
− + =
 Hướng dẫn :
a)
( ) ( )
1 2 , 1 2x i x i
= ± − = ± +
; b)

1 10
10z
=
 Hướng dẫn : Gọi z = x + y
i
⇒
z
= x – y
i
và
2 2 2
2z x y xyi= − +
.
a)
2
z z
=
⇔
2 2
(1)
2 (2)
x y x
xy y

− =

= −

(2) có nghiệm y = 0 thay vào (1) ⇒ x = 0 hoặc x = 1
Nếu y ≠ 0 ⇒ (2) có nhiệm x = –

c)
1 3 ; 1 3z i z i
= − = − +
17) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
14
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
c)
2z i
− =
; b)
3
1
3
z i
z i
−
=
+
; c)
1z z i
= − +
; d)
(2 3 ) 2 0i z i m
+ + − =
(m là tham số)
 Hướng dẫn :
a)

2 6
2 2 6 3 4
13
(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
3 4
2 3 13 13
13
m
x
m i m m
i z i m z z i x y
m
i
y
−

=

− − +

+ + − = ⇔ = ⇔ = − ⇒ ⇒ + + =

+
+

= −


Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
18) Dùng công thức Moa-vrơ để tính

 
.
20) Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
. ĐS: A=11/4
21) Tìm số phức z thoả mãn:
2 2z i− + =
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
( ) ( )
2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i= − − + = + − −
.
22) Tìm số phức z thỏa mãn:

 
=
 ÷
−
 
. ĐS: z∈{0;1;−1}
24) Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i}
25) Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z=0, z=−1,
1 3
2 2
z i= ±
Chuyên đề: Số Phức Biên soạn: ThS. Trương Nhật Lý
WWW.ToanCapBa.Net
15
TRUNG TÂM BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN ĐT: 0905.652.581 – 0905.620.855
WWW.ToanCapBa.Net
26) Giải phương trình:
2
4 3
1 0
2
z

29) Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
α
làm nghiệm biết:
a.
α
= 2−5i b.
α
= −2−i
3
c.
α
=
3 - 2i
30) Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
−iz
2
−2iz−2 = 0. b. z
3
+(i−3)z
2
+(4−4i)z−7+4i = 0.
31) Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
2 2z i z z i− = − +
. ĐS:
2
4
x
y =

33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực −2
10
, phần ảo: 2
10
+1.
34) Trong các số phức thỏa mãn
1z z i
= − +
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Bài 1.
Bài 1.
(Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
. Tìm phần thực
và phần ảo của z.
b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình
4 3 7
2
z i

i
z
i
+
=
+
⇔
(8 )(1 2 )
1 4
i i
z
+ −
=
+
⇔
10 15
2 3
5
i
z i
−
= = −
. Phần thực là 2, phần ảo –3
b)
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −

| (3 4 ) | 2z i
− − =
.
 Hướng dẫn :
Đặt z = x + y
i
(x, y∈
¡
) ⇒
(3 4 ) 3 4 ( 3) ( 4)z i x yi i x y i
− − = + − + = − + +
Ta có
| (3 4 ) | 2z i
− − =
⇔
2 2
( 3) ( 4)x y
− + +
= 2 ⇔
2 2
( 3) ( 4)x y− + +
= 4
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2
Bài 3.
Bài 3.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thoả:
| (2 ) | 10z i
− + =
và

có ∆′ = 1 – 10 = –9 =
2
(3 )i
. Nghiệm là
1
1 3z i= − +
,
2
1 3z i= − −
Ta có:
1
1 9 10z = + =
và
2
1 9 10z = + =
nên
2 2
1 2
20A z z
= + =
Bài 5.
Bài 5.
(Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)
a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:
( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i
− + + = − +
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình
( )

có ∆ =
2 2
(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i+ − + = − − = −
Do đó phương trình có 2 nghiệm:
1
1 1 5
1 2
2
i i
z i
+ + −
= = −
;
2
1 1 5
3
2
i i
z i
+ − +
= =
Bài 6.
Bài 6.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa:
2z
=
và
2
z

= + −
b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức
z iz
+
 Hướng dẫn :
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
( 2 ) (1 2 )z i i
= + −
⇒
( ) ( )
1 2 2 1 2 5 2a bi i i a bi i− = + − ⇔ − = +
.
5, 2a b
⇒ = − =
. Vậy phần phần ảo b = –
2
.
b) Gọi z = a + bi, ta có:
3