BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TRIỆU THỊ XEN

VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ
TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIEN

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

phân


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TRIỆU THỊ XEN

VỀ TÍNH LIPSCHITZ CỦA TOÁN TỬ
TRONG KHÔNG GIAN HIBERT VÀ ỨNG DỤNG VÀO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIEN

phân

Chuyên ngành: Toán giải tích
M ã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, luận văn
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài Tính Lỉpschỉtz của toán tử trong không
gian Hỉlbert và ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân được hoàn thành bởi sự
nhận thức và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào
khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Ngưòi thực hiện

Triệu Thị Xen


Ill

Mục lục
Lfti cảm fin

i

Lòi cam đoan

ii

Danh mục kí hiệu thường dùng

iv
1


5

1.2

Điểm bất động của ánh xạ co

6

1.3

Điểm bất động của ánh xạ không giãn

15

ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân

27

2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

27

2.2

Sư tồn tai nghiêm của bất đẳng thức biến p h â n .................

34


Không gian metric

dc{y)
d(x,y)

Khoảng cách từ y đến c
Khoảng cách giữa các phần tử X và y
Tích vô hướng

x& c

X thuộc tập c

x ị c

X không thuộc tập c

Vx e c

Với mọi X thuộc tập c

\fx

Với mọi

INI

Chuẩn

X


X ) sao cho Tx* =

X*

với

như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T. Những

định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đó phải
kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ CO Banach
(1922). Các kết quả này đã mở rộng ra các lớp ánh xạ đặc biệt là lớp ánh xạ
có tính Lipschitz trên các không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi
ữong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm
bất động. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn
này và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học. Dưới sự hướng dẫn của
GS.TSKH. Lê Dũng Mưu tôi đã chọn đề tài : “ Tính Lipschitz của toán tử trong
không gian Hilbert và ứng dụng vào bất đẳng thức biến phân”


2

2. Mục đích nghiên cứu
Làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tìm hiểu sâu hơn về Giải tích
hàm đặc biệt về tính Lipschitz của toán tử trong không gian Hilbert. Luận văn
trình bày các định lý về tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz như:
điểm bất động của ánh xạ không giãn và áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach
để giải bất đẳng thức biến phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

1.1.1

Kiến thức chuẩn bị
Không gian metric

Đinh nghĩa 1.1.1. Một hàm d có giá trị thực được xác định với mọi cặp phần
tử X, y của tập hợp X được gọi là metric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau ( với mọi x , y , z ẽ X ):
1) d ( x , y ) > 0,

d(x, y) = 0 4» X = y;

2) d(x, y) = d ( y , x );
3) d(x, z) < d ( x , y) + d ( y , x )( bất đẳng thức tam giác).
Một tập X cùng với metric xác định như trên được gọi là một không gian metric
và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa X và y.
Các phần tử của không gian metric (X , d ) được gọi là điểm.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X\ , X 2 , x

n là dãy các điểm trong không gian metric


4

(X , d). Dãy x n được gọi là hội tụ đến điểm X £ X nếu
lim d (x n, x ) = 0
X—¥00
kí hiệu
lim x n = X .
X—>00



5

3) \/x, |/ € X , V

q ễ

1 : (ax, y) = a (x, y)\

4) Vz, y, z
1) P c (x ) = Pc {Pc (x )),V x e H ;
2) Pc là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là
(x - y , p c {x) - p c (y )) > IIPơ (z) - Pc {y)\\2, V x , y e H
3) Pc là ánh xạ không giãn nghĩa là
\\Pc {x) - Pc {y)\\ < ||z - y\\ , V x , y e H\
4) Pc là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
(Pc {x) - P c ( y ) , X - y) > 0, Mx, y G H.
Mệnh đề 1.1.2. (Xem 12], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho

cc

H là tập lồi,

đóng, khác rống. Khi đó với mọi y G H , hình chiếu Pc (y) của y trên

c luôn

tồn tại và duy nhất.

1.2

Điểm bất động của ánh xạ co

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Hilbert và / là một ánh xạ liên
tục từ một tập con của X vào X . Một điểm
đối với / nếu

X

=

(Y, p ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k G [0,1) sao cho:
p(Tx,Ty) < kd(x,y)
với mọi X, y e X ( k là hệ số co)
Định lý điểm bất động được sử dụng rộng rãi nhất đó là định lý ánh xạ co
Banach (1922). Định lý chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ.
Định lý ánh xạ co Banach ( xem [4j, Chương 1) Cho (X , d) là không gian
meữic đầy đủ và T : X —> X là ánh xạ co trong X . Khi đó tồn tại duy nhất
X* G X mà Tx* — X*. Ngoài ra với mọi x ữ G X ta có T nx 0 —>• X* khi n —>• 0 0 .
Chứng minh. Lấy Xq là điểm tùy ý trong X và đặt Xn + 1 = T x n với n ẽ N. Ta
có
d ( x i , x 2) = d ( T x 0, T x i) < k d ( x ữ, X \ )
d ( x 2 , x 3) — d ( T x i , T x 2) < k 2d ( x 0ìXị)
Bằng quy nạp ta được
^(*^m■t'n+i)

d ( T x n —i : T x n 'j ^
< k 2d ( x n - 2 , X n - i )
n ta có:
d ( x n, x m) < d( x n, x n+1 ) + d(a:n+i,a:n+2 ) + ... + d( x m- u x m)
< (k n + k n+1 + ... +
< A:n(l + k + ... + k m~n~1) d( x0, £ i)
kn
= T— rdi xo. Xị )
1 —k



Định lý được chứng minh.

□


9

Nhiều tác giả đã tổng quát hóa định lý ánh xạ CO Banach và phát biểu với nội
dung dưới đây
Định lý 1.2.2. ( Xem [8], Chương 1, Định lý 1.5) Cho ( x , d ) là không gian
metric đầy đủ và F : X —¥ X là ánh xạ (không nhất thiết liên tục) với mỗi £ > 0
tồn tại ố(e) > 0 sao cho nếu d ( x : F ( x )) < ổ(e) thì F (B (x ,£ )) ç B ( x : e)
trong đó B ( x, e) = {y £ X : d ( x , y ) < £}
Nếu với mỗi

U

£ X ta có
lim d (F n (u ) , F n+1 (u)) = 0.

n—>oo

Khi đó dãy {F n (w)} hội tụ tới một điểm cố định của F.
Chứng minh. Với mỗi u £ X ta lấy u n = F n (u ). Ta chứng minh { u n} là dãy
Cauchy.
Với mỗi £ > 0 cho trước, chọn ỗ(£) > 0 như trên. Ta chọn N đủ lớn sao cho
d (un, u n+1 ) < ỗ ( e ) , Vn > N . Từ đó d (UN , F (UN)) < ỗ (e) và F (B (uN ,£)) Ç
B (u n ,£). Vì
F (Wjv) — ưjv+1 c B (wjv, e) ,V k £ { 0 ,1 ,2 ,...}
F k (UN ) = u N+k £ B (u n , £ ) , v/c £ {0,1, 2 ,...}


U,

U

G X sao cho

\/x G X

> 0. Khi đó ộ(t)


Suy ra
\ Tx - T y I = IT' (01 \x - y\ < k \ x - y\
Do đó T là ánh xạ co và có duy nhất điểm bất động.
Định lý ánh xạ co được dùng để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của
phương trình vi phân nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện ban đầu.
Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân

với điều kiện ban đầu x ( t 0) = x 0 trong^ỉó t 0, x ữ là hai số cho trước và T( t , ù)
là hàm liên tục cho trước của hai biến t, u, (t , u )

ễ

E . Giả sử rằng hàm T( t , ù)

thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u theo định nghĩa sau đây: với mỗi
số nguyên dương 71, tồn tại một hằng số L — L( n) > 0 sao cho với mọi
t € [—71, n ] ta đều có
\T (t , Uị) — T (t , u 2) \ < L \\uị - u 2
Ta sẽ chỉ ra rằng phương ữình vi phân với điều kiện ban đầu có một và chỉ có
một nghiệm x(t ) xác định và liên tục trên đường thẳng thực.
Thật vậy, vì hàm T liên tục nên phương trình vi phân với điều kiện ban đầu
tương đương với phương trình vi phân

Lấy một số nguyên dương n khá lớn sao cho ¿0 £ [—71, n] và gọi Cn =
C[—n, n\ là không gian các hàm x(t ) xác định và liên tục ữên đoạn [—n, n].
Với À > 1 là một số cố định tùy ý, ta hãy đặt

dn {x,y) = maXịtị

(F(x))(t) = x 0 +

J
to

T (s, X (s))ds


13

Ta sẽ chứng tỏ rằng F là một ánh xạ co đối với metric dn. Thật vậy, với X, y €
Cn ta có
d ( F ( x ) , F (y)) = m a x m n e —X Lị t —toị

J
J

T [ ( s , x ( s ) ) - T ( s, y( s) ) ]di

¿0
< maXị tị to. Từ định nghĩa của metric
dn ta có
\x (s) — y (5)1 = (eAils_í°l — e~XL\s~to\)ịx (s ) — y (s)Ị
< eXL'— °' dn(x, y)

Mọi ánh xạ (e, <J)-co đều thỏa mãn điều kiện nếu X ^ y thì đặt £ — d(x, y) > 0.
Ta có
£ = d(x, y) < £ + ỗ
Từ đó suy ra
d { T x , T y ) < £ = d(x, y)
Lớp ánh xạ thỏa mãn điều d ( T x , T y ) < d(x, y) thường được gọi là " co yếu
Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy
nhất.
Định lý 1.2.4. (Meir-Keeler,1969) (xem [4] chương 1) Cho (X , d) là một không
gian metrỉc đầy đủ và T là một ánh xạ (e, ổ)- co trong X . Khi đó, T có điểm
bất động duy nhất X * và với mọi x ữ E X ta có
T nx 0 —> X *

khi

n —>■oo

Chứng minh. Lấy Xq g X tùy ý, đặt Xn + 1 = T x n và Cn = d( x n, x n + 1), n =
0 ,1 , 2... Có thể giả thiết cn > 0. Vì T là ánh xạ co yếu nên cn là dãy không âm
và giảm, do đó cn

£. Nếu £ > 0 thì tồn tại ổ > 0 để có d ( T x , T y ) < £. Chọn

k £ N sao cho nếu n < k thì cn < £ + ổ. Do đó ta có cn+1 < £ là điều vô lý.
Vậy £ = 0 tức là cn —> 0. Ta sẽ chứng minh x n là dãy Cauchy bằng phản chứng.
Giả sử có £ > 0 sao cho với mọi k E N , tồn tại n , m < k mà d( x n, x m) < 2e.
(ỵ
Cho k sao cho nếu i < k thì Cị < — với a = m i n {ổ, e}
Chọn m > n > k để cho d( x n, x m) > 2e và xét các số
d( x nĩ


+

+ £ + 4

d( x n+1, x j+1)
a

+

d( x n+1,Xj)

£ + f

(ỵ
Điều này mâu thuẫn với d ( x n, X j ) > £ H---- . Vậy {a;n} là dãy Cauchy và x n
X*

G X . Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có
d (x * , T x *) < d ( x*, x n+1) + d (xn+1, Tx *)
= d ( x*, x n+1) + d (T x n, T x *)
< d ( x*, x n+1) + d (x n, x *)

Chọn n —> oo ta được d (x*,TX*) = 0 tức là
X* =

Vì T là ánh xạ co yếu nên

Tx*


u = T u kéo theo {T nx } = {w} đo đó ta có 2).
2) =>- 1) Với mọi X £

c bất kỳ y £ c do T không giãn nên

0 < \\Tkx - y \ \ 2 - \\Tk+1x - y \ \ 2
= IIT kx — T y + T y — y\\2 - IIT k+1x - T y \ Ỹ
kéo theo 0 < IIT kx — T y ||2 — ||T fe+1x — Ty \ \ 2 + 2( T kx — T y ® T y — y) Đặt
^ n —1

S n (x) = — J2 T kx Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta được
n k= 0

0 < —||a; - Ty\ \ 2 + 2 ( Sn (x) - T y , T y + y ) + IIT y - y ||2 - - \ \ T nx - Ty\ \ 2
Do {T nx } bị chặn nên {»s^a;} bị chặn. Lại có

là dãy ữong

c mà c là

tập lồi đóng của không gian Hilbert H nên {íS^a;} là tập compact yếu. Do đó
{(SnO:} có dãy con {/Sn.x} hội tụ yếu về phần tử p £

c

Vì vậy ta có 0 < 2 (p — Ty; T y — y) + IIT y — y\\2. Chọn y = p ta có
0 < 2 (p - Tp\ T p - p) + IIT p - p||
kéo theo IIT y — y\\2 < 0 . Hay T p = p hay p £ F ( T ) hay F ( T ) = 0.
Tiếp theo ta chứng minh F( t ) là tập lồi, đóng. Rõ ràng, F it) là tập đóng.
Với X, y £ F ( T ) : 0 < À < 1 đặt


(

1. 2 )

Điều này vô lý. Do vậy T z = z hay z £ F ( T ) Định lý đã được chứng minh

□

Tương tự ta cũng có
z —Tz

Từ (Ịl.lỊ) và (Ị1.2Ị) suy ra
z + Tz

\\x - yII
c không giãn. Khi đó, T có một điểm bất động trong c

Hệ quả 1.3.1. Cho
ánh x ạ T

□

Định lý 1.3.3. (Xem 18], Chương 2, Định lý 2.4) Cho H là không gian Hilbert,

c ç H là tập bị chặn và F : c
c„ và a = X—^+2 ỹ G 'c

c là ánh xạ không giãn. Giả sử X £ C : y £


18

K í hiệu Ỏ(C) là đường kính của

c và £


cõ
2

a — F (a)||
= 2 ^ / | | x - y | | £ + £2
= ‘¿ ự ẽ ^ J \\x - y \ \ + £


Trong đó
B ^0, d -ị— ^ = ịa : £ H : ||x|| < d-ị— I .
Ta có A n là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng. Bây giờ ta chỉ ra rằng
lim J (A n) = 0.

n —>00

(1.3)