ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ DUYÊN
VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ DUYÊN
VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
Thái Nguyên - Năm 2014
i
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy
bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại Học Khoa Học - Đại Học
Thái Nguyên. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu, tới các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian qua.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014
Tác giả

B:Giao của hai tập hợp A và B.
• R: Tập số thực.
• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• (a; b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• ∀: Với mọi.
• ∃: Tồn tại
• H: Không gian Hilbert.
• , : Tích vô hướng.
• .: Chuẩn.
• V IP : Bài toán bất đẳng thức biến phân.
• SOL − V IP : Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
1
MỞ ĐẦU
Bài toán Bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm
1966 bởi Hartman và Stampachia. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong
không gian hữu hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới
thiệu trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and
Their Applications” của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm
1980 và trong cuốn sách “Variational and Quasivariational Inequalities:
Applications to Free Boundary Problems” của Baiocci C. và Capelo A.,
xuất bản năm 1984.
Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông
và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài toán bất đẳng
thức biến phân được phát triển trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên
cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lí thuyết
trò chơi và nhiều bài toán khác. Trong bài toán bất đẳng thức biến phân
thì lớp bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh
có một vị trí hết sức quan trọng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng
xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:
., . : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau:
i). x, y = y, x, ∀x, y ∈ X.
ii). x + y, z = x, y + y, z, ∀x, y, z ∈ X.
iii). λx, y = λx, y, ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X.
iv).x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0.
x, y được gọi là tích vô hướng của hai vec tơ x và y.
4
Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với  x =

x, x với mọi
x ∈ H, thì H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không
gian Unita).
Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert
thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Ơcơlit thực R
n
.
Ví dụ 1.2.
1) Lấy H = R
n
với x = (x
1
, x
2
, , x
n

gian tiền Hilbert và thường kí hiệu là C
L
[0,1]
.
3) Cho (Ω, β, µ) là không gian độ đo kí hiệu:
L
2
(Ω) = f : Ω → C :

Ω
|f(x)
2
|dµ < ∞
với tích vô hướng f, g =

Ω
f(x)g(x)dµ, L
2
(Ω) là một không gian Hilbert
H.
Định lý 1.3. Cho H là một không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta
luôn có bất đẳng thức sau :
|x, y|
2
≤ x, xy, y.
Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.4.
Cho H là một không gian Hilbert khi đó ,  : H × H → R là một hàm liên
tục.
5

, x − x
∗
 ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.9. Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó hàm f được gọi
là
i) lồi trên C nếu:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
ii) lồi chặt trên C nếu:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)β  x − y 
2
.
6
Nhận xét 1.10. Từ định nghĩa 1.9 ta dễ thấy (ii) ⇒ (i), (iii) ⇒ (ii).
Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là lõm trên C nếu -f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa 1.12. Với f(x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dưới
tại x nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho :
f(x) − ε ≤ f(y), ∀y ∈ U.
Với f(x) = +∞, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N > 0,
tồn tại lân cận U của x sao cho:
f(y) ≤ N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.13. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa
liên tục dưới với mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.14. Với f(x) < +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x
nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho :
f(x) + ε ≥ f(y), ∀y ∈ U.
Với f(x) = +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N > 0, tồn tại
lân cận U của x sao cho :
f(x) ≥ −N, ∀y ∈ U.

) ≥ w, x − x
0
, ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x
0
∈ C được gọi là dưới vi phân
của f tại x
0
∈ C, kí hiệu là
∂f(x
0
) = {w ∈ H : w, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ C}.
Ví dụ 1.20. Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong H. Xét hàm chỉ của
tập C như sau:
δ
c
(x) =



0, x ∈ C
+∞, x ∈ C
Nếu x
0
∈ C thì
∂δ

∗
|x
∗
, x − x
0
 ≤ 0, ∀x ∈ C} = N
c
(x
0
).
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ C tại một điểm x
∗
∈ C là nón pháp tuyến
ngoài của C tại x
0
.
1.1.3 Toán tử đơn điệu.
Như chúng ta đã biết toán tử F từ không gian X vào không gian Y là
đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X, xác định duy nhất một phần tử
F (x) = y ∈ Y và ta thường kí hiệu là :
F : X → Y.
8
Trong luận văn này ta xét đối với các ánh xạ (toán tử) là đơn trị.
Đối với ánh xạ F thì ánh xạ ngược:
F
−1
: Y → X
được định nghĩa như sau:
F
−1

T (x) − T(y), x − y = 2x − 2y, x − y = 2(x − y)
2
≥ 0.
Mặt khác, T cũng là toán tử giả đơn điệu mạnh vì ∀x, y ∈ R, γ > 0 ta có:
2x, y − x ≥ 0 ⇔ 2x, y + y, y − x ≥ 0
⇔ y, y − x ≥ −y, 2x
⇒ y, y − x ≥ γ  y − x 
2
.
Tổng quát hơn, nếu T là đạo hàm của một hàm lồi khả vi trên H, thì T
sẽ là toán tử đơn điệu.
Thật vậy, giả sử T (x) = ∇f(x) với f(x) là một hàm lồi khả vi trên H.
Với mọi x, y ∈ H:
T (x) − T(y), x − y = ∇f(x) − ∇f(y), x − y
= ∇f(x), x − y + ∇f(y), y − x
≥ f(x) − f(y) + ∇f(y), y − x ≥ 0.
(do f(x) ≥ f(y) + ∇f(y), x − y).
Vậy T là toán tử đơn điệu.
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân.
1.2.1 Phát biểu bài toán.
Định nghĩa 1.25.
Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và cho ánh xạ F : K → H.
Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(K;F) được phát
biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ K : F (x
∗
), x − x
∗

= 1 là nghiệm
duy nhất.
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán.
Định nghĩa 1.27. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi , đóng của H và
cho ánh xạ F : K → K. Khi đó, x ∈ K được gọi là điểm bất động của
ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện sau:
F (x) = x.
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu về vấn đề tồn tại và tính duy nhất của
nghiệm cuả bài toán bất đẳng thức biến phân. Một trong những công cụ
hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề này là định lí điểm bất động của Brouwer.
Trước khi phát biểu định lí, chúng ta phát biểu một số kết quả sau.
Bổ đề 1.28. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó,
với mỗi x ∈ Hcó duy nhất y ∈ K sao cho :
 x−y = min
η∈K
 x−η  . (1.2.2)
11
Một điểm y thỏa mãn (1.2.2) được gọi là hình chiếu của x trên K và kí
hiệu là : y = Pr
K
x. Dễ thấy Pr
K
x = x, ∀x ∈ K.
Định lý 1.29. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và x là
một điểm bất kì thuộc H. Khi đó : y = P r
K
x khi và chỉ khi:




là ánh xạ liên tục, với I là ánh xạ đồng nhất. Theo định lí 1.31, tồn tại
điểm bất động x ∈ K sao cho :
x =

P r
K
(I − F )

(x).
12
Ta sẽ chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ). Thật vậy, do x, F (x) ∈ K
nên P r
K
x = x và P r
K
F (x) = F (x). Kết hợp với Định lí 1.29 ta có:
x, y − x ≥ P r
K
(I − F )x, y − x, ∀y ∈ K
⇔ x, y − x ≥ P r
K
x − P r
K
F (x), y − x, ∀y ∈ K
⇔ x, y − x ≥ x − F (x), y − x, ∀y ∈ K
⇔ F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K.
Điều này chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ), hay V IP (K; F ) có ít
nhất một nghiệm.
Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lí về điểm bất động của
Brouwer không áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng

Lấy R > 0 sao cho  x
∗
R
< R. Hiển nhiên:
F (x
∗
), x−x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
. (1.2.3)
13
Tức là x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ).
Điều kiện đủ :
Giả sử tồn tại R > 0, x
∗
R
∈ K
R
thỏa mãn  x
∗
R
< R và
F (x
∗
R
), y − x
∗

R
) ≤ R.
Hay y ∈ K
R
. Theo (1.2.3) ta có :
0 ≤ F (x
∗
R
), y−x
∗
R
 = F (x
∗
R
), [x
∗
R
+ε(x−x
∗
R
)]−x
∗
R
 = εF (x
∗
R
), x−x
∗
R
.

Vì F thỏa mãn điều kiện (1.2.4) nên ta có thể chọn hằng số c > 0, R > 0
sao cho : c > F (y) > 0 và R > y > 0 thỏa mãn :
F (x) − F(y), x − y ≥ c  x − y , ∀x ∈ K,  x ≥ R.
Từ đó suy ra :
F (x), x − y ≥ c  x − y  +F (y), x − y,
Sử dụng công thức Cauchy-Schwarz ta có :
F (x), x − y ≥ c  x− y  −  F (y)  x − y = (c−  F(y) )  x− y 
≥ (c−F (y))( x  −  y ) > 0 (1.2.5)
ở đó  x = R.
Do F là ánh xạ liên tục, K
R
là một tập lồi compact nên theo Định lí 1.32
,V IP (K; F ) luôn có nghiệm x
∗
R
. Theo Định lí 1.33 , để chứng tỏ x
∗
R
là
nghiệm của V IP (K; F ), ta cần chỉ ra rằng  x
∗
R
< R.
Thật vậy, vì x
∗
R
∈ SOL − V IP (K; F ) nên :
F (x
∗
R

R
là nghiệm của V IP (K; F ).
Chứng minh duy nhất nghiệm :
15
Giả sử rằng x
∗
vá x

là hai nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V IP (K; F ), và x
∗
= x

. Khi đó, chúng đều thỏa mãn :
F (x
∗
), x−x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
. (1.2.6)
F (x

), x−x

 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
. (1.2.7)
Sau đó thay thế x bởi x


∗
)−F (x

), x
∗
−x

 ≤ 0 (1.2.8)
Nhưng bất đẳng thức (1.2.8) mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của F .
Như vậy điều giả sử là sai hay x
∗
= x

.
Kết luận: Bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) luôn có nghiệm duy nhất
và định lí được chứng minh.
1.2.3 Một số ví dụ điển hình.
Bài toán điểm bất động Brouwer
Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H là
ánh xạ đơn trị. Bài toán điểm bất động của ánh xạ F được phát biểu như
sau :
Tìm
x
∗
∈ K : x
∗
= F (x
∗
). (1.2.9)
Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài toán điểm bất

∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Cho x = ε
∗
ta được
 x
∗
− ε
∗
≤ 0.
Suy ra x
∗
= ε
∗
hay x
∗
∈ T (x
∗
). Vậy x
∗
là nghiệm của bài toán (1.2.9)
Chiều ngược lại là hiển nhiên đúng .
Bài toán bù phi tuyến
Trước tiên chúng ta trình bày mối quan hệ giữa V IP (K; F ) và nón pháp
tuyến của một tập lồi .
Mệnh đề 1.36. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H và cho
ánh xạ F : K → H, x
∗

⇔ −F (x
∗
) ∈ N
K
(x
∗
).
Mệnh đề được chứng minh.
Nói một cách khác, x
∗
là nghiệm của V IP (K; F ) khi và chỉ khi :
0 ∈ F(x
∗
) + N
k
(x
∗
).
Định nghĩa 1.37. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H,
nón đối ngẫu của K, kí hiệu là K
∗
, là một tập được xác định như sau:
K
∗
= {y ∈ H : y, x ≥ 0, ∀x ∈ K}.
Về mặt hình học, K
∗
là tập hợp bao gồm tất cả các véc tơ y ∈ H tạo
thành một góc không tù với mọi véc tơ x ∈ K.
Một trong những lớp bài toán quan trọng và một trường hợp riêng của

∗
∈ K : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Bằng cách lấy x = 0 ∈ K, suy ra:
F (x
∗
), −x
∗
 ≥ 0. (1.2.10)
Bằng cách lấy x = 2x
∗
∈ K ta thu được:
F (x
∗
), x
∗
 ≥ 0. (1.2.11)
Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta kết luận:
F (x
∗
), x
∗
 = 0. (1.2.12)
Mặt khác từ định nghĩa ta có :
0 ≤ F (x
∗
), x − x

) = 0.
Mặt khác, vì F (x
∗
) ∈ K
∗
, nên vơi mọi x ∈ K ta có :
F (x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − F(x
∗
), x
∗
 = F (x
∗
), x ≥ 0.
Điều này suy ra:
x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ).
Hay
SOL − NCP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ).
Kết luận lại ta có :
SOL − NCP (K; F ) = SOL − V IP (K; F ).
Mệnh đề được chứng minh
19
Bài toán qui hoạch lồi


x
∗
+ t(x − x
∗
)

, 0 ≤ t ≤ 1
là hàm khả vi và đạt cực tiểu tại điểm t = 0. Vì vậy ta có :
0 ≤ ϕ

(0) = ∇f(x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − x
∗
.
Điều đó chứng tỏ x
∗
là nghiệm của V IP (K; F ).
(ii) Ngược lại, giả sử f là hàm lồi và x là nghiệm của V IP (K; F ). Theo
định nghĩa ta có :
F (x), y −x ≥ 0, ∀y ∈ K. (1.2.14)
Mặt khác, do f là hàm lồi nên:
f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x = F (x), y − x.
20
Kết hợp với (1.2.14) suy ra :

i
w
: là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w =
(O, D) với O ∈ O, D ∈ D.
Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f)
là một hàm của f.
+ λ
i
w
: là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông
i.
+ x
i
w
: là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D.
Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:
d
i
w
=

p∈P
w
x
i
p
, ∀i ∈ I, w ∈ O×D. (1.2.15)
Trong đó, P
w
kí hiệu là tập các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm