Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
___________________

Nguyễn Tuấn Anh

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:
60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN – 2011
Footer Page 1Sốofhóa
89.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 2 of 89.
✶

▼ô❝ ❧ô❝


✶✻

✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ô

✶✳✷✳

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✷✳✶✳

✷✳✷✳

✼

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✷✸

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✷✸
✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳






Header Page 3 of 89.
✷

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤ñ②✱ ❈❤ñ
♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
♥❣➢ê✐ ➤➲ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❝❤Ø ❞➵② t❐♥ t×♥❤ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝
❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣
t✐♥ ✲ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠ ➤➲ tr✉②Ò♥ t❤ô ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤♦
t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈õ❛ q✉❛✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➡ q✉❛♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ❝❤✐❛ s❰✱
❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥
♥➭②✳

❚➳❝ ❣✐➯

◆❣✉②Ô♥ ❚✉✃♥ ❆♥❤

Footer Page
3 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➡♥ trÞ ✈➭

K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣

t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿ ✈í✐
t×♠ ♣❤➬♥ tö

f ∈ X ∗ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ❤➲②

x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦
✭✵✳✶✮

Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K,
ë ➤➞②

x∗ , x ❧➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x∗ ∈ X ∗ t➵✐

x ∈ X ✳ ◆Õ✉ K ≡ X t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
A(x) = f.

✭✵✳✷✮

▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✵✳✶✮ ❧➭ ✈✐Ö❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ❑❤✐ t♦➳♥ tö

Footer Page
4 of
Số hóa
bởi89.

h x tử trớ ó trò t ọ

ế t tử ễ

Ah ệ tì t tứ ế ệ

ỉ ó tể ó ệ r trờ ợ sts
r t tứ ế ệ ỉ

Ah x + U s (x x ) f , x x g( x ) x x ,
x K,
ở

x

K,



h = (h, )

ụ í ủ ề t trì ổ ị
t tứ ế ệ tr sở ự ệ ệ
ỉ ủ t tứ ế ệ ỉ rì sự
ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ớ t tử ợ
ệ tr tự ự tr ệ ọ
t số ệ ỉ t ệ
ộ ủ ợ trì tr ớ
tệ ề t tứ ế ệ trì sự tồ t ệ
tí t ủ t ệ ủ t tứ ế ệ ồ tờ





Header Page 7 of 89.
✻

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t

H

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

X

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝

X∗

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛

Rn

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡

∅

t❐♣ rç♥❣

X


AT

♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥

a∼b

a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b

A∗

t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

D(A)

♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

R(A)

♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

xk → x
xk

x

❞➲②
❞➲②

Footer Page


❈❤♦
❝ñ❛

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣

X ✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ trÞ ✈í✐ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) ⊆ X

✭t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ t❛ ❝♦✐
✭♠✐Ò♥ ➯♥❤✮

D(A) ≡ X ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ♥ã✐ ❣× t❤➟♠✮ ✈➭ ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ

R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝ñ❛ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❤❛♠

❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶✱ ✸✱ ✹✱ ✼❪✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tö

✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉

A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

♥Õ✉

A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
✐✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t

Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

hemi✲❧✐➟♥

tô❝

tr➟♥

X

♥Õ✉

A(x +




Header Page 9 of 89.
✽

ty)

Ax

tr➟♥

X


tô❝✳
❈❤♦

A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐

➤ã♥❣ ❝ñ❛
s❛✉✿ ✈í✐

X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢

f ∈ X ∗ ✱ ❤➲② t×♠ x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦
✭✶✳✶✮

Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳

✭①❡♠ ❬✸❪✮

A : X → X∗

❈❤♦

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭

hemi✲❧✐➟♥



t❛ ❝ã

A[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K,

Footer Page
9 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 10 of 89.
✾

s✉② r❛

t A[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤♦
tÝ♥❤ ❝❤✃t

t s❛✉ ➤ã ❝❤♦ t → 0 ✈➭ sö ❞ô♥❣

hemi✲❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A t❛ ➤➢î❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✮✳
✷

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳



✐✮

❧å✐

tr➟♥

X

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X

t❛ ❝ã

F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1].
✐✐✮

♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐

tr➟♥

X

♥Õ✉

lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X.
y→x

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦


❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝ñ❛

F

t➵✐ ➤✐Ó♠

x∈X

❝ñ❛

F

t➵✐

x ✈➭ ∂F (x) ➤➢î❝ ❣ä✐

x✳

t➵✐

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠

●➞t❡❛✉①

❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻✳ ❈❤♦

A:X→Y

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

Y✳

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❚♦➳♥ tö

A

X

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐ ➤✐Ó♠

x ∈ X ✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ T ∈ L(X, Y ) s❛♦ ❝❤♦
A(x + h) = A(x) + T h + o( h ),
✈í✐ ♠ä✐

h t❤✉é❝ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠ θ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐✱ t❤× T

❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳

A t➵✐ x✱ ✈➭ t❛ ✈✐Õt A (x) = T ✳


F t➵✐ x ✈➭ y ✳ ❉♦ ➤ã✿
F (x), y − x + F (x) ≤ F (y),
F (y), x − y + F (y) ≤ F (x).

❈é♥❣ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ✈í✐ ♥❤❛✉✱ t❛ ➤➢î❝✿

F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X,

Footer Page
11bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 12 of 89.
✶✶

tø❝ ❧➭

F ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tõ X ✈➭♦ X ∗ .

◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sö
➤✐Ö✉ tõ

F ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ F ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥

X ✈➭♦ X ∗ ✳ ❚❛ ①Ðt ❤➭♠ φ : [0, 1] → R ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐✿


◆Õ✉

A ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ F : X → R ∪ {+∞}

❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✈➭

f ≡ 0 ∈ X ∗ t❤× ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥

♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ ❧å✐ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

min F (x).
x∈K

✭✶✳✸✮

❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✼❪✮✳

Footer Page
12bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 13 of 89.
✶✷



❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

✐✮

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

✐✐✮✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉

x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✸✮ t❤× ✈í✐ ∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1) t❛ ❝ã
F (x0 ) ≤ F ((1 − λ)x0 + λx).
❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛

1
F (x0 + λ(x − x0 )) − F (x0 ) ≥ 0.
λ
▲✃② ❣✐í✐ ❤➵♥ ✈Õ tr➳✐ ❝ñ❛ ✭✶✳✹✮ ❦❤✐ λ → 0 t❛ ➤➢î❝✿

✭✶✳✹✮

F (x0 + λ(x − x0 )) − F (x0 )
= F (x0 ), x − x0 ≥ 0.
λ→0
λ
◆❣➢î❝ ❧➵✐ ✈í✐ ∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1)✱ ❞♦ F ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥➟♥
lim


Footer Page
13bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

✭✶✳✺✮




Header Page 14 of 89.
✶✸

❑Õt ❤î♣ ✭✶✳✺✮ ✈í✐
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉

ii) t❛ s✉② r❛ iii)✳

x0 t❤á❛ ♠➲♥ iii)✱ ❧✃② x = (1−λ)x0 +λy, y ∈ K, λ ∈ [0, 1]✱

t❛ ❝ã

F (1 − λ)x0 + λy , (1 − λ)x0 + λy − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇔ F (λ(y − x0 ) + x0 ), λ(y − x0 ) ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇔ λ F x0 + λ(y − x0 ) , y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇒ F (x0 + λ(y − x0 )), y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
❚r♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦



❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

➤ã✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥

t♦➳♥ tö ❜ø❝

Ax, x
= ∞, ∀x ∈ X.
x

lim

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

X

t❤á❛ ♠➲♥

hemi✲

intK = ∅✳ ❑❤✐

(1.1) ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ✈í✐ ♠ä✐ f ∈ X ∗ ✳

A ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥❣➷t t❤× ♥❣❤✐Ö♠ x0 ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

Ax0 Ax1 , x0 x1 = 0.

t tứ t ớ
t tử

A

í ệ
P tử

x1 = x0 tí t ệ t ủ

S0 t ệ ủ t tứ ế ệ

x0 S0 ó ỏ t ợ ọ ệ t ủ

t í t ủ t ệ ú
ủ t

S0 t ệ t S

(1.1) ợ ở ổ ề s

ổ ề



ó ế

S0 = tì t S


ị ĩ





U s : X X

ó trị ị ở

U s (x) = {x X : x , x = x . x ; x = x
ợ ọ

ố

tờ ợ ết

U

tổ qt ủ

ợ ọ

s1

}, s 2

X s = 2 tì U s



ét

r rt
tử ị

H ố t í t

I tr H

Footer Page
15bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa




Header Page 16 of 89.
✶✺

✐✐✮

➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã

tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❱í✐

X = Lp (Ω)✱ 1 < p < ∞ ✈➭ Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤♦ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝

❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉

X

◆Õ✉

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵

U : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❜ø❝ ✈➭ demi✲❧✐➟♥ tô❝✳

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤×

U

❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❝❤➷t✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥
❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ

❦Ð♦ t❤❡♦

S = {x ∈ X : x = 1}

x+y < 2

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵✳ ❑❤➠♥❣

∀ε > 0, ∃δ > 0

s❛♦ ❝❤♦

❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤

∀x, y ∈ X

✈í✐

X

➤➢î❝

❣ä✐

❧➭

❧å✐

➤Ò✉

♥Õ✉

x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε



X

X

tự

ợ ọ

ó tí t

xn

sự ộ tụ ế tử

x

sự ộ tụ

xn x 0

é t sự ộ tụ



t t ỉ

ệ ề t t ỉ t ỉ

ệ ề t t ỉ ợ r r

t t ỉ tr tr

f Y

ệ

x ó ợ ị ột t

x X

t ổ ị tr

Footer Page
17bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa

ợ ọ

(X, Y ) ế

ớ ỗ

tồ t ệ

f Y

(X, Y ).


✈➭ x2 = 1✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
2
2x1 + x2 = 2
2.01x1 + 1, 01x2 = 2, 05

❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭

x1 = 5 ✈➭ x2 = −8✳ ❚❛ t❤✃② ♠ét t❤❛② ➤æ✐ ♥❤á ❝ñ❛ ❤Ö sè ✈➭

✈Õ ♣❤➯✐ tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ ❦Ð♦ t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ t❤❛② ➤æ✐ ➤➳♥❣ ❦Ó ❝ñ❛
♥❣❤✐Ö♠✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳
❈❤ó ý ✶✳✸✳

❱× tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✵✮✱ ♥➟♥

♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ sù ❧ù❛ ❝❤ä♥ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠✳ ❚❛ sÏ sö
❞ô♥❣ ♥❣❤✐Ö♠

x0 ❝ã x∗ ✲ ❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ t❤á❛ ♠➲♥
A(x0 ) = f,

✈➭

x0 − x∗ = min{ x − x∗ : A(x) = f }.

Footer Page
18bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

t❤× t❤❐♠ ❝❤Ý ♥❣❛② ❝➯ ❦❤✐ tå♥ t➵✐

A−1 ✱ xδ := A−1 fδ ✈➱♥ ❝ã t❤Ó ❧➭ ♠ét ①✃♣ ①Ø

tå✐ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ➜Ó ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❣❤✐Ö♠ æ♥ ➤Þ♥❤ t❛ ♣❤➯✐ sö
❞ô♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✳ ▼ét ✈Ý ❞ô ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❧➭
❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳

• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈
●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣

X ✈➭ Y ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❧➭ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ✭✶✳✶✵✮ ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ö❝ t×♠ ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉

xδα ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠

❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈

Fαδ (x) = A(x) − fδ

2

+ α x − x∗ 2 .

✭✶✳✶✷✮

❑Õt q✉➯ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❧➭ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤➷t ❝❤♦ t♦➳♥
tö


fδ

➤➢î❝ t❤❛② ❜ë✐

fk

α>0

s❛♦ ❝❤♦




Header Page 20 of 89.


fk f ó tồ t ột ộ tụ ủ xk
ộ tụ tử ự tể ủ

ớ ủ

(1.12)

ột ết q tr t t số ệ ỉ ọ t
ệ ệ ỉ
ị ý
tỏ




r ế ệ

x ỏ t t tì
lim x() = x0 .

0

ệ tứ s sẽ ợ sử ụ tố ộ ộ tụ ủ ệ
ệ ỉ

a b c số ủ é p > q > 0 ế

ap baq + c tì t ó ap = O bp/(pq) + c t ệ
ớ ết ù é

sử ợ

(h) ột ù é

h 0 ế tồ t ột số > 0 số M > 0 s
|(h)| M h
tì t ết

(h) = O(h ).
ết tr ó ĩ

h ỏ tì (h) ột ợ ỏ

h 0 tì (h) tế ế số 0 M h

✷✵

✈➭

x0

❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ã

x∗ ✲❝❤✉➮♥

♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) = f ✳

❍➡♥ ♥÷❛✱ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥✿

✭✐✮

A ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t❀

✭✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè

✈í✐ ♠ä✐

x ∈ D(A)❀

✭✐✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö

✭✐✈✮



c1 ≥ 1,

✭✶✳✶✸✮

t❤×

xδα

− x0 ≤

2(1 + c1 ) z
1−L z

1/2

δ 1/2 .

❚❤❛♠ sè ❤❐✉ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤ä♥ t❤❡♦ ✭✶✳✶✸✮ ❧➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤é ❧Ö❝❤ ❝ñ❛ ▼♦r♦③♦✈✳
❱í✐ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤é ❧Ö❝❤ ❝æ ➤✐Ó♥✱ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

α ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥

A(xδα ) − fδ = cδ, c ≥ 1.
• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈
❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ♠➭ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈ ❬✶✵❪ ➤Ò ①✉✃t ❧➭ t❤❛②
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛♥❣ ①Ðt ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ①✃♣ ①Ø ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✈í✐ ♠ä✐ ✈Õ ♣❤➯✐
✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ô t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭♦ ✈Õ ♣❤➯✐ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

H✳

❝❤Ø♥❤

●✐➯ sö

x0 ∈ D(A)

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

(1.10)

❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t tr♦♥❣ ❤×♥❤ ❝➬✉

✈í✐ ❜➳♥ ❦Ý♥❤

r = x0 − x∗ + δ/α✳

❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ❤✐Ö✉

(1.14) ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ xδα ∈ Br (x0 )✳

❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤ä♥ t✐➟♥
♥❣❤✐Ö♠ ❝❤♦ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼✳

✭①❡♠ ❬✶✵❪✮

A(x) = f ✱ xδα

x0 ∈ D(A)



L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ A (x0 ) − A (x) ≤ L x0 − x

ë ➤➞②

Br (x0 ) ⊂ D(A)

❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ t➞♠

x0

❜➳♥

✳

❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐

α > 0 t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳
δ
+
α

L
z 2 α.
✭✶✳✶✺✮
2
√
√
◆Õ✉ t❤❛♠ sè α ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❜ë✐ α ∼
δ ✱ t❤× xδα −x0 = O( δ)✳

tụ





ó ớ ỗ

t ệ

x

A : X X

>0

r ế



hemi

ột t tử ệ

f X

, / 0

tì



A (x0 )(x x0 ) ,


ớ ọ

x tộ ột ủ x0 ở > 0 ột số

tồ t ột tử

t số ệ ỉ

zX

s

A (x0 ) z = U s (x0 x )

ợ ọ s p 0 < p < 1

ó

x x0 = O( ), = min

Footer Page
23bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa


X ét t t tứ ế ợ ề ở

tì

x0 K s


Ax0 f, x x0 0, x K,
ở

A : D(A) X X ột t tử ệ hemi tụ

ị

f tử trớ tộ X ế t tử A ó tí

t ệ ề ệ tì t

(2.1) ó ột

t t ỉ t ĩ ệ ủ t ụ tộ
tụ ữ ệ
ệ

(A, f ) r t ộ t tết t

S0 = S0 K ổ ề S0 ột t ó ồ tr

K
trị ú




g(t) tự tụ ị

ể t t ỉ t sử ụ
ổ ị ột tr ợ sử ụ rộ r rt ệ
q ệ ỉ tở ủ ệ
ỉ rr ề t t t tứ ế
ò ọ ệ ỉ rr sử ụ ột
t tử

M : X X ó tí t hemi tụ ệ t

ệ ỉ ột ủ t tử

M ố tổ qt

U s ủ X ts ự ệ
ệ ỉ t ự tr ệ t tứ ế
tì

x K s
Ah x + U s (x x ) f , x x 0, x K.

ị ý ớ ỗ
ệ ỉ

(2.4)


ứ



tụ ì

Ah + U s ũ ột t tử ệ hemi tụ từ

X X t U s t tử ứ ớ ỗ > 0 t tử
Ah + U s ũ ột t tử ứ t t ét
(Ah + U s )(x), x = Ah (x) + U s (x), x
= Ah (x) Ah (), x + Ah (), x



+ U s (x), x .

Footer Page
25bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa