−i−

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭② ❣✐➳♦✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤
❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ P❤➵♠ ❍➭ ◆é✐ ✷ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝
t❐♣ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ t❤➬② ❣✐➳♦ ❚❙ ❇ï✐ ❚rä♥❣ ❑✐➟♥
❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥ ❑❤♦❛ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❳➞② ❞ù♥❣ ❍➭ ◆é✐ ➤➲ trù❝
t✐Õ♣ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧ù❛ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ✈➭ ❤♦➭♥ ❝❤Ø♥❤
➤Ò t➭✐✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❑✶✶ ❚♦➳♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ➤➲ ❣✐ó♣
➤ì ✈➭ ❝ã ♥❤÷♥❣ ➤ã♥❣ ❣ã♣ q✉Ý ❜➳✉ ❝❤♦ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❍➭ ◆é✐✱ t❤➳♥❣ ✶✵ ♥➝♠ ✷✵✵✾
❚➳❝ ❣✐➯


−1−

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ r✐➟♥❣ t➠✐ ➤➢î❝
t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝ñ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ ❚❙✳ ❇ï✐ ❚rä♥❣ ❑✐➟♥ ❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥ ❑❤♦❛
❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❳➞② ❞ù♥❣ ❍➭ ◆é✐✳
◆❣♦➭✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ trÝ❝❤ ❞➱♥✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ß♥ ❧➵✐ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♠í✐
♠➭ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❤✉ ➤➢î❝ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯
♥➭② ❝❤➢❛ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è ë ❜✃t ❦ú t➵♣ ❝❤Ý ♥➭♦✳
❍➭ ◆é✐✱ t❤➳♥❣ ✶✵ ♥➝♠ ✷✵✵✾
❚➳❝ ❣✐➯


−2−


❈❤➢➡♥❣ ✸✳

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✸✳✶✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❑❛r❛✲
♠❛r❞✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✸✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s ✷✶

❈❤➢➡♥❣ ✹✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛

❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✷✺

✸✼


−3−

❇➯♥❣ ❦ý ❤✐Ö✉
❱■

❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t②

❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ●➬♥ ➤➞② ♠ét sè ❝➠♥❣ tr×♥❤ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tr➟♥ ❝➳❝ t➵♣ ❝❤Ý ❝❤✉②➟♥
♥❣➭♥❤ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ➤➢î❝ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝
t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ➤➲
❜✐Õt r➺♥❣ ❤❛✐ ❧í♣ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➭② ❧➭ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ◆➝♠ ✷✵✵✵✱
❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♠í✐ ❝❤♦ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥
➤✐Ö✉✳ ▲í♣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥➭② ❝❤ø❛ ❝➯ ❤❛✐ ❧í♣ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉
t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❇rÐ③✐s✳ ❉ù❛ tr➟♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠í✐ ♥➭② ❤ä ➤➲ ➤➵t ➤➢î❝
♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❦❤➳ t❤ó ✈Þ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s✳
▼ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ t✐Õ♣ tô❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛
❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥ ✈➭ ➤➢❛ r❛
♠ét ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➢í❝ ➤ã ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥✳ ➜Ó
➤➵t ➤➢î❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② tr➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤➯✐ ❦❤➯♦ s➳t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛


−5−

❱■s ❝❤♦ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❇rÐ③✐s ✈➭ ❝➳❝ ❦Õt
q✉➯ ❣➬♥ ➤➞② ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥✳ ❚r➟♥ ❝➡ së ➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ➤➷t ❜➭✐ t♦➳♥
✈➭ ❣✐➯✐ q✉②Õt ✈✃♥ ➤Ò ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➤➢❛ r❛ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♥❤♦ ♥❤á✱
♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➢í❝ ➤ã ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s ✈➭ ❑♦❧✉♠❜➳♥✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ♠❛♥❣ t➟♥ ✧❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✧✱ ❜❛♦ ❣å♠ ✹ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣
t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ❧✐➟♥ q✉❛♥ tí✐ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥
➤✐Ö✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❣å♠ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯
➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇rÐ③✐s✳ ❈❤➢➡♥❣ ✹ ➤➢î❝
❞➭♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♥❤✃t ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ❝❤♦ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯
➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥✳ ❈✉è✐ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯
♠í✐ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❉♦♠♦❦♦s✲❑♦❧✉♠❜➳♥✳



−7−

❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ❜❛♦ ❣å♠ ❝➳❝
➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ➤✐♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝❤➞♥ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥
t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳

✶✳✶✳

❈➳❝ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

❚r♦♥❣ s✉èt ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐➯ sö r➺♥❣

A⊆X

❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣✳ ●✐➯ sö

❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳

f

♥Õ✉

➳♥❤ ①➵ f

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳ ●✐➯ sö
➤ã

f

A⊆X

❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ t❤✉é❝

A✳

f : A → A ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝♦✳ ❑❤✐


8

CX

r ột t

ợ ọ ồ ế ớ ọ

x, y C

ớ

[0, 1] t ó x + (1 )y C ó ý ể t ộ rr



x y = inf x z
zK

ợ ọ ì ế tr ủ
t ứ ỗ

xX

ớ

x t K

ý ệ

y = PK (x) Pé

y = PK (x) ọ é ế tr t K ý ệ

PK
ết q s t sự tồ t ủ ì ế tr
rt
ổ ề tr sử


K

t ồ ó tr rt

x H ó tồ t t y K

=2 x

2

+ 2 y 2,

t ó

zm zk

2

= 2 x zm

2

H

+ 2 x zk

2

1
4 x (zm + zk )
2

2


−9−

+ 2 x − zk
(zm )

zm → y0 ∈ H ✳ ❱× K

2

− 4d2 .

❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳ ▼➷t ❦❤➳❝

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã

H

❧➭

y0 ∈ K ✳ ❍➡♥ ♥÷❛

x − y0 = lim x − zm = d.
m→∞

●✐➯ sö r➺♥❣ tå♥ t➵✐

y1 , y2 ∈ K

x − y1 = x − y2 = d✳ ❙ö ❞ô♥❣ q✉✐ t➽❝

s❛♦ ❝❤♦



✷

❇æ ➤Ò ✶✳✺✳ ❬✻✱ tr ✾✲✶✵❪ ●✐➯ sö
✈➭

2

K

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

H

x ∈ H ✳ ❑❤✐ ➤ã y = PK x ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉
y, z − y ≥ x, z − y , ∀z ∈ K.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐➯

y = PK x✳ ❱× K

✭✶✳✸✮

❧➭ t❐♣ ❧å✐ t❛ ❝ã

(1 − t)y + tz = y + t(z − y) ∈ K, ∀z ∈ K, t ∈ [0, 1].
❈è ➤Þ♥❤ t✉ú ý

z∈K


− 2t x − y, z − y + t2 z − y 2 .


− 10 −

❉♦ ➤ã

Φ (0) = −2 x − y, z − y ≥ 0. ➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛ ✭✶✳✸✮✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐ ♥Õ✉

y, z − y ≥ x, z − y

✈í✐ ♠ä✐

z∈K

t❤×

y = PK x.

❚❤❐t

✈❐②✱ t❛ ❝ã

0 ≤ y − x, z − y = y − x, z − x + x − y =
= y − x, z − x + y − x, x − y =
= y − x, z − x − y − x

2



H✳

≤ x−x

y = PK x ✱ y = PK x

, ∀x, x ∈ K.
t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✺ t❛ ❝ã

y, z − y ≥ x, z − y , ∀z ∈ K

✭✶✳✺✮

y , z − y ≥ x , z − y , ∀z ∈ K.

✭✶✳✻✮

✈➭

❚❤❛②

z=y

✈➭♦ ✭✶✳✺✮ t❛ ➤➢î❝

y, y − y ≥ x, y − y .

✭✶✳✼✮



PK x − PK x
❇æ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✸✳

= y−y

≤ x−x .

✷

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐➯ sö
❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵✳ ❇➭✐ t♦➳♥ t×♠

x∈K

K

❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣

Rn

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

x ∈ K

f : K → Rn


x ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
f (x), z − x ≥ 0 , ∀z ∈ K

✭✶✳✶✵✮


− 12 −

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

x = PK (x − f (x)).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✺ t❛ ❝ã

x = PK (x − f (x)) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

x, z − x ≥ x − f (x), z − x , ∀z ∈ K.
➜✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

f (x), z − x ≥ 0 , ∀z ∈ K.
❚❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✷

➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ❦Õt q✉➯ ➤➬✉ t✐➟♥ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✽✳ ●✐➯ sö r➺♥❣

K ⊂ Rn

▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

f (x0 ), y − x0 ≥ 0 , ∀y ∈ K.
❉♦ ➤ã

Φ(x) = PK (x − f (x))✳

x0 ∈ S(K, f )✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷


13


ự tồ t ệ ủ s ớ t tử ệ

r sốt ú t sử r

X

ố ủ

ị ĩ

X



KX


x, y K



f = g : K X

ệ t ớ

t [0, 1] từ t ó
g(y + t(x y)) t(g(x) g(y)) + g(y).

ó

g(y + t(x y)) g(y)
(g(x) g(y)).
t
ừ s r

lim[
t0

ột t ồ

g(y + t(x y)) g(y)
] (g(x) g(y)).
t


14


ế ớ t ỳ ữ ề
tụ ế tứ ế
ớ ọ

(xn ) E X



E X
xn x

y X

ị ý s t ết q tồ t ệ ủ s ớ t tử ệ tr
ề
ị ý tr sử


f : K X

ữ ề ủ

K X

t ồ ó rỗ ị

ột t tử ệ tụ tr

X ó tồ t x K


x ∈ K : f (y), y − x ≥ 0 , ∀y ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐

f

❉♦

x∈K

s❛♦ ❝❤♦

✭✷✳✼✮

f (x), y − x ≥ 0,

∀y ∈ K.

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❛ ❝ã

0 ≤ f (y) − f (x), y − x = f (y), y − x − f (x), y − x , ∀x, y ∈ K.
❚õ ➤➞② s✉② r❛

f (y), y − x ≥ f (x), y − x ≥ 0.
❚❛ ❝ã ✭✷✳✼✮✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐ ❣✐➯ sö r➺♥❣ ✭✷✳✼✮ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ❉♦

tw + (1 − t)x = x + t(w − x) ∈ K

✈í✐ ❜✃t ❦ú


M

t → 0✱

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳ ❱×

yt = tw + (1 − t)x ∈

sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉

f ✱ t❛ ❝ã
f (x), w − x = lim f (yt ), w − x .
t→0

❱×

f (yt ), w − x ≥ 0 t❛ s✉② r❛ f (x), w − x ≥ 0. ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã ✭✷✳✻✮✳ ❇æ ➤Ò ➤➢î❝

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳✷
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳

●✐➯ sö

M ⊂X

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛

j:M →X
✈➭



KM

t ó ị

t t t

tụ ị ý tồ t

uM KM

j f j

s

j f j(uM ), v uM 0 , v KM .
ề t ớ

f j(uM ), j(v uM ) 0 , v KM .


f (uM ), v uM ) 0 , v KM .



ổ ề t ớ

f (v), v uM 0 , v KM .
ét t


tứ

d(M ) n

n
i=1 S(vi )
t

s

f (v), v u 0 , v KM .


v = vi KM , i = 1, 2, ..., n t ó
f (vi ), vi u 0 , i = 1, 2, ..., n.

=

t

KM = K M =


− 17 −

❚õ ➤➞② s✉② r❛

n

u∈


− 18 −

❈❤➢➡♥❣ ✸
❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❱■s ✈í✐ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐➟♠
❝ñ❛ ❱■s ❝❤♦ ❤❛✐ ❧í♣ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❜❛♦ ❣å♠ ❧í♣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❑❛r❛♠❛❞✐❛♥ ✈➭ ❧í♣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇rÐ③✐s✳
◆❤➢ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✱
♥❣➱✉ ❝ñ❛

✸✳✶✳

X

✈➭

X

K⊂X

✈➱♥ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐

❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳




2 − x

x

♥Õ✉
♥Õ✉

x ∈ [0, 1]
x ∈ (1, 2].


19

ết q s t ề ệ ủ ề sự tồ t ệ ủ s
t tử ệ
ị ý tr sử
t ồ ó sử

f : K X

K X

ệ tụ tr

ữ ề ủ ó ệ ề ớ t

(a) ồ t ể xref K


ể ứ ị ý tr ú t ột ết q ở rộ ủ ổ ề
t s
ổ ề tr sử t ồ ó tr
tự

f : K X

ớ ọ ể

ệ sử

x, y K
[0, 1]

tụ t

f

tụ tứ



t f (tx + (1 t)y), x y

0+ ó x K

ệ ủ ỉ

f (y), y x 0 , y K.



sử tồ t ì

tỏ ớ ỗ

xK

X

tr

xref K

s

ú t t

Q(x) = {y K : f (x), x y 0}
rõ r
t

Q(x)

{Q(x)}xK

K

ú t sẽ ỉ r r ọ

ú t ý ệ


L

ì

t

t

L L = () L

ét

ợ ị ĩ ở

fL (x), y = f (x), y , y L.
ị ý tồ t tr

uL L



s

f (uL ), y uL 0 , y KL .
ì

f

tụ tr ữ ề ủ

❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤÷✉ ❤➵♥✳

❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t ②Õ✉ ❝❤ø❛

Q(x)✱ t❛ ❝ã
Q(x) = ∅.

x∈K
❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ✈❡❝t♦r

❉♦

f

u∈Ω∩K

s❛♦ ❝❤♦

f (x), x − u ≥ 0,

∀x ∈ K.

f (u), x − u ≥ 0,

∀x ∈ K.

❧➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❛ ❝ã

u ∈ S(K, f )✳



❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛


22

rés ế ớ ọ

(xi ) K

ớ ọ

x, y K

t

x lim inf f (xi ), x xi 0

xi
tì

lim sup f (xi ), y xi f (x), y x .
í ụ ế

X

ữ ề

f


f (x, y) = (x3 , y 2 )

ì

f

tụ

t ĩ rés ế ọ
tì t ó

f (v), u v = 2



f (u), u v = 2

X

ữ

u = (1, 0)

ó

f





ị ý sử

X

KX

t ồ t

f :K

ệ t ĩ rés tụ tr

ữ ề ủ

X ó ó ệ

ứ ý ệ

L ọ tt ữ ề ủ

X ớ ỗ L L ú t t KL = K L ị ĩ fL : KL L
ở tứ

y L.

fL (x), y = f (x), y ,
ét
t

V I(KL , fL ) ì KL



s tồ t



fL (x), y x 0 , y KL .
ừ ú t t

SY =

t ữ ở

SY

ở ì

xY SY

ó ủ

SY



ữ ọ

{S Y }Y L

ó tí


SY K



K

S Li .
i=1

t t í t ữ ủ t

tỏ

S Y = .
Y L


− 24 −

◆❤➢ ✈❐② ❝ã ➤✐Ó♠

x0 ∈ S Y

y∈K

✈➭ ❝❤ä♥

▲✃② t✉ú ý



t❛ ❝ã

f (xi ), v − xi ≥ 0,

∀v ∈ KY .

➜➷❝ ❜✐Öt

f (xi ), x0 − xi ≥ 0

✈➭

f (xi ), y − xi ≥ 0.

❍➡♥ t❤Õ ♥÷❛

lim inf f (xi ), x0 − xi ≥ 0.
❱×

f

❧➭ ❣✐➯ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇rÐ③✐s t❛ ❝ã

f (x0 ), y − x0 ≥ lim sup f (xi ), y − xi ≥ 0.
◆❤➢ ✈❐② ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣

f (x0 ), y − x0 ≥ 0,
➜✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ r➺♥❣