TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - TỈNH LAI CHÂU
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 10
(Đề này có 01 trang gồm 5 câu)

Câu 1. (5,0 điểm): Giải hệ phương trình
 4 x 2 + 3xy − 7 y 2 + 4 ( x 2 + 5 xy − 6 y 2 ) = 3 x 2 − 2 xy − y 2
( x, y ∈ ¡
 2
2
3 x + 10 xy + 34 y = 47

)

Câu 2. (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm của tam giác, M là

·
·
trung điểm của BC, I là giao điểm các phân giác của ABH
và ACH
. Chứng minh
MI đi qua trung điểm của AH.
Câu 3. (4,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng:

a
b
c
3

1
3 x − 2 xy − y ≥ 0
ĐK:  2
2
4 x + 3 xy − 7 y ≥ 0

Điểm
0,5

Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình (1), ta được


1
+
4
÷= 0
( x 2 + 5xy − 6 y 2 )  2
2
2
2
÷
4
x
+
3
xy
−
7
y
+

y =
82
2
82 y = 47 ⇔ 

47
⇒x=6
y = −
82


1,0

47
82
47
82



47 47   47
47  
;
;−
KL: S = ( 1;1) , ( −1; −1) ,  −6
÷,  6
÷
82
82
82

⇒ E và D đối xứng qua MN
·
µ ECB
·
µ
Ta lại có DBC
= 90 0 − C,
= 90 0 − B

(

1,0

)

1
·
·
µ = 45 0 − 1 A
µ
ABI
= IBD
= 90 0 − A
2
2
1µ
·
·
= ICH
= 450 − A

µ = 90 0 − A
µ
IME
= IMB
− EMB
= 180 0 − 2IBC
− 180 0 − 2B

(

·
µ
Chứng minh tương tự ta có IMD
= 90 0 − A

3

1,0

⇒ ∆EMI = ∆DMI ( c.g.c ) ⇒ IE = ID
⇒ I thuộc đường trung trực của ED ⇒ M, I, N thẳng hàng.

0,5

a
ab 2
ab 2
ab
Ta có
=


)

1,0

a
b
c
ab + bc + ca
ab + bc + ca
( *)
+
+
≥
a
+
b
+
c
−
=
3
−
1 + b 2 1 + c2 1 + a 2
2
2
2
a + b + c)
(
Mặt khác, ta biết ab + bc + ca ≤

duy nhất thỏa mãn đề bài.
5

Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy sẽ có 5 ô được tô
màu (ô màu) và 5 ô không được tô màu (ô trắng).
Ta có nhận xét:
Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số bi ở 5 ô màu
không đổi.
Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2.
Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2.
Vậy tổng số ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2, hoặc tăng
lên 2. Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ
so với ban đầu.
Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (số lẻ) nên sau hữu hạn lần
di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và
khác 10, do đó không thể chuyển các viên bi về cùng 1 ô.

0,5
0,5
0,5
0,5