BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ DUNG

SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI, NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ, tôi đã nhận được sự giúp đỡ,
tạo điều kiện của nhiều cá nhân, tập thể.
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Trần
Trọng Nguyên đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán,
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cũng như các thầy cô giáo đã tham gia
giảng dạy khóa cao học 2014–2016 đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến
thức cho tôi trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo
điều kiện, động viên để tôi hoàn thành nhiệm vụ.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn, tuy nhiên luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng

1.1. Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................... 3
1.1.1. Mẫu ngẫu nhiên ....................................................................................... 3
1.1.2. Một số phân phối cơ bản ......................................................................... 3
1.1.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất trong phân tích hồi quy ................ 4
1.1.4. Các khái niệm quan trọng trong lý thuyết cực trị nhiều chiều................ 5
1.1.4.1. Phân phối giá trị cực trị nhiều chiều .................................................... 5
1.1.4.2. Phân phối Pareto tổng quát .................................................................. 7
1.1.4.3. Hàm sống sót ........................................................................................ 9
1.2. Copula ........................................................................................................ 9
1.2.1. Copula và copula sống sót .................................................................... 10
1.2.2. Copula thực nghiệm .............................................................................. 10
1.3.1. Sự phụ thuộc nhiều chiều ...................................................................... 11
1.3.2. Các biến ngẫu nhiên liên kết ................................................................. 13
1.3.3. Sự phụ thuộc đuôi ................................................................................. 14
Chương 2 ......................................................................................................... 17
ƯỚC LƯỢNG HỆ SỐ PHỤ THUỘC ĐUÔI ................................................. 17
2.1. Ước lượng theo Poon, Rockinger và Tawn ............................................. 17


2.1.1. Nền tảng lý thuyết ................................................................................. 17
2.1.2. Phân tích ước lượng phi tham số  và  ........................................... 22
2.2. Ước lượng theo Sornette và Malevergne ................................................. 24
2.2.1. Ước lượng phi tham số theo Sornette và Malevergne .......................... 24
Chương 3 ......................................................................................................... 30
ỨNG DỤNG SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI
CHÍNH ............................................................................................................ 30
3.1. Nghiên cứu sự phụ thuộc bằng phương pháp xấp xỉ theo Poon, Rockinger
và Tawn ........................................................................................................... 32
3.2. Nghiên cứu sự phụ thuộc bằng phương pháp xấp xỉ theo Sornette và
Malevergne ...................................................................................................... 34

phải chịu tổn thất lớn, giả định các tài sản khác cũng chịu tổn thất mức độ lớn.
Với mục đích tìm hiểu lại vấn đề và bổ sung một số ứng dụng thực tiễn
trong đo lường rủi ro tài chính, tôi đã chọn đề tài luận văn "Sự phụ thuộc
đuôi và ứng dụng trong đo lƣờng rủi ro tài chính".


2

2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi giữa các biến ngẫu nhiên ở đuôi của
phân phối và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính.
• Xây dựng code Matlab để mô phỏng các ước lượng hệ số phụ thuộc
đuôi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên ở đuôi của phân
phối thông qua việc đánh giá các xác suất.
• Vận dụng sự phụ thuộc đuôi trong đo lường rủi ro của một số tài sản
tài chính đang niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam.
• Sử dụng các hàm nối copula trong đo lường rủi ro.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
• Khái niệm, tính chất sự phụ thuộc đuôi, phương pháp ước lượng sự
phụ thuộc đuôi.
• Hàm nối copula.
• Ứng dụng ước lượng sự phụ thuộc đuôi cho 9 cổ phiếu trên thị trường
chứng khoán Việt Nam.
• Dữ liệu nghiên cứu được lấy từ các trang web chính thức của Sở Giao
Dịch Chứng Khoán Thành Phố Hồ Chí Minh và Hà Nội.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
• Đọc sách và nghiên cứu tài liệu, tham khảo các bài báo, các giáo trình
liên quan đến rủi ro tài chính và sự phụ thuộc đuôi.

Khi đó ta có một số khái niệm cơ bản sau:
• Hàm phân phối đồng thời
Định nghĩa 1.2. Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên

X  (X1 ,X 2 ,...,X n ) được định nghĩa như sau:
F  x   P  X1  x1; X 2  x 2 ;..., X n  x n 
n

 P  (Xi  x i )  ,
 i 1


• Các hàm phân phối biên
Hàm phân phối xác suất của biến Xi là

(  xi   , i  1, , n).


4

Fi ( xi )  P[( X 1  )( X 2  )...( X i  xi )...( X n  )]
 lim F ( x1 , x2 ,..., xn )
x j 
j i

 P( X i  xi ) .
• Phân phối chuẩn
Định nghĩa 1.3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo quy luật phân
phối chuẩn (hay phân phối Gauss) với hai tham số (, 2 ) được kí hiệu là
X ~ N (, 2 ) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

f ( x)  
 0

,x0
.
,x0

1.1.3. Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất trong phân tích hồi quy


5

Trong tiểu mục này chúng ta chỉ đưa ra phương pháp bình phương nhỏ
nhất trong phân tích hồi quy đối với mô hình hồi quy tuyến tính
Xét mô hình hồi quy tuyến tính có dạng:
y  f ( x)  ax  b  

trong đó  xk , yk k 1 là một mẫu ngẫu nhiên quan sát về y, x ;  là đại lượng
n

ngẫu nhiên nào đó; a và b được gọi là các hệ số hồi quy, được xác định sao
n

cho tổng bình phương sai số bằng E    yk  axk  b    cực tiểu. Dễ thấy
2

k 1

tổng trên đạt cực tiểu tại a và b được xác định:
n


b

n

n

n

n

n

xk  xk yk   x  yk

k 1
k 1
k 1
k 1
2
k

2

n
 n

x

n

Giả sử tồn tại dãy hằng số an  0 và bn thực ( n  1,2,... ) sao cho:

max( X 1 , X 2 ,..., X n )  bn
có giới hạn là một phân phối không suy biến khi
an
n   , nghĩa là:

lim F n (an x  bn )  G( x).

(1.1)

n

Các hàm phân phối G(x) có thể xảy ra trong giới hạn (1.1) được gọi là
hàm phân phối giá trị cực trị. Lớp các hàm phân phối F ban đầu thỏa mãn
(1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là miền hấp dẫn của G,



1
1
với lim 

.

x [1-F(a x+b )]
ln
G
(
x

 x   P( X1  x), x.
an



Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.2), ta có các kết quả sau:
•   0, sử dụng hàm G (

x 1
1
), đặt    0 :





e  x

 ( x)  

0



,x  0
,
,x  0

Lớp phân phối này gọi là phân phối Frechet.
x

Khi đó với ngưỡng u đủ lớn thì hàm phân phối vượt ngưỡng Fu ( y ) sẽ xấp xỉ
phân phối G , ( y) , trong đó
1

 

1  (1   y) ,   0
G , ( y )  
.
y



 0

1  e ,


8

G , ( y) được gọi là phân phối Pareto tổng quát, kí hiệu là GPD, tham số 
đặc trưng cho đuôi của GPD gọi là chỉ số đuôi.
Ta có liên hệ giữa phân phối Pareto và phân phối cực trị EV:
W(x)  1  log G( x) , nếu log G ( x)  1

Khi đó các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối
cực trị EV là:

 0
x

• Pareto (GP1 ),  0 : w1, (x)   x(1 ) , x  1 .
• Beta (GP2 ),  0 : w 2, (x)   ( x)(1 ) , 1  x  0.
Định nghĩa1.8. Nếu X là một biến ngẫu nhiên có phân phối
Pareto ( GP1 ), thì xác suất để X lớn hơn một giá trị x nào đó tức là hàm sống
sót (hay được gọi là hàm đuôi) được cho bởi:

 xm 

F ( x)  P  X  x    x 
1


x  xm
x  xm

.


9

trong đó xm là giá trị dương nhỏ nhất của X, và  là tham số dương. Phân
phối Pareto ( GP1 ) được đặc trưng bởi một tham số vô hướng xm và một tham
số hình dạng  (được gọi là chỉ số đuôi). Khi phân phối này được sử dụng
vào mô hình phân phối tài sản, thì tham số  được gọi là chỉ số Pareto.
Từ định nghĩa 1.8 ta đưa ra được khái niệm phân phối đuôi dày như sau:
Định nghĩa 1.9. Phân phối của một biến ngẫu nhiên X với hàm phân
phối F được gọi là có phân phối đuôi dày nếu:

lim e x P  X  x    với mọi   0 ,
x

vào trường hợp hai biến.
1.2.1. Copula và copula sống sót
Hàm phân phối hai biến FX ,Y của hai biến ngẫu nhiên X và Y với các
phân phối biên Fx . và Fy . có thể được viết dưới dạng:
FX ,Y  x, y   P  X  x, Y  y 

(1.4)

 C  FX  x  , FY  y   .

trong đó C .,. xác định trên 0, 1  0, 1 được gọi là copula của hai biến
ngẫu nhiên X và Y , và xác định duy nhất nếu các biến ngẫu nhiên có phân
phối biên liên tục. Hơn nữa, copula là bất biến đối với các phép biến đổi tăng
ngặt của các biến ngẫu nhiên (đã được chứng minh trong tài liệu [14] (2006)),
do đó nó là một độ đo thực hoặc là một thang đo bất biến sự phụ thuộc. Ta kí
hiệu hàm sống sót đồng thời P  X  x, Y  y  bởi FX ,Y  x, y  khi đó ta có thể
viết:

FX ,Y  x, y   1  FX  x   FY  y   FX ,Y  x, y 

(1.5)

 C FX  x  , FY  y .

trong đó C .,. xác định trên 0,1  0,1 được gọi là copula sống sót của hai
biến ngẫu nhiên X và Y .
1.2.2. Copula thực nghiệm
Nếu không biết hàm phân phối FX ,Y của hai biến ngẫu nhiên X và Y
và các hàm phân phối biên FX . và FY . , chúng ta có thể tính toán copula
thực nghiệm bằng cách đếm số các cặp mà thỏa mãn các ràng buộc cho trước.

trong đó u, v0,1 và I là hàm chỉ tiêu.
Một số họ copula quan trọng như họ copula Elliptic, copula
Archimede,…có thể tham khảo trong [14] (2006).

1.3. Khái niệm và tính chất của hệ số phụ thuộc đuôi
1.3.1. Sự phụ thuộc nhiều chiều
Trong trường hợp nhiều chiều các khái niệm sự phụ thuộc trở nên khó
khăn và phức tạp. Dưới đây ta sẽ đưa ra một số khái niệm cơ bản để đo sự phụ
thuộc giữa các biến ngẫu nhiên.
Để đo sự phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên người ta thường sử dụng
sự tương quan tuyến tính. Tuy nhiên thực tế việc đo lường rủi ro bằng phương
pháp đó không cho ta những ước lượng rủi ro chính xác cao. Do đó, sự phụ
thuộc vào cấu trúc các biến ngẫu nhiên được biểu diễn bởi các copula lại cung
cấp cho ta một phương pháp tối ưu để nghiên cứu và liên kết phép đo sự phụ
thuộc giữa các biến ngẫu nhiên để đưa ra các ước lượng rủi ro với độ chính
xác cao nhất.
• Tƣơng quan tuyến tính
Định nghĩa 1.10. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y với phương sai hữu hạn.
Khi đó hệ số tương quan (tuyến tính) giữa X và Y được biểu thị bởi công
thức:

r

Cov( X , Y )
Var( X ). Var(Y )

Với Cov( X ,Y )  E ( XY )  E ( X ) E (Y ) là hiệp phương sai giữa X và Y ,
Var( X ),Var(Y ) kí hiệu là phương sai của X và Y .




(1.8)

i 1

Tổng quát,

x   x1,..., xn  

n

X

được gọi là phụ thuộc dương nếu với mọi

thì cả (1.7) và (1.8) đều thỏa mãn.

Định nghĩa cho NLOD (sự phụ thuộc âm dưới), NUOD (sự phụ thuộc
âm trên), và tổng quát NOD (sự phụ thuộc âm) có thể được giới thiệu bằng
cách đổi chiều các bất đẳng thức.
Nếu X có phân phối đồng thời F với các biên duyên Fi , i  1,..., n. thì
phương trình (1.7) tương đương với :

F  x1,..., xn   F1  x1 ...Fn  xn  ,
với mọi x 

n

(1.9)


2

: FX ,Y  FX  x .FY  y  .

(1.12)

ở đó các tính chất của sự phụ thuộc góc phần tư là bất biến dưới các phép biến
đổi tăng ngặt. Hai biến ngẫu nhiên X và Y là PQD nếu Cov  f  X  , g  Y  
dương với mọi hàm tăng f và g mà kỳ vọng E  f  X   , E  g Y   , và
E  f  X .g Y   đều tồn tại.

1.3.2. Các biến ngẫu nhiên liên kết
Các biến ngẫu nhiên X 1 ,..., X n được gọi là liên kết dương nếu với mỗi
cặp a và b các hàm thực không giảm xác định trên

n

thì

Cov  a  X 1 ,..., X n  , b  X 1,..., X n    0.

(1.13)

Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 ,..., X n có các phân phối giá trị cực trị nhiều chiều
thì chúng được liên kết.
Một phân phối giá trị cực trị nhiều chiều G thỏa mãn điều kiện:
n

G  x1 ,..., xn    Gi ( xi ), x 



. Để hiểu thêm về sự phụ thuộc

tiệm cận toàn phần và sự độc lập tiệm cận toàn phần chúng ta có thể tham
khảo trong tài lệu tham khảo [4] (2000) và [8] (1983).
Các biến ngẫu nhiên độc lập từng cặp mà có phân phối đồng thời giá trị
cực trị nhiều chiều thì độc lập tương hỗ. Vì vậy việc nghiên cứu sự độc lập
tiệm cận có thể được giới hạn trong trường hợp hai biến.
Sự độc lập tiệm cận toàn phần chỉ xảy ra nếu phương trình (1.1) thỏa
mãn, và tồn tại x 

n

sao cho 0  G j  x j   1 với j  1,..., n và

n
Fj n  an , j x j  bn , j  
 G j  x j .

Hơn nữa phương trình (1.15) chỉ xảy ra với mọi x 

(1.17)
n

nếu:

Gi là phân phối Gumbel chuẩn hoặc
Gi là phân phối Frechet hoặc
Gi là phân phối Weibull.
Tương tự với các điều kiện thỏa mãn cho trường hợp phụ thuộc tiệm

lớn nào đấy khi biết rằng giá cổ phiếu A đã tăng mạnh (hoặc giảm mạnh) vượt
trên mức biên độ lớn nào đó.
Định nghĩa 1.11. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm
phân phối Fi và F j . Khi đó hệ số phụ thuộc đuôi trên ij được xác định bởi:

ij  lim P X  Fi 1  u  | Y  Fj 1 u ,
u 1

(1.19)

tồn tại với ij   0;1 , Fi 1 (u), Fj1 (u) lần lượt biểu diễn các điểm phân vị của
tài sản X và Y tại u.
• Nếu ij   0;1 thì X và Y là phụ thuộc tiệm cận ở đuôi trên.
• Nếu ij  0 thì X và Y là độc lập tiệm cận ở đuôi trên.
Vì hệ số phụ thuộc đuôi có thể được biểu diễn theo copula của X và Y nên ta
có một định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.11 được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.12. Nếu tồn tại một copula C hai chiều mà

C  u, u 
1  2u  C  u, u 
tồn tại, khi đó C có sự phụ thuộc

lim
u 1 1  u
u 1
1 u

ij  lim

đuôi trên nếu ij   0;1 , và không có sự phụ thuộc đuôi trên nếu ij  0 .

Nhiều khái niệm và cách ước lượng khác nhau đã được phát triển để
tính toán hệ số phụ thuộc đuôi như đã mô tả ở phương trình (1.19) và (1.20).
Chương này chúng ta trình bày và mô tả chi tiết các khái niệm quan trọng
nhất cho việc ước lượng sự phụ thuộc đuôi cũng như phần bù của chúng, và
phân tích việc thực hiện tính toán các hệ số.
2.1. Ƣớc lƣợng theo Poon, Rockinger và Tawn
Trong tiểu mục đầu tiên, chúng ta sẽ bắt đầu với một số khái niệm để
ước lượng các độ đo phụ thuộc cho cực trị nhiều chiều đã được giới thiệu bởi
Poon, Rockinger, và Tawn xuất bản năm 2004 trong [11] (2004), với một số
giải thích thêm được cung cấp bởi Heffernan, Coles, Heffernan và Tawn,
Ledford. Sau đó ta sẽ đi vào một số chi tiết liên quan đến ước lượng phi tham
số các độ đo của đề tài và phù hợp với các mô hình tham số. Trong tiểu mục
thứ hai, ta sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về việc thực hiện ước lượng phi
tham số cho sự phụ thuộc tiệm cận  và độc lập tiệm cận  .
2.1.1. Nền tảng lý thuyết
Trong tiểu mục này, chúng ta sẽ được cung cấp một cái nhìn tổng quan
về các khái niệm và các ước lượng khác nhau để mô tả sự phụ thuộc tiệm cận
và độc lập tiệm cận trong trường hợp hai biến.
Các độ đo độc lập cho cực trị nhiều chiều
Để giảm bớt các thông tin chứa trong copula C cho một tham số duy
nhất, hai độ đo của sự phụ thuộc cực trị χ và  đã được giới thiệu trong tài
liệu tham khảo [13] (1999). Cả hai biến đều cần phải kiểm tra xem là phụ
thuộc tiệm cận hay độc lập tiệm cận. Đầu tiên lợi suất của hai biến X và Y


18

được chuyển sang các hàm biên duyên Frechet S và T bởi lợi suất tài sản rủi
ro có phân phối đuôi dày:


1 u
log C  u , u 
 lim 2 
,
u 1
log u

  lim

(2.4)

với 0    1, χ bằng với hệ số phụ thuộc đuôi trên được cho bởi phương
trình (1.20). Như đã đề cập ở chương trước, S và T là phụ thuộc tiệm cận nếu
χ>0, và là phụ thuộc hoàn hảo nếu χ=1. Nếu χ=0, thì S và T độc lập tiệm cận.
Phần bù  được phát triển bởi Ledford và Tawn (1996) đã chỉ ra sự
phụ thuộc cực trị của các biến độc lập tiệm cận, nghĩa là với χ=0:

  lim
s 

2log  P  S  s  

log  S  s, T  s 

2log 1  u 
 1,
s  log C u , u
 

 lim

 1 với mọi y  0.
k  L  k 

lim

(2.8)

Khi đó chỉ số đuôi  được ước lượng bởi ước lượng Hill:
1

1 k Y 
    ln j , N  ,
 k j 1 Yk , N 

(2.9)

và L  y  được coi như là hằng số với y  k được ước lượng bởi:

L y 


k
.Yk , N  ,
N

(2.10)


20



lim L  s  cung cấp cơ sở cho việc ước lượng  và  .
s 

Theo giả thiết cho trường hợp hai biến, đặt Z  min S ,T  :
P  Z  z   P  min  S,T   z 
 P  S  z,T  z 
 L  z .z 1/ 

(2.14)
víi z  Z k,N .

với ngưỡng k nào đó đủ lớn.
Bởi vì  là chỉ số đuôi của một biến Z nên nó có thể được ước lượng bởi
phương trình (2.9) theo ước lượng Hill bằng cách hạn chế trên nửa khoảng

 0,1

và lim L  s  có thể được ước lượng bằng cách sử dụng phương trình
s 