Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học dân lập đông đô
Khoa công nghệ thông tin

Luận văn tốt nghiệp
một số vấn đề ứng dụng của đồ thị
trong tin học

Giáo viên hớng dẫn : PGS.TS Đỗ Đức Giáo
Giáo viên phản biện :
Sinh viên thực hiện

: Phan Thanh Long

Lớp

: CT96A - Khoá II

Hà Nội 6 - 2000


Lời nói đầu
Bớc sang năm bản lề của thế kỷ 21, nhìn lại thế kỷ 20 là thế kỷ mà con ngời
đạt đợc nhiều thành tựu khoa học rực rỡ nhất, một trong những thành tựu đó là sự
bùng nổ của ngành khoa học máy tính. Sự phát triển kỳ diệu của máy tính trong
thế kỷ này gắn liền với sự phát triển toán học hiện đại, đó là toán rời rạc.
Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục.
Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực nh quan hệ, lý thuyết đồ thị, lôgíc toán, ngôn
ngữ hình thức... trong đó lý thuyết đồ thị là một bộ phận trọng tâm với nhiều
khối lợng kiến thức khá lý thú và đợc nghiên cứu nhiều nhất.
Toán rời rạc nói chung và lý thuyết đồ thị nói riêng là công cụ thiết yếu cho

thị nghiên cứu những cấu trúc mang tính rời rạc là 1 bộ phận quan trọng của
Toán học rời rạc.
Lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ thuật và đã đợc nghiên
cứu nhiều với khối lợng kiến thức khá đồ sộ. Đề tài đợc thực hiện trớc tiên sẽ đề
cập tới những vấn đề chủ yếu của Lý thuyết đồ thị, sau đó tuỳ từng nội dung
cũng sẽ xoay quanh tới những ứng dụng của đồ thị trong Tin học, giải quyết các
bài toán trong Tin học nh xác định xem hai máy tính trong mạng có thể truyền
tin đợc hay không nhờ mô hình đồ thị của mạng máy tính, hay là bài toán nối
mạng máy tính sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất hoặc việc khắc phục những gói
tin bị truyền sai nhờ các giải thuật đã nghiên cứu về đồ thị. Có những ứng dụng
của đồ thị không đi trực tiếp vào các lĩnh vực trong Tin học, ví dụ nh bài toán lập
lịch trong công tác hành chính, xác định đờng đi ngắn nhất giữa 2 điểm nút giao
thông, ta cũng xem đó là ứng dụng 1 cách gián tiếp trong Tin học vì nếu đợc mô
hình tốt những bài toán đó bằng đồ thị thì sẽ giải quyết chúng dễ dàng bằng máy
tính, hoặc là về chơi cờ Ca rô tuy chỉ là môn chơi về trí tuệ nhng đồ thị cũng hỗ
trợ tốt cho nhng ai muốn lập trình chơi cờ Ca rô trên máy tính khi đã mô hình đợc các thế cờ bằng đồ thị.
Đề tài đợc thực hiện xong bao gồm những nội dung sau đây:
Chơng 1

Một số vấn đề cơ bản của đồ thị

Nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất về lý thuyết đồ thị, là cơ sở tìm
hiểu sâu sắc hơn các vấn đề tiếp theo. Ngoài các định nghĩa, tính chất cơ bản của
đồ thị, chơng này có trình bày đến 1 vấn đề quan trọng, đó là cách lu trữ, biểu
diễn và xử lý đồ thị trên máy tính khi đã xét những mô hình biểu diễn hình học.
Cấu trúc dữ liệu liên quan chặt chẽ đến giải thuật, việc biểu diễn đồ thị trên máy
tính nh thế nào sẽ ảnh hởng đến cách giải các bài toán ứng dụng bằng máy tính.
Trong chơng có trình bày một số phơng pháp biểu diễn đồ thị trên máy tính, mỗi
phơng pháp đều có những u và khuyết điểm riêng, vì vậy cần lựa chọn phơng
pháp sao cho phù hợp với đặc điểm từng bài toán và đạt đợc hiệu quả về thuật

Để giải quyết các loại bài toán này, trong chơng sẽ trình bày 1 số thuật toán
chính hay đợc sử dụng nh: Dijkstra, Ford-Bellman và Floyd.
Về mặt ứng dụng, trong chơng sẽ nêu ra giải thuật Viterbi cho ứng dụng khá
quan trọng trong lĩnh vực Tin học đó sửa gói tin sai khi truyền tin trong mạng
máy tính.
Khi nói đến đờng đi ngắn nhất, ngời ta cũng hay nói đến mở rộng của bài toán
đờng đi ngắn nhất thành đờng đi dài nhất. Trong vấn đề này ta lại có 1 ứng dụng
nữa trong công tác lập lịch, đó là sơ đồ mạng PERT cho việc lập dự án thi công
một công trình. ứng dụng này rất thực tiễn và đã đem lại nhiều hiệu quả cao cho
việc thi công một công trình.
Chơng 5

Một số vấn đề về cây

Đây là chơng cuối cùng và là chơng sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng nhất. Cây là
một trờng hợp riêng của đồ thị, để nghiên cứu hết các tính chất, khái niệm về cây


cần cả 1 khối lợng kiến thức đồ sộ và đã có những đề tài cấp luận văn hoặc hơn
thế nữa nghiên cứu về cây. Trong chơng này chỉ đề cập tới những điểm chính
nhất, cơ bản nhất về cây và tập trung khai thác những ứng dụng của nó.
Những ứng dụng của cây thì rất nhiều, trong chơng chỉ đề cập tới những ứng
dụng cơ sở nhất nhng cũng thiết thực nhất, đó là 1 số ứng dụng của cây nhị phân
nh mã tiền tố, cây biểu diễn biểu thức, cây quyết định, cây sắp xếp và tìm kiếm.
Trong lý thuyết đồ thị, khi nói về cây thì cây bao trùm là vấn đề không thể
thiếu, vì đây cũng là đặc điểm rất hay của đồ thị. Trong cây bao trùm lại có cây
bao trùm bé nhất, lớn nhất và đây lại là 1 dạng của bài toán tối u. Trong chơng
cũng sẽ giới thiệu ứng dụng thực tiễn của cây bao trùm nhỏ nhất trong việc kết
nối mạng sao cho chi phí nhỏ nhất, đồng thời đa ra 1 số thuật toán tìm cây bao
trùm, đặc biệt có những thuật toán rất cơ sở đợc nêu ra, đợc dùng nhiều trong

10

II. Các loại đồ thị .............................................................................. 11
1. Đồ thị vô hớng .....................................................................................
2. Đồ thị có hớng .....................................................................................
3. Đồ thị hỗn hợp ......................................................................................

11
11
11

III. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ ........
thị

11

1. Bậc đồ thị ...............................................................................................
1.1 Bậc đồ thị vô hớng ............................................................................
1.2 Bậc đồ thị có hớng ............................................................................
2. Đờng đi và chu trình ...........................................................................
2.1 Đờng đi .............................................................................................
2.2 Chu trình ............................................................................................
3. Đồ thị liên thông ....................................................................................
4. Đồ thị con và đồ thị bộ phận ................................................................

11
11
12
13
13

18
19
19
22
22

Chơng 2 Số ổn định và tô màu đồ thị ..........................

24

I. Số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị ...............

24

1. Số ổn định trong ....................................................................................
2. Số ổn định ngoài ....................................................................................
3. Nhân đồ thị ............................................................................................
4. Các thuật toán tìm các tập ổn định trong cực đại, ổn định ngoài
cực tiểu.
4.1 Thuật toán tìm số ổn định trong ........................................................
4.2 Thuật toán tìm số ổn định ngoài........................................................

24
24
24
25

II. tô màu đồ thị ..................................................................................

29

35

1. Chu trình Euler ........................ ............................................................ 35
1.1 Định nghĩa
35
..........................................................................................
1.2 Thuật toán tìm chu trình Euler
37
...........................................................


2. Đờng đi Euler ......................................................................................
2.1 Định nghĩa
..........................................................................................
2.2 Thuật toán tìm đờng Euler ...............................................................

38
38

II. Chu trình và đờng đi Hamilton .......................................

39

38

1. Chu trình Hamilton .............................................................................. 39
2. Đờng Hamilton .................................................................................... 40
3. Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton ............................... 41

Chơng 4 Đờng đi ngắn nhất trong đồ thị ......

2. ứng dụng trong việc lập lịch thi công của một công trình ................ 50
IV. Chơng trình mô tả thuật toán Dijkstra tìm đờng đi
ngắn nhất

Chơng 5

Một số vấn đề về cây ........................................

53

56

I. Các khái niệm và tính chất cơ bản ............................................ 56

1. Định nghĩa ....................................................................................................
2. Một số khái niệm cơ bản ...........................................................................
3. Cây m phân ..................................................................................................
4. Các ứng dụng ...............................................................................................

56
57
58
58


4.1 Mã tiền tố .................................................................................................
4.2 Cây biểu diễn biểu thức ..........................................................................
4.3 Cây quyết định ........................................................................................
4.4 Cây sắp xếp và tìm kiếm ........................................................................
4.4.1 Sắp xếp chèn với tìm kiếm nhị phân ...............................................

3.2.3 Chơng trình thể hiện thuật toán ...................................................
3.3 ứng dụng cho bài toán kết nối hệ thống mạng .................................
4. Cây bao trùm lớn nhất ..............................................................................
4.1 Định nghĩa ...............................................................................................
4.2 Thuật toán tìm cây bao trùm lớn nhất ..................................................

70
71
71
71
72
72
73
73
73
74
76
76
76
76
77
78
81
81
81
81

Kết luận ..................................................................................................
Tài liệu tham khảo ..........................................................................


cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội
y

x

y

x

y

a)
b)
c)
a. Tại đỉnh y có một khuyên b. Một cung có hớng từ x sang y
c. Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song song
Hình 1.1
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để
biểu diễn, nh sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lới giao thông, sơ đồ thi
công một công trình.


Ví dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô hình
đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy đợc nối với nhau bằng các
dây truyền, chúng tơng ứng là các cạnh của đồ thị. Một mô hình mạng máy
tính nh hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tơng ứng là các đỉnh, giữa
2 máy đợc nối trực tiếp với nhau thì tơng ứng với 1 cặp đỉnh kề nhau.
A

B

D

C

b)
b. Giả đồ thị

II. Các loại đồ thị
1. Đồ thị vô hớng
Đồ thị G=<X,U> đợc gọi là đồ thị vô hớng nếu tất cả các cạnh e U mà
cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y) X không phân biệt thứ tự. Đồ thị vô hớng là đồ
thị không có bất kỳ một cung nào.


Ví dụ: nh hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hớng.
2. Đồ thị có hớng
Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị có hớng nếu tất cả các cạnh e U mà
cặp đỉnh thuộc nó e = (x, y) X có phân biệt thứ tự. Đồ thị có hớng là đồ thị
mà mọi e = (x, y) X đều là cung.
A

B

C

Hình 2.1 Đồ thị có hớng
3. Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị G=<X,U> vừa có cạnh vô hớng, vừa có cạnh có hớng thì nó đợc gọi là
đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi đợc dùng tới.
Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính

Ta đặt

m(G) = m + (x) +
x X

m



(x)

x X

Khi đó m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị có hớng G = <X,U>.
Trong đồ thị có hớng thì m+(x) = m-(x) = U
Ví dụ:
- Xét đồ thị vô hớng nh trong hình 1.3.a ta có:
m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10
- Xét đồ thị có hớng trong hình 2.1 ta có:
m(G) = [m+(A) + m+(B) + m+(C) ] + [m-(A) + m-(B) + m-(C)]
= [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8
Định lý:
Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh
của đồ thị, tức là m(G) = 2U .
Chứng minh:
Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2,
nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết
cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0. Từ đó suy ra định lý.
Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn
Chứng minh:

Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đờng đi có thể lặp lại
Độ dài của đờng đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đờng đi đó.
*Chú ý rằng trong đồ thị có hớng, trên một cung uv chẳng hạn thì đờng đi chỉ
có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngợc lại.
2.2 Chu trình
Xét một đờng đi từ xi - xj. Nếu xi xj thì đờng đi này đợc gọi là một chu
trình. Nh vậy chu trình là một đờng đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng
nhau.
Chú ý rằng đờng đi trong đồ thị có hớng không đợc đi ngợc chiều mũi tên
- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một
lần.
- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần
A

E

B
C

D

Hình 3.1
Ví dụ nh ở hình 3.1 ADBE là một đờng đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3;
ABCDBE là đờng đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB
là một đờng đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA
Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đờng đi độ dài 0.
Xét đồ thị có hớng nh hình 2.1 thì ABCB là một đờng đi độ dài 3; CBA
không là một đờng đi vì không có cung đi từ B đến A.
Định lý:
Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 ( x X |

và U1 U2 =
Khi đó: X = X1 X2
U = U1 U 2
Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G1, G2.
A

B

D

E

F

C

Hình 3.3
Ví dụ nh đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:
G1 = <X1, U1> với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB}
G2 = <X2, U2> với X2= {D, E} và U2 = {DE}
G3 = <X3, U3> với X3= {F} và U3 =
Cho đồ thị có hớng G = <X, U>
- G đợc gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hớng tơng ứng với nó là liên
thông
- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn
có đờng đi x - y hoặc đờng đi y - x.
- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ
của G đều có đờng đi x - y và đờng đi y - x.
A


ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều đi
từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh
khác cũng tơng tự nh vậy. H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D) có
chiều đi từ D tới A nhng không có chiều đi từ A tới D. H 3 là liên thông yếu vì
tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi C - B,
nhng đồ thị vô hớng tơng ứng là liên thông.
4. Đồ thị con và đồ thị bộ phận
Cho đồ thị G = <X,U>
- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh
đó thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc là
nếu D = <X',U'> là đồ thị con của G = <X,U> thì X' X và U' U
- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhng giữ nguyên các đỉnh thì phần
còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G.
IV. Các dạng biểu diễn của đồ thị
1. Biểu diễn hình học của đồ thị
Để có cái nhìn trực quan ta thờng biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị có
thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Phơng pháp biểu diễn
nh sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông
nhỏ) và nối hai điểm bằng một đờng (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm đó ứng
với một cạnh (cung) của đồ thị.
Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đó
X = {A, B, C, D, E} và
U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE}
D

C
B

A
E

m

n

d

c

q

p

G1

G2
Hình 4.2

Ta có f : G1 G2
f(a) = m
f(c) = n
f(d) = q
f(b) = p
Nếu a, b X1 kề nhau thì f(a), f(b) X2 kề nhau.
Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G 1 và G2 thực chất chỉ là 1
chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau.
Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không
đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn.
Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến nh sau:
- Số đỉnh bằng nhau
- Số cạnh bằng nhau

3.3 Đồ thị bánh xe:
Ký hiệu Wn, thu đợc từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh
mới nối tất cả các đỉnh đã có.

W4
W5
Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe

W6

3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệt
ở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thờng đợc kết nối theo một cách
thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy). Dựa theo đặc điểm của các totolopy
này mà ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt. Ví dụ với mạng LAN
các máy tính đợc kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây:


Hình 4.6
ở dạng này, tất cả các máy đợc nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ
nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu. Từ đặc điểm
này có thể mô hình bằng một đồ thị bộ phận của đồ thị bánh xe W 6 nh hình
4.7.a

a)
b)
c)
d)
a) Dạng sao b) dạng vòng c) dạng hỗn hợp d) dạng đầy đủ (Complete)
Hình 4.7 Một số topolopy của LAN
ở mạng LAN ta cũng thờng có các dạng topolopy khác nh dạng chu trình


A

B

C

A
D

B

C

G1

G2
Hình 4.8

Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:
Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (x i, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn
viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó
M G1

1

1
=
1


mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj)
Ưu điểm của phơng pháp này là dễ dàng xác định đợc các cặp đỉnh có kề
nhau hay không hoặc rất thuận tiện khi tìm số bậc của mỗi đỉnh. Việc truy cập
phần tử của ma trận kề qua chỉ số không phụ thuộc vào số đỉnh của đồ thị.
Nhợc điểm lớn nhất của phơng pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của
đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lu trữ ma trận kề của nó.
Định lý:


Nếu G = <X,U> là đa đồ thị với A = (a ij) là ma trận kề tơng ứng, thì số đờng
đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử P ij của ma trận tích
AìAì...ìA = As = (Pij)
s lần

Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin khi đợc mô hình bằng
đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật. Ví dụ khi biểu diễn
một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền
giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đờng truyền dự
phòng giữa chúng không. Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đờng đi
giữa cặp đỉnh tơng ứng với 2 máy đó, nếu số đờng đi lớn hơn 1 là đã có đờng
truyền dự phòng.
* Chơng trình viết bằng PASCAL sau tính số đờng đi độ dài l nhập từ bàn
phím
Type MaTran = Array[1..20,1..20] Of Integer;
Var a, b, aa: MaTran;
n,l,x1,x2: Integer;
Procedure InputMt(Var Mt: Matran);
Var i, j: Integer;
Begin
For i:=1 to n do

Procedure FindWay(i,j: Integer); { Tim so duong di tu dinh i-->j }
Begin
If aa[i,j]0 then
Writeln('So duong di do dai ',l,' tu x',x1,' --> ','x2 ','la: ',aa[i,j])
Else
Writeln('Khong co duong di tu dinh ',i,' toi dinh ',j,' voi do dai ',l);
End;
BEGIN
Writeln('Nhap ma tran ke cho do thi:');
Write('So dinh do thi: '); Readln(n);
InputMt(a);
Write('Dinh xuat phat: '); Readln(x1);
Write('Dinh ket thuc: '); Readln(x2);
Write('Do dai duong di: '); Readln(l);
LthuaMt(l);
FindWay(x1,x2);
END.

4.2 Danh sách cạnh (cung)
Cho đồ thị G = <X, U> với số cạnh m, số đỉnh n. Nếu m < 6n thì G thờng đợc
biểu diễn dới dạng danh sách cạnh (cung).
Theo cách này danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hớng (có hớng).
Mỗi cạnh (cung) e = (x, y) của đồ thị tơng ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e].

4

2

1


3
1
2
4
4
1
3
4
4
2
Danh sách cạnh G1
Danh sách cung G2
Nh vậy để lu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhợc điểm của phơng
pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho tr ớc
chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh.
4.3 Danh sách kề
Phơng pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng đợc sử dụng khá phổ biến và
thờng hay dùng cho đồ thị có hớng.
Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của x i theo thứ
tự các đỉnh trong tập đỉnh X. Ta có thể biểu diễn đồ thị nh một mảng FIRST,
với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi.
Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách kề nh sau:

FIRST
1

2

3


a) Danh sách kề của đồ thị G1
FIRST
1

2

Nil

2

3

Nil

3

1

Nil

4

2

b) Danh sách kề đồ thị G2

3

Nil


Gọi M là tập của tất cả các tập ổn định ngoài của G = <X,U>. Khi đó ký hiệu
(G) = Min { / B M} và (G) đợc gọi là số ổn định ngoài của đồ thị G.
Đối với các tập ổn định ngoài, ta thờng quan tâm đến tập ổn định ngoài có số
phần tử ít nhất vì lực lợng của nó liên quan tới số ổn định ngoài của đồ thị.
3. Nhân đồ thị


Cho đồ thị vô hớng G = <X, U>. Nếu tập A X vừa là tập ổn định trong vừa là
tập ổn định ngoài của đồ thị G thị A đợc gọi là nhân của đồ thị.
Đối với nhân của đồ thị, ta quan tâm tới nhân có số phần tử ít nhất.

4

1

7
6

5

3

2

Hình 1.1
Ví dụ: xét đồ thị hình 1.1 ta có:
Các tập ổn định trong của đồ thị là:
A1 = {1, 5, 7}
A6 = {2, 6, 7}
A2 = {1, 6, 7}