DÙNG CHO
NĂM 2017
ỨNG DỤNG CỦA
MÁY TÍNH CẦM TAY
TRONG GIẢI TOÁN
PHẦN I
Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Mạnh Cường
TÀI LIỆU LƯU
HÀNH NỘI BỘ
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
CÁC CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. CHỨC NĂNG EQN
1. Giải phương trình
a. Giải phương trình bậc hai
Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 1 (đối với máy vinacal) hoặc MODE + 5 + 3 (đối với máy casio)
rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương
2
trình bậc hai dạng ax bx c 0 a 0 .
Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
b. Giải phương trình bậc ba
Ta bấm MODE + 5 + ▽ + 2 (đối với máy vinacal) và bấm MODE + 5 + 4 (đối với máy casio)
rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương
II. CHỨC NĂNG INEQ
1. Giải bất phương trình bậc hai
1
CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: [email protected] – Facebook: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher
Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/bibiponluyenthithptqgmontoan
1 ax 2 bx c 0
Ta bấm MODE + ▽ + 1 +
2 ax 2 bx c 0
3 ax 2 bx c 0
(đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc
4 ax 2 bx c 0
giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0). Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
2. Giải bất phương trình bậc ba
1 ax 3 bx 2 cx d 0
Ta bấm MODE + ▽ + 2 +
2 ax 3 bx 2 cx d 0
3 ax 3 bx 2 cx d 0
4a
, x hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Min y
4a
, x hàm số đạt giá trị lớn nhất Max y
4a
khi x
b
2a
khi x
b
2a
=> Từ đó ta nói rằng hàm số parabol đạt cực trị (hoặc cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm
b
;
2a 4a
⚠ Chú ý: a 0, a c 0 : a c 0, a
2
109
12
, x
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
109
5
Mà hệ số a 3 0 Max y
x
12
6
2. Chứng minh phươg trình bậc hai vô nghiệm
a. Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm
2
Như các bạn đã biết, phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 vô nghiệm khi
0 ' 0 nhưng ta phải trình bày sao cho hợp lý và có tính thuyết phục cao để người
chấm có thiện cảm bằng cách sau:
2
Vẫn đưa VT phương trình về dạng VT a x
y 3
3
7
8
Ta có VT x
y 0, x , y phương trình vô nghiệm.
2
4
3
3
Vậy từ đâu mà ta lại làm được như vậy? thì mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau:
Ta viết phương trình thành
y 1000
x 2 y 3 x y 2 5 y 9 0
x 2 997 y 995009 0 (*)
Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol cho (*) ta được
2
2
997
2986027
y 3
3 y 2 14 y 27
2
3
7
8
y 0, y
4
3
3
CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: [email protected] – Facebook: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher
Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/bibiponluyenthithptqgmontoan
2
Do đó ta viết phương trình đã cho thành x
2
y 3
3
7
8
y 100
2
2
3 x 2 92 x 10712 0 (*)
Ta gán 3 x y 8 x y 7 y 12 0
Ta
có
2
2
2
46
30020
100 8
3.100 2 20
y 8
20
2
VT (*) 3 x
3
Ví dụ tính đạo hàm của hàm số y 85 57 x 13 x 2 x 3 tại điểm x 3 thì ta làm như sau:
Bấm SHIFT +
rồi nhập hàm số đó vào ô trống thứ nhất và nhập giá trị điểm đề cho
vào ô trống còn lại ta thu được kết quả là
d
dx
85 57 x 13 x 2 x 3
4
x 3
1, 5
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
Ta hoàn toàn có thể tính bằng công thức đạo hàm
2. Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội
Như trong mục VII, bài 1, tôi đã trình bày qua về cách phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội
(nghiệm kép và bội ba) nên không nhắc lại nữa (mời bạn đọc xem lại).
a. Nghiệm kép
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là
của căn thức thường là dạng nhị thức
Mặt khác : do x x0
f ( x ) ax b b
n
Mà phương trình có nghiệm kép nên
f ( x ),... và có nghiệm kép x x0 thì lượng liên hợp
n
n
n
f ( x ) ax (1)
Ta nghiên cứu ví dụ sau: Cho phương trình 2 x 1 2 x 2 x 1. Tìm lượng liên hợp cho
các căn thức biết phương trình có nghiệm kép là x 1.
2 x 1 ax b
Quá dễ dàng để tìm lượng liên hợp của
d
a
2x 1
1
dx
x 1
Ta có
b 2 x 1 ax
1
x 1
n
phương
trình
f ( x ) ' ax 2 bx c ' b
f ( x ) '' ax 2 bx c '' a
f ( x ),... và có nghiệm bội ba x x0 thì lượng liên
n
n
f ( x ) ax 2 bx c c
có
d
dx
1
2
nghiệm
CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: [email protected] – Facebook: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher
Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/bibiponluyenthithptqgmontoan
Mặt khác : do x x0
1 d f ( x) '
a
2 dx n n f n 1 ( x )
x x0
d n
f ( x ) 2 ax
nên thay lần lượt vào (1), (2) và (3) ta được b
dx
x x0
2
c n f ( x ) ax bx
x x0
2
d
2 x 2 2 x 1 biết phương trình đã cho có nghiệm bội ba là x 1 .
2 x 2 2 x 1 ax 2 bx c . Hoàn toàn dễ dàng ta tìm ra được các hệ số
d
4x 2
0, 5
dx 2 2 x 2 2 x 1
x 1
2x2 2x 1
Từ đó ra kết luận rằng lượng liên hợp của
2 x 2 x 1 là
dx
( x)
2
x2 1
2
.
n N
*
V. CHỨC NĂNG STO
Gán một giá trị (nghiệm) vào một biến bất kỳ trong máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y, M)
Để gán một giá trị bất kỳ hay nghiệm bất kỳ vào một biến trong máy ta làm như sau:
Giá trị cần gán + SHIFT + RCL + Biến cần gán (là các chữ in đỏ được viết in hoa)
Ví dụ như các bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A trong máy thì ta bấm như sau:
22 + SHIFT + RCL + ( - )
Và để biết ta đã gán 22 vào biến A trong máy chưa ta cần bấm: ALPHA + ( - ) + = nếu kết quả
ra 22 thì tức là đã thực hiện đúng yêu cầu.
VI. CHỨC NĂNG SOLVE
1. Tìm nghiệm của phương trình chính xác
6
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
2
X 2X 3
X 2 2 : X A rồi bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi giá trị
A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu được
kết quả là x 2 là một nghiệm nữa
B5: Tiếp tục chia nghiệm x 2 đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách
X 2 2X 8
bấm phím back ◁ và sửa thành 2
X 1 X 2 2 : X A X 2 rồi bấm
X 2X 3
SHIFT + CALC + = + = thì thu được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết
nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x 2; A
+ Hướng 2: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu trong đoạn chứa nghiệm đã tìm được bằng TABLE
Như ở phần dùng chức năng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta đã tìm được đoạn chứa
nghiệm của phương trình là 1; 4 và thật “chẳng may” ta tìm được luôn phương trình có một
nghiệm là x 2 và bây giờ ta sẽ dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác trên đoạn
X 2X 3
X 2 2 : X 2 X A rồi bấm SHIFT + CALC thì máy hỏi
giá trị A, các bạn bấm phím Ans + = + = (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu
được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị X bất kỳ ta
cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x 2; A
=> Ta rút ra một nhận xét sau:
Nếu ta tìm nghiệm trong đoạn chứa nghiệm sẽ nhanh hơn (về mặt thời gian) và ta sẽ bao quát
được nghiệm hơn khi dùng TABLE. Nhưng suy cho cùng thì các bạn nên làm hướng 1 để tránh
sự phức tạp.
⚠ Chú ý: một điều cực kỳ quan trọng khi dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính xác đó
là khi nhập phương trình (chuyển tất cả hạng tử về một bên và bỏ “= 0”) phải có dấu mở đóng
ngoặc ở hai đầu của phương trình và ấn = sau khi nhập xong (để máy lưu lại phương trình)
2. Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn
Thường là tìm mối quan hệ giữa x, y để thay vào phương trình còn lại của hệ, rồi đi giải phương
trình một ẩn x hoặc y. Nhưng việc nhận ra mối quan hệ giữa x và y là rất khó chính vì vậy, ta
cần dùng đến công cụ là máy tính cầm tay mà cụ thể là chức năng SOLVE này để nhận ra mối
quan hệ đó một cách nhanh chóng rồi từ đó định hướng cách làm.
Xét
ví
3
2
2
Ta dùng SOLVE để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn bằng hai hướng sau:
+ Hướng 1: Cho Y 100
B1: Nhập X 3 Y 3 12 X 2 3Y 2 50 X 5Y 75
B2: Bấm SHIFT + CALC với Y 100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là
X 95 100 5 Y 5
Do đó mối quan hệ hệ dự đoán giữa x và y là x y 5
+ Hướng 2: Lập bảng
B1: Nhập X 3 Y 3 12 X 2 3Y 2 50 X 5Y 75
B2: Bấm SHIFT + CALC với Y 1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là X 4 (tức là
Y 1 X 4 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối quan hệ
giữa X và Y như sau
1
2
3
4
Y
-4
-3
-2
-1
X
số)
=> Mỗi cách có ưu và nhước điểm khác nhau, chính vì vậy ta sẽ làm thêm một ví dụ nữa để
biết xem cách nào tổng quát cho mội bài.
2
Tìm mối quan hệ giữa x và y dương thỏa mãn x 12 y y 12 x 12
2
B1: Nhập X 12 Y Y 12 X 12
B2: Đến ta ta có hai hướng làm
B2.1 : Bấm SHIFT + CALC với Y 100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là Can’t
solve nên ta chuyển sang hướng thứ 2 là :
B2.2 : Bấm SHIFT + CALC với Y 1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là
X 3, 316624752 (tức là Y 1 X 3, 3166 24752 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối quan hệ
giữa X và Y như sau
1
2
3
4
5
3
3
vào bảng vừa rồi và được
4
2,8284…
9
5
2,6457…
12
0
CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: [email protected] – Facebook: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher
Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/bibiponluyenthithptqgmontoan
12 Y
Y 12 X 2
3,3166…
1
3,3162…
Ở đây, tôi dùng BĐT Cô si để đánh gía (các bạn tham khảo ở mục sau)
x 2 12 y
x
12
y
x
12
y
2
Ta có
x 12 y
2
y 12 x 2 y 12 x
2
y 12 x 2 12
x x
x 0
bước nhảy hay khoảng cách giữa hai số liền nhau
Cuối cùng ta thu được kết quả là bảng thống kê giá trị hàm thay đổi theo biến lần
lượt từ trái qua phải là STT→X→F(X)→G(X)
⚠ Chú ý:
Bảng thống kê TABLE thông thường tính được 20 giá trị ví dụ chạy từ -9 đến 9 với bước nhảy
là 1 hoặc chạy từ -4 đến 4 với bước nhảy là 0,5. Nhưng bảng TABLE có thể tính được tối đa
là 30 giá trị (trừ máy casio fx-570ES PLUS) và để mở rộng đến 30 giá trị thì ta cần bấm các
thao tác sau để bảng giá trị của chúng ta tăng thêm 10 giá trị từ 20 lên 30 bằng cách bấm SHIFT
+ MODE + ▽ + 5 + 1. Như vậy, ta đã làm tăng thêm 10 giá trị bây giờ các bạn xét từ -14 đến
14 với bước nhảy là 1 hoặc từ -7 đến 7 với bước nhảy là 0,5 để xét chính xác hơn và tránh để
bỏ xót “không cho chúng nó thoát”.
1. Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số
Ta dùng TABLE trong trường hợp này nhằm mục đích xét tính đơn điệu của hàm số mà cụ thể
hay dùng nhất là xét dấu (dương hay âm) biểu thức sau khi liên hợp để thuận tiện việc chứng
minh vô nghiệm. Hay là việc kết hợp với định lý Rolle để tìm nghiệm duy nhất của phương
trình khi mà VT (đã chuyển tất cả các hạng tử về một vế và vế còn lại bằng 0) của phương trình
đó đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định.
⚠ Chú ý: đối với dạng này ta kết hợp thêm với chức năng SOLVE để tìm nghiệm trước nếu có
nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D thì ta áp dụng định lý Rolle để làm còn nếu
không có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) thì ta kết luận rằng biểu thức đó luôn
dương (âm) trên tập xác định.
Ta hiểu định lý Rolle như sau:
+ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f ( x ) k k const có không
quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
+ Nếu hàm số f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên khoảng (a;b) thì phương trình
f ( x ) g ( x ) có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
Ví dụ 1: Giải phương trình 2 x 1 x 3
1
x 1 2
B4: Ta thấy f ( x ) 0, x 1;
B5: Dùng SOLVE bằng cách nhập lại F(X) vào và bấm SHIFT + CALC rồi cho X bất kỳ thì
máy hiện Can’t solve tức là phương trình vô nghiệm. (ta phải làm thêm bước này để kiểm tra
xem phương trình còn nghiệm không nếu không thì ta đi chứng minh vô nghiệm trên tập xác
định còn nếu có ta vẫn chứng minh hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định rồi áp
dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm)
B6: Ta chứng minh như sau:
2 x 1 x 3 2 x 1 3 x 1 4 6 2 2 x 1 x 3 2 0
1
1
Do x 1 x 1 2 2 1
1 1
0
x
1
2
x
1
2
3
7 ;
nhưng khi
dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất là x 2 nên áp dụng định lý: “Nếu hàm
số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f ( x ) k k const có không quá một
nghiệm trên khoảng (a;b)”, do đó ta có cách làm như sau:
3
3
Dễ thấy x 7 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có điều kiện x 7
Xét hàm số f ( x ) 3 x 3 x 2 2 x x 3 4 x 3 7 trên
Có
f '( x ) 9 x 2 x 2 3 x
2
2
3
7 ;
12
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
Mà f (2) 28 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 2.
Ví dụ 3: Giải phương trình x x x 12 12 5 x 4 x
Xét hai hàm số f ( x ) x x x 12 và g ( x ) 12 5 x 4 x trên đoạn 0; 4
Tương tự về cách bấm như trên, dùng TABLE ta thấy f ( x ) 0 và g ( x ) 0 trên khoảng 0; 4
hay f ( x ), g ( x ) là hai hàm đơn điệu ngược nhau trên khoảng 0; 4 nên phương trình
có nhiều nhất một nghiệm. Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm được một nghiệm
duy nhất là x 4. Từ đó ta có hướng làm như sau:
f ( x) g ( x)
+ Xét hàm số f ( x ) x x x 12 xác định và liên tục trên đoạn 0; 4
Có f '( x )
3 x
2
1
2 x 12
bằng SOLVE mà không tìm trong đoạn chứa nghiệm)
Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:
x2 2x 8
x 1 x 2 2 (tuy nhiên ta chỉ cần tìm đoạn chứa nghiệm
x2 2x 3
của phương trình thôi mà không giải hẳn vì việc giải chi tiết sẽ được làm vào các bài sau)
Giải phương trình
Ta co quy trình bấm máy như sau:
13
CHỦ BIÊN: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – SĐT: 0967453602 | 0911060820
Email: [email protected] – Facebook: https://www.facebook.com/cuong.mathteacher
Nhóm học tập: https://www.facebook.com/groups/bibiponluyenthithptqgmontoan
B1: Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2: Nhập hàm số F ( X )
X 2 2X 8
X 2 2X 3
X 1
là số được chọn một
số bất kỳ trong 10 10
Mà x x0 A là nghiệm vô tỷ đơn duy nhất của phương trình (trong quá trình tìm nghiệm
bằng SOLVE ta đã tìm được nghiệm vô tỷ x x0 và đã được gán vào biến A)
Nên ta phải có n f ( A) a. A b b n f ( A) a. A (ta nói a là biến còn b(a) là hàm thay
đổi theo a)
Ta dùng chức năng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a X b ( a ) F ( X ) , thao tác bấm
máy như sau:
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F ( X ) n f ( A) X . A
B3 : Cho Start 9; End 9; Step 1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start 14; End 14; Step 1
B4 : Chọn X
F(X )
từ đó thu được a
b
Ta nghiên cứu ví dụ sau :
3
2
Cho phương trình x x x 5 x 4 x 2 0 . Tìm lượng liên hợp của
14
B3 : Cho Start 9; End 9; Step 1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start 14; End 14; Step 1
B4 : Ta thấy X 1 F ( X ) 1 nên ta chọn a; b 1; 1
Vậy lượng liên hợp của
x 2 x 1.
⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra a; b
khi cho 1 thì các bạn phải
thay đổi và cho 2, 3, 4, 5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho tăng dần vì ứng
với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy các bạn phải kiên trì và
nhớ đến câu nói nổi tiếng của tỷ phú Jack Ma : “Hôm nay khó khăn, ngày mai khó khăn hơn
nhưng ngày kia sẽ là ngày tuyệt vời”)
4. Tìm hệ số của phương trình bậc hai chứa nghiệm vô tỷ đơn
Thường thì trong kỳ thi THPTQG hiện nay thì nghiệm vô tỷ thường sẽ là nghiệm của một
phương trình bậc hai dạng x mx n 0 (có thể là dạng lượng giác nhưng ít suất hiện hơn
và sẽ được trình bày vào các bài sau) và ta đi tìm dạng tường minh của nghiệm lẻ hay đi tìm
dạng tương minh của phương trình bậc hai như sau:
2
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta đã gán nghiệm vô tỷ vào biến A trong máy và
nghiệm này là nghiệm của phương trình x mx n 0 (trong đó
2
*
B3 : Cho Start 9; End 9; Step 1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start 14; End 14; Step 1
B4 : Chọn X
F(X )
từ đó thu được a
b
Ta nghiên cứu ví dụ sau :
3
2
Cho phương trình x x x 5 x 4 x 2 0 . Tìm nghiệm của phương trình.
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất là
x 3, 302775638 và gán nó vào biến A trong máy.
B1 : Bấm MODE + 7 (để vào chức năng TABLE)
B2 : Nhập hàm F ( X ) A X . A
2
B3 : Cho Start 9; End 9; Step 1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-570VN
thì bấm SHIFT + MODE + ▽ + 5 + 1 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start 14; End 14; Step 1
B4 : Ta thấy X 3 F ( X ) 1 nên ta chọn a; b 3; 1
3 13
chức năng STO như sau:
Ví dụ ta muốn gán 22 A thì ta làm như sau:
16
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
Bấm ALPHA + (-) + CALC + 22
Để kiểm tra ta đã gán 22 vào biến A chưa thì ta ấn ALPHA + (-) + =
Như vậy, ngoài việc dùng chức năng STO ta cũng có thể gán một giá trị bất kỳ vào một biến
bất kỳ trong máy bằng cách gọi tên biến và ấn CALC rồi nhập giá trị cần gán.
Ngoài ra, ta cũng dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức, tỉ dụ như:
Tính giá trị biểu thức P
B1: Nhập
2 X 2Y 5
2x 2 y 5
6x 5 y
12 x 2 3 y 2 x 1 , biết x 1, y 2
12 X 2 3Y 2 X 1
6 X 5Y
B2: Bấm CALC với X 1, Y 2 ta thu được kết quả là P
ta
thu
f (103 )
103 n
khi
quy
đổi:
10 x, 10 x , 10 x , 10 x , 10 x , 10 x , 10 x , 10 x
3
6
2
9
3
12
4
15
f (10 3 ) an 10 3 n
10
f (10 k )
a
n
10 kn
n
TỔNG QUÁT:
k n i 1
k
f
(10
)
an i 1 10
i 1
an i
k n i
10
3 n 1
n , i N ; n i; k Z
và
có
dạng
như
sau
P a6 x a5 x a4 x a3 x a 2 x a1 x a0
6
5
4
3
2
Trong đó a0 a6 const là các hệ số tăng dần theo bậc và được tìm như sau:
2
2
B1: Để tìm hệ số a6 ta nhập X 3 X 2 X 5 X 4 X 2 : X 6 rồi CALC với
X 10 3
X 3 X 2 X 5 2 X 4 2 X 2 X 6 2 X 5 X 4 9 X 3 X 2 : X rồi cũng CALC với
X 10 3
ta thu được kq 22, 007 22 a1 22
B7: Để tìm hệ số a0 ta bấm phím back ◁ và sửa lại thành
X 3 X 2 X 5 2 X 4 2 X 2 X 6 2 X 5 X 4 9 X 3 X 2 22 X rồi cũng CALC
với X 10 3 ta thu được kq 7 a0 7
18
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
B8: Thử lại phép tính bằng cách bấm phím back ◁ và sửa lại thành
X 3 X 2 X 5 2 X 4 2 X 2 X 6 2 X 5 X 4 9 X 3 X 2 22 X 7
CALC với X bất kỳ ta thu được kq 0 tức là ta đã làm đúng.
rồi
cũng
Q 80 x 240 x 276 x 152 x 45 x 9 x 1
6
5
4
3
2
3. Chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử
a. Đa thức hữu tỷ
Hoàn toàn tương tự về phương pháp làm ở mục 2, ta nghiên cứu các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P ( x )
x 6 2 x 5 x 4 9 x 3 x 2 22 x 7
x2 3x 1
Ta thấy P có bậc cao nhất là bốn và hệ số của bậc bốn là 1 nên P ( x ) x a3 x a 2 x a1 x a0
, ta đi tìm các hệ số còn lại bằng cách áp dụng công thức
4
n
an i
f (10 k ) a n i 1 10
i 1
nhưng rất may tổng và tích của chúng lại thuộc hữu tỷ nên ta nghĩ tới việc sử dụng định lý ViA B 1
et
2
1 A, B là nghiệm của PT x x
A.B 5
Do
Q ( x)
đó
ta
có
1
5
0 5x2 5x 1 0
P 5 x 2 5 x 1 Q ( x )
80 x 6 240 x 5 276 x 4 152 x 3 45 x 2 9 x 1
5x2 5x 1 0
19
thức
80 x 240 x 276 x 152 x 45 x 9 x 1
6
5
4
3
2
5x2 5x 1 0
Và việc làm này hoàn toàn tương tự như ví dụ 1, ta thu được két quả
Q ( x) 16 x 4 32 x 3 20 x 4 x 1
Như vậy, ta có P 5 x 2 5 x 116 x 4 32 x 3 20 x 4 x 1
Thử lại tính đúng sai: Ta lấy P ban đầu trừ đi P sau rồi CALC với x bất kỳ ta nhận được kết
quả là 0, như vậy ta đã làm đúng.
⚠ Chú ý: Nếu các bạn để ý thì bản chất của phân tích đa thức thành nhân tử thì nó chính là
chia đa thức mà bản chất của chia đa thức thì nó chính là rút gọn (khai triển) đa thức bằng
cách sử dụng chức năng CALC với X 10 k k Z * .
b. Đa thức vô tỷ (chứa căn thức)
Như phần trên là chia đa thức hữu tỷ còn phần này chỉ khác là chia đa thức vô tỷ hay nói cách
khác là chia đa thức chứa căn và được phân thành các dạng như sau:
+ Chia đa thức có chứa một căn thức:
Ta thực hiện phép chia và thu được
f ( x ) (1)
f ( x ) (2)
VT (1) VT (2)
2 f ( x)
+ Chia đa thức có chứa hai căn thức :
Ta
thực
phép
hiện
A1 ( x ) B1 ( x )
f ( x ) C1 ( x ) g ( x )
A2 ( x ) B2 ( x )
f ( x) C2 ( x) g ( x)
uv
chia
và
g ( x)
f ( x ) w g ( x ) (3)
20
ta
được
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY (TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO) TRONG GIẢI TOÁN_PHẦN1
Được trích từ sách Bí quyết ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học, cao đẳng môn toán
NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
Đổi
trước
dấu
A1 ( x ) B1 ( x )
f ( x ) C1 ( x ) g ( x )
A2 ( x ) B2 ( x )
f ( x) C2 ( x) g ( x)
uv
f ( x ) C1 ( x ) g ( x ) D1 ( x ) h ( x )
A2 ( x ) B2 ( x )
f ( x ) C 2 ( x ) g ( x ) D2 ( x ) h ( x )
Đổi dấu trước
f ( x ) w g ( x ) t h ( x ) (1)
uv
f ( x ) w g ( x ) t h ( x ) (2)
uv
f ( x ) w g ( x ) t h ( x ) (3)
uv
f ( x ) w g ( x ) t h ( x ) (4)
uv
f ( x ) w g ( x ) t h ( x ) (5)
f ( x ) ta được
A1 ( x ) B1 ( x )
f ( x ), g ( x ), h( x ) ta được
A1 ( x ) B1 ( x )
f ( x ) C1 ( x ) g ( x ) D1 ( x ) h ( x )
A2 ( x ) B2 ( x )
f ( x ) C 2 ( x ) g ( x ) D2 ( x ) h ( x )
Do đó ta có u
VT (1) VT (5)
2
,v
VT (1) VT (2)
,w
VT (1) VT (3)
2 f ( x)
Ta dùng CALC để tìm u, v, w, t bằng cách gán x 10 k
2 h( x)
x3 x 2 x 5 x 4 x 2
P
x 1 x 2
Q
x3 x 2 x 5 x 4
x 1 x 2
uv x2
PQ
P Q
, v
u
2
2 x2
x2
u v x 2
Ta gán x 1000 thì 10 x, 10 x
3
6
X 2
Q
ta
sẽ
bấm
phím
△ rồi
sửa
thành
rồi cũng bấm CALC với X 1000 ta thu được kết quả là
rồi bấm SHIFT + STO + O’’’ (tức là gán giá trị đó vào biến B)
B4:
u
nhập
2
u v 12 x w x 1
12 x x 1 5
x 12 x 11 x x 1 25
Q
u v 12 x w x 1
12 x x 1 5
x 12 x 11 x x 1 25
M
u v 12 x w x 1
12 x x 1 5
x 12 x 11 x x 1 25
N
u v 12 x w x 1
12 x x 1 5
P
22
PQM N
u
và ấn =
B2: Bấm CALC với X 10 3 thì ta thu được kết quả là P 26,12683169 và gán vào biến A
bằng cách bấm SHIFT + STO + (-)
B3:
Thay vì
phải
trực
tiếp
X 12 X 11 X X 1 25
12 X
X 1 5
nhập
Q
ta
sẽ
bấm
phím
X 12 X 11 X
12 X
N 3, 804545946
X 1 25
X 1 5
sửa thành
rồi cũng bấm CALC với X 10 3 ta thu được kết quả là
M 14,19295468
Thay vì
thành
rồi cũng bấm CALC với X 10 3 ta thu được kết quả là
Q 1, 875667681
Thay vì
sửa
M ta sẽ bấm
phím
2
4 X 1
5 12 x 5 x 1 23
2
⚠ Chú ý: Hãy chú ý đến biểu thức trong căn để gán giá trị x 10 k
k Z
*
cho phù hợp, tỷ
dụ như bài này ta chọn k 3 0 x 10 3 vì nếu cho k 0 thì không tồn tại
giá trị x đó.
12 x tại
4. Tính giới hạn
a. Tính giới hạn tại một điểm
Ta dùng CALC để tính giới hạn của hàm số f(x) tại điểm x x0 bằng cách cho giá trị gần đúng
n
của x0 hay x x0 10 . Tùy thuộc vào các bạn chọn một số n N * bằng bao nhiêu để tính
giới hạn một cách thuận lợi nhất.
Ta nghiên cứu ví dụ sau: Tính lim
x 1
2 x 2 3x 1
x 1
chỉ
khi
mãn
thỏa
f ( x ) 0 x x0 . g ( x ) 0
k
f ( x)
lim
0
k 1
x x0
x
x
0
kiện
lim f ( x ) 0
x x0 x x k
0
x2
x 2
0, lim
2 x3 7 x 2 8 4 4 x 2 2
x 2
x 2
2
0, lim
x 2
2 x3 7 x 2 8 4 4 x 2 2
x 2
3
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 2 và nghiệm đó là nghiệm ba.
⚠ Chú ý: Do tính giá trị tại điểm gần x0 nên ta có quy ước về kết quả sau khi tính giá trị
0 n 3
biểu thức tại một điểm như sau: nếu kết quả ra a 10 n
Copyright: Tài liệu đại học ©