PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình

không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Họ và tên:
Đơn vị:

Nguyễn Văn Hiến
THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên

Năm học 2012 - 2013


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................................3
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN ......................................................................................3
1. Cơ sở lí luận ...........................................................................................................3
2. Cơ sở thực tiễn .......................................................................................................3
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU. .............................................................................................................4
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................4
2. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................................5
3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................5
B. NỘI DUNG ...................................................................................................................5
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ ....... 5
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn........................................................................5

1. C s lớ lun

Kin thc v phng trỡnh, h phng trỡnh trong chng trỡnh ton ca
bc hc ph thụng l mt ni dung rt quan trng, vỡ nú l nn tng giỳp
hc sinh tip cn n cỏc ni dung khỏc trong chng trỡnh toỏn hc, vt lớ
hc, hoỏ hc, sinh hc ca bc hc ny.
Trong chng trỡnh toỏn ca bc hc ph thụng, bt u t lp 9 hc
sinh c hc v h phng trỡnh, bt u l h hai phng trỡnh bc nht hai
n. Cựng vi ú hc sinh c hc hai quy tc bin i tng ng mt h
phng trỡnh l Quy tc th; Quy tc cng i s. Trong chng trỡnh
toỏn lp 8 v lp 9 hc sinh c hc khỏ y v phng trỡnh mt n
nh: phng trỡnh bc nht mt n; phng trỡnh tớch; phng trỡnh cha n
mu; phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i; phng trỡnh bc hai; phng
trỡnh cha du cn. Thụng qua vic hc cỏc dng phng trỡnh trờn hc sinh
c trang b tng i y v cỏc phng phỏp gii cỏc phng trỡnh i
s, iu ny ng ngha vi vic hc sinh c trang b cỏc phng phỏp gii
h phng trỡnh khụng phi l h hai phng trỡnh bc nht hai n.
Cỏc h phng trỡnh m cỏch gii tu thuc vo c im riờng ca h,
khụng cú mt ng li chung cho vic gii cỏc h ú, ta gi cỏc h dng ny
l h phng trỡnh khụng mu mc. Vic gii cỏc h phng trỡnh khụng mu
mc ũi hi hc sinh phi nm rt vng cỏc phng phỏp bin i tng
ng mt h phng trỡnh, cỏc phộp bin i tng ng mt phng
trỡnh, c bit hc sinh phi rt tinh ý phỏt hin ra nhng c im rt riờng
ca tng h t ú cú cỏch bin i hp lớ nh ú mi cú th gii c h.
2. C s thc tin

Tuy trong ni dung chng trỡnh toỏn lp 8 v lp 9 ó trang b cho hc
sinh khỏ y kin thc v phng trỡnh v h phng trỡnh i s cựng cỏc

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

II. MC CH, NHIM V, I TNG NGHIấN CU V PHNG
PHP NGHIấN CU.
1. Mc ớch, nhim v nghiờn cu

Sỏng kin kinh nghim ny nhm mc ớch tp hp, sp xp h thng
cỏc phng phỏp thng c s dng gii h phng trỡnh khụng mu
mc dựng bi dng hc sinh gii lp 9 ca cp trung hc c s.

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

4


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

Nhim v cn t:

- Ch ra c kin thc v h phng trỡnh cú liờn quan m hc sinh cn
nm vng trc khi tip cn vi cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh khụng
mu mc.
- a ra h thng cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh khụng mu mc
cú s sp xp hp lụgớc v mt t duy kin thc b mụn.
- Xõy dng c h thng cỏc bi tp phự hp vi i tng hc sinh
theo tng phng phỏp c th, nhm giỳp hc sinh cú c bi tp luyn tp
khc sõu kin thc, giỏo viờn ging dy cú c h thng bi tp minh ho
phong phỳ cho tng phng phỏp.
2. i tng nghiờn cu

i tng nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim ny l h thng cỏc
phng phỏp gii h phng trỡnh khụng mu mc, nhng im hc sinh cn


trong ú a, b, c, a, b, c l cỏc s cho trc, a 2 b 2 0 v a '2 b '2 0 .
Nghim ca h l cp s x; y tho món ng thi hai phng trỡnh (1)
v (2) ca h. Gii h tc l tỡm tt c cỏc nghim ca h.
Cỏch gii:
Trong chng trỡnh toỏn trung hc c s gii h hai phng trỡnh bc
nht hai n ta thng s dng hai phng phỏp:
- Phng phỏp th nh s dng quy tc th;
- Phng phỏp cng i s nh s dng quy tc cng i s.
minh ho cho hai phng phỏp ny ta xột vớ d sau:
3 x 2 y 4
2 x y 5

Vớ d. Gii h phng trỡnh

(1)
(2)

Li gii:
Cỏch 1: (S dng phng phỏp th)
- T phng trỡnh (2) ca h, rỳt y theo x ta cú y 5 2 x . Thay vo phng
trỡnh (1) ca h ta c: 3 x 2 5 2 x 4 Hay 7 x 14 .
- Theo quy tc th h phng trỡnh ó cho tng ng vi h phng trỡnh
7 x 14
x 2

y 5 2x
y 1

sau:


H phng trỡnh
D

3 2
4 2
3 4
3.1 2.2 7 0; Dx
4.1 5.2 14; Dy
3.5 2.4 7
2 1
5 1
2 5

Dx 14

x D 7 2
Suy ra h cú nghim duy nht:
y Dy 7 1

D 7

2. H phng trỡnh i xng loi mt

nh ngha: Mt h phng trỡnh hai n x, y c gi l h phng trỡnh i
xng loi mt nu mi phng trỡnh ca h ó cho i xng vi hai n x v y
(ngha l mi phng trỡnh ca h khụng thay i khi ta i vai trũ ca x v y
cho nhau).
Tớnh cht: Nu (x 0; y0) l mt nghim ca h thỡ (y0; x 0) cng l nghim ca
h.


Suy ra  x; y    2; 3 hoặc  x; y    3; 2  .
* Nếu S  10 thì P  21, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
 t  3
t  10t  21  0   t  3  t  7   0  
 t  7

Suy ra  x; y    3;  7  hoặc  x; y    7;  3  .
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:  2; 3  ;  3; 2  ;  3;  7  ;  7;  3  .
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối
xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau
thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Tính chất: Nếu (x 0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x 0) cũng là nghiệm của
hệ.
Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận
x  y  0

được phương trình tích dạng  x  y  .f  x, y   0  

 f  x, y   0

Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được.
 x3  1  2 y (1)
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:  3
 y  1  2 x (2)

Lời giải:
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:

2

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

1; 1 ;

  1  5  1  5    1  5 1  5 
;
;

 ; 
 .
2
2
2
2

 


II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
1. Phương pháp biến đổi tương đương

Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy
tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số. Cùng với đó ta
cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình
biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình
phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi
hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi. Ta có




 x  2 y 1  x  1


  y  1
  y  1
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn

9


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Vậy hệ có hai nghiệm:  1; 0  ; 1; 1 .
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên
ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ,
theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận
được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào
phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình
thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất
hiện mẫu số.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
2
2
 x  y  1 x  y  1  3 x  4 x  1

2


x2  1
 y 1 

x
 x  1
 x  1

 2 x  x  1  x  2   0

  y  1

  x  2


   x  2
x2  1

x 2 1
 y 1 

x

 y   5
 y  1  x
 
2
2

5

Lời giải:
Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được y  7 x  10 .
Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

 x 2  y 2  10 x  0

 y  7 x  10
 x 2   7 x  10 2  10 x  0

 y  7 x  10
 x2  3x  2  0

 y  7 x  10
  x  1
  x  1


 y  17
   x  2

  x  2
 y  7 x  10


  y  24

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:  1;  17  ;  2;  24  .
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào
là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc
cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình

Thay x 2 y 1 vo phng trỡnh th 2 ca h ban u ta c:
x 2 y 1

2 y 1 y 2 y 1 y 3 2 y 1 y 4 y 2 y 1
x 2y 1
x 2 y 1



2
3
2
10 y 19 y 10 y 1 0
y 1 10 y 9 y 1 0





x 2y 1




41 1
41 1
y 1
x
x


.
20 10
20
10

0; 0 ; 1; 1 ;

Nhn xột: gii h trờn ta cú th bin i ngay t h ban u nh quy tc
cng i s nh sau:
x y xy 2 x y 5 xy

x y xy 3 x y 4 xy
x y xy 3 x y x y xy 2 x y 4 xy 5 xy

x y xy 3 x y 4 xy

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

12


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

xy x 2 y 1 0

x y xy 3 x y 4 xy
x 0

x y xy 3 x y 4 xy


x y 9

2
2
3 x 2 y 3 x 4 y

x3 y 3 9
x3 y 3 3 x 2 3 x 6 y 2 12 y 9
2

2
2
2
3 x 3 x 6 y 12 y 9 9
x 2 y x 4 y
3
3
x 1 y 2
x 1 y 2

2
2
2
2
x 2y x 4 y
x 2 y x 4 y
x y 3
x y 3

2

x y 3 x y
1)
x y 1

x 2y 1 0
2) 2
2
x y xy 1 0

x y 4
3)
2
x 1 y xy 4 y 2

x y 1
4) 3 3
2
2
x y x y

x 3 y 3 1
5) 5
5
2
2
x y x y

x 3 y 3 35
6) 2
2


DNG 2: Mt hoc hai phng trỡnh ca h cú th a v dng tớch.
x 2 5 xy 6 y 2 0
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau 2 2
2 x y 1

Li gii:
2
2
x 5 xy 6 y 0
2
2
2 x y 1

x 2 y x 3 y 0

2
2
2 x y 1
x 2 y
x 2 y
x 2y

2
2
2
2
2
2 x y 1 2 2 y y 1 9 y 1



hoặc
hoặc
hoặc
y 1
y 1
y 19
y 19



3

3
19
19
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

14


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9




Vy h ó cho cú 4 nghim: 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 3 19 ; 19 ; 3 19 ; 19 .
3 19
19 19
19

x y x y 4 0

x y 2 0
(a)
2
2
x y x y 4 0

2x y 1 0

(b)
x 2 y 2 x y 4 0

Gii h (a):
y 2 x
x y 2 0
y 2 x
x 1
2
2

2
2
2
y 1
x 2 x x 2 x 4 0
x y x y 4 0
x 2x 1 0

Gii h (b):


4 13
;
.
5
5

Vy h ó cho cú hai nghim: 1; 1 ;
Nhn xột:

- Ta cú th xem phng trỡnh (1) ca h l phng trỡnh bc 2 i vi n x
cũn n y l tham s v tin hnh gii nh sau:
(1) 2 x 2 y 5 x y 2 y 2 0
x 9 y 2 18 y 9 3 y 3

2

y 5 3y 3 y 1
y 5 3y 3

; x
y 2
4
2
4
y 1
*) Khi x
y 2 x 1 thay vo phương tr ì nh (2) ta cú được :
2
4


- Vic phõn tớch a thc v trỏi ca phng trỡnh th nht ca h, giỏo
viờn khi dy nờn hng dn hc sinh s dng hng ng thc ỏng nh
tin hnh bin i vỡ õy l a thc bc hai i vi hai n.
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh sau
2 xy
2
2
x y x y 1 (1)
(Thi HSG tỉnh Hưng Yê n năm học 2011 2012)

x y x2 y
(2)


Li gii:
*) ĐK : x y 0
2

2

Ta có (1) x y


x y

2

x2 y2


1 0
x

y


x y 1 0

(V ì x y 0 nê n

x2 y 2
1 0)
x y

x y 1
Thay vào pt (2) ta được : 1 x 2 1 x x 2 x 2 0 x 1 hoặc x 2.
Từ đó suy ra hệ đã cho có 2 nghiệm x; y 1; 0 ; 2; 3 .

Nhn xột:
- Vi h cú cha du cn, khi dy giỏo viờn cn rốn cho hc sinh thúi
quen phi t iu kin cỏc cn thc cựng cú ngha, trong thc t
hc sinh thng quờn iu ny.
- bin i phng trỡnh th nht ca h v dng tớch, ta cng cú th
bin i nh sau:
x2 y2

2 xy
1
x y


Li gii:
Cng v vi v hai phng trỡnh ca h ta c:

x

2



4 xy 4 y 2 x 2 y 12
2

x 2 y x 2 y 12 0

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

17


MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC DNG BI DNG HC SINH GII LP 9

x 2 y 4 x 2 y 3 0
x 2 y 4 hoặc x 2 y 3

Do ú ta cú:
x 2 y 4
(a )

x 4y 5
4 xy x 2 y 7

2
2 y 3 y 1 0

x 3 2 y

4 y 3 2 y 3 2 y 2 y 7
x 3 2y
x y 1


y 1
x 2
1
y 1
y

2

2


1
Vy h ó cho cú 2 nghim: 1; 1 ; 2; .


2


2
x y x y 1 x y
4)
x y 1

3 x y 2 xy
5)
2
2 x y 8
x y 2
7) 2
2
4 x y 5(2 x y ) xy

3
3
x 4 y y 16 x
6)
2
2
1 y 5(1 x )

x 2 3 x( y 1) y 2 y( x 3) 4
8)
x xy 2 y 1

2
2
x xy 2 y 2 y 2 x
9)

x y x y 2
2
2
x y x y 4
15)
x x y 1 y y 1 2

2. Phng phỏp t n ph

* im mu cht ca phng phỏp ny l phi phỏt hin ra n ph
u f x; y ; v g x; y ngay trong tng phng trỡnh ca h hoc sau mt s

phộp bin i h ó cho.
* Thụng thng vic bin i h ch xoay quanh vic cng, tr 2 phng trỡnh
ca h theo v hoc chia c hai v ca mt phng trỡnh hay c hai phng
trỡnh ca h cho mt i lng khỏc 0 no ú ó ch ra trong cỏc phng
trỡnh, nh ú nhn ra vic phi chn n ph nh th no cho hp lớ.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau:
x 2 y 2 xy 1 4 y
(1)
(Thi HSG tỉnh Hưng Yên năm học 2010-2011)

2
2
y x y 2 x 7 y 2 (2)

Li gii:
* Nhn thy mi cp s x; y vi y = 0 u khụng phi l nghim ca h.
* Khi y 0 , chia c hai v ca (1) v (2) cho y ta c h:


u 1
u 9
2
2

hoặc
2
v 2 4 v 7
v 3
v 5
v 2.u 7
v 2v 15 0
u 1
thay vo cỏch t n ph ta c:
v 3

* Vi

x2 1
1 y x 2 1 x2 x 2 0
x 1
x 2




hoặc
y
y 2
y 5

phng trỡnh cho y 0 .

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

20


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

 x 4  4 x 2  y 2  6 y  9  0
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  2
.
 x y  x 2  2 y  22  0

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
( x  2)  ( y  3)  4
( x  2)  ( y  3)  4

 2

2
2
2

;

 y  5

 x   2
.

 y  5

Nhận xét:
- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt
ẩn phụ khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương
trình thứ nhất của hệ.
- Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo
x từ phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy
nhiên theo cách này sẽ xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải.
3

2
2
7
2
 4 xy  4  x  y  
x  y


Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 
2 x  1  3

x y

2
4 x y 4 xy
x y



x y 1 x y 3

x y

1
2
2
3 x y
x y 7
2

x y


1
x y x y x y 3

1

3 u 2 2 v 2 7
; u 2
u x y
x y
* t

.
y 0

Vy h ó cho cú nghim duy nht:

Nhn xột: Vic bin i h trong vớ d ny nhn thy ngay phi s dng hng
2

ng thc ỏng nh nhm xut hin x y , ú chớnh l c s thc
hin cỏch bin i h to iu kin thun li cho vic t n ph.
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau:
5
2
3
2
x y x y xy xy 4
(Đề tuyển sinh Đại học khối A năm 2008)

x 4 y 2 xy (1 2 x ) 5

4
Li gii:

5
2
2
x y xy ( x y ) xy 4
H ó cho tng ng vi
.
5


Gii h phng trỡnh mi nhn c ta cú:
5
5


2
a ab b 4
b 4 a


a 2 b 5
a 5 a a 3 5 a 2 5

4

4
4
4
a
5
3

2
a a 4 0
a 0; b 4


a 1 ; b 3
b 5 a 2


2
1

a


x

y


2
x 1


y x

2
2
2
* Vi
, ta c:

3
3
3
b
xy
2 x3 x 3 0 y 2

nhiu h tng i phc tp bng cỏch a v vic gii cỏc h n gin hn.
x y 1 1 4 x y 2 3. x y
Vớ d 5. Gii h phng trỡnh sau:
3
2 x y

2

Li gii:
* K: x y 0
* t t x y; t 0. Khi ú phng trỡnh th nht ca h tr thnh :
1 2t
2t 1 2t 1
t 1 3t
1


1 2t
2t 1 0
t 1 3t

1
1
t (Do t 0 nờn
2t 1 0).
2
t 1 3t

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên


trỡnh.
- Nh vy cú th núi, vic t n ph ũi hi ngi gii toỏn phi ht sc
linh hot trong vic chn gii phỏp bin i h ó cho nhm xut hin
b phn cn t n ph. Cng cú khi vic t n ph ch nhm mc
ớch bin i mt phng trỡnh ca h thnh phng trỡnh mi tng
ng vi vi phng trỡnh ban u nhng dng n gin hn, chớnh
vỡ vy giỳp ta cú th gii c h phng trỡnh toỏn t ra.
BI TP.
Gii cỏc h phng trỡnh sau:
x 2 1 y y x 4 y
1) 2
x 1 y x 2 y



1
x y 1 5

xy
2)
xy 1 4

xy

x y
x y 15
y x
3)
2
2

2
2
2 2
x y x y 1 2 xy
7)
2
2
x x y xy y xy 1

x 2 xy y 2 3 x y
9)
2
2
2
x xy y 7 x y

2
2
x y x y 12
8)
y x 2 y 2 12
2
1 1
x x 1 4
y
y

10)
2
x x 1 4 x3


y
( x 1)( y 1)( x y 2) 6
15) 2
2
x y 2x 2 y 3 0

x 2 y 2 x 2 3 y 15 0
16) 4
2
2
x y 2 x 4 y 5 0

2 x y 1 x y 1
17)
3 x 2 y 4

4
3
2 2
x x y x y 1
18) 3
2
x y x xy 1

x y x 2 y 2 13

14)
2
2


Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau

z 3 2x 8

Li gii:
Xột phng trỡnh th nht ca h ta cú:

x y

2

1

2

0 1 x y 1

1 x y

2

1 z 4 1 z 3

Mt khỏc t phng trỡnh th hai ca h ta cú: z 3 0 z 3 .
Do vy ta suy ra z 3 v 2 x 8 x 4 .
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên

25