CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Bài1:







−=+++
−=++++
4
5
)21(
4
5
24
232
xxyyx
xyxyyxyx
Giải: đặt u = x
2
+ y , v = xy có hệ







−=+

yx
xy
yx

* với u= -1/2, v= - 3/2 có hệ
2
3
,1
2
3
2
1
2
−==⇒







−=
−=+
yx
xy
yx
Bài 2:
yx
xyyx
yx


−=+−
=+−
1
1
23
2234
xyxyx
yxyxx
Giải: đặt u = xy-x
2
, v = x
3
y có hệ
3,20,1
1
1
2
−===−=⇒



−=+
=+
vuvavu
vu
vu
giải tiếp có x=1,y=0 và x= -1,y=0
Bài 4


−−=−−⇔+−=
−
+
−
xxxxxx
x
x
x
x
x
x
x=0, x=1, x=-2
Đ/s (1,-1), (-2,-5/2)
Bài5





−=−−
−=++
yxxyyx
yxyxxy
2212
2
22
(1) tt (x+y)(x-2y-1)=0 Đ/s (5,2)
Bài6



yxx

Cộng 2 vế của hệ ta có
2
44
)2(236626222
−++=−+−++
yxxxx
Ta có vế phải
236
+≥
dấu bằng xẩy ra khi y =
2
Vế trái đặt a =
44
6,2 xbx
−=
có a
4
+2b
4
=12 có
(a
2
+2b
2
)
2
≤ ( a
4

ba
y
=⇒=⇒









=
=
=
Bài8
(
)
(
)





=+
−
+
=++++
0





++−=++
++−=++
11
11
22
22
xxyy
yyxx
Suy ra ta có phương trình
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
giải ra có đáp số (5/3,-5/3),(5/4,-5/4)
Bai9






3
xét H/s f(t) = t
3
-4 đ/b suy ra x=y=z
Cách 2
G/sử





−=++−
−=++−
−=++−
2)32)(2(
2)32)(2(
2)32)(2(
2
2
2
xzzz
zyyy
yxxx
suy ra





−=++−

yxyx
yxyx
(1_) – (2) x=3y-3 thay vào (1) 10y
2
-13y+1=0
Bài11





+=+−
+=+−
)2()1()6)(1(
)1()1()6)(1(
22
22
yxxy
xyyx

(1) +(2) ta có 5x+5y =12 +x
2
+y
2
(1)-(2) taco (y-x)(2xy-7-(x+y))=0 tương
đưong 2 hệ có 4 ngh x=y=2,x=y=3, (2,3).(3,2)
Bài12












+=
−=+
>
>
⇔
2
22
22
144
12
12
0
x
xy
y
x
x
x
xy









+=−−
=−−
>
>
⇔
2
22
22
144
)
12
12(
12
12
0
x
x
x
x
y
x
x
x
xy






+=+
=+
4499
55
1
yxyx
yx
ta có (x
5
+y
5
)(x
4
+y
4
)=x
4
+y
4
= x
9
+y
9
suy ra x
4
y

yx
xx
xy
x
2
3
2
2
2
92
2
92
2
3
Giải: Cộng hai vế pt ta có 2xy
22
3
2
3
2
8)1(
1
8)1(
1
yx
yx
+=





+−
+
+−
/2xy
vế phải ≥1, vế trái ≤1 ,dấu bằng xẩy ra khi x= y= 1 ,KL: (0,0), (1,1) là Ng
Bài17: ghpt





=−+
=−+
11
11
4
4
xy
yx
đ/k x,y ≥ 1 suy ra vế trái pt ≥ 1 dấu = xẩy ra khi
x=y =1
B ài18





−+=−
−+−=−

3
)1()1)(1)(1(
3
xyzzyx
zyx
Áp dụng BĐT Cô si x+y+z ≥3
3
xyz
xy+yz +zx ≥ 3
3
2
)(xyz
suy ra (1=x)(1+y)(1+z) = 1+(x+y+z)+( xy+yz +zx)
+xyz
3
3
3
2
3
)1()(331 xyzxyzxyzxyz
+=+++≥
dấy bằng xảy ra x=y=z=1
Bai20


















+=
+=
+
=
+=
+
=
2
22
2
22
2
2
1
2
11
2
1
2
1

1








−
y
+
2
1
1






−
z
= 0 ngh x = y = z = 1
Bài21






≥⇒≥
,y
xzz
≥⇒≥
Suy ra x=y=z =
2
)15(
2
+
Bài22









=
+
=
+
=
+
x
z
z
z
y

=≤
+
=
=≤
+
=
z
z
z
z
z
x
y
y
y
y
y
z
x
x
x
x
x
y
2
2
2
2
2
2

yx
Ta có x
2
+x(y-3)+y
2
-4y+4=0 có
3
7
10)2(4)3(
22
≤≤⇒≤−−−=∆
yyy
tưong
tự
3
4
0
≤≤
x
suy ra x
4
+ y
2

81
697
)
3
7
()

2
>(z-1)(z
4
+2z
2
+2) suy z<1 tưong tự suy x<1 vô lý
Bai25 : Giải phương trinh
x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6 (1)
L ờ i gi ả i:
(1) + + = 0

Phương pháp hàm số giải hệ pt
Bài26: tìm x,y thuộc (0,
)
π
thỏa mãn hpt



=+
−=−
π
285
cotcot
yx
yxyx
từ pt (1) ta có x+ cotx = y + coty xét hàm số đặc trưng f(t) = t+ cott là hàm
số đồng biến vậy x ≤ y khi f(x) ≤ f(y) vậy f(x) = f(y) khi x = y do đó có hệ

