Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :1
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CƯM’GAR
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC “NON STANDARD
PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH GIỎI BẬC
TRUNG HỌC CƠ SỞ.
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan
CưM’gar, tháng 12 năm 2009
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN A : MỞ ĐẦU
Trong thời kỳ phát triển và hội nhập, cộng với việc gia nhập tổ chức WTO đã mở
cho đất nước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức lớn. Trước
một thực tại như vậy , nước ta lại phải cùng một lúc giải quyết ba nhiệm vụ : Thoát khỏi
tình trạng nghèo nàn lạc hậu của nền kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh công nghiệp hóa ,
hiện đại hóa và đồng thời tiếp cận ngay với nền kinh tế tri thức . Để làm nên sự nghiệp ấy
đòi hỏi rất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó có việc thích ứng ngay với nền kinh tế tri
thức của thế giới . với bộ môn toán nếu “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì
công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào
thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này.
Là một giáo viên giảng dạy môn toán hơn 9 năm và làm công tác quản lý được
2 năm tôi luôn luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học
sinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh có thể gặp đây đó những bài
toán mà đầu đề có “vẻ lạ”, “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng

dựng SKKN này nhằm giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phương
trình và hệ phương trình “không mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua
đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực”
khác.
1. Mục đích :Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra những kinh nghiệm và
những bài học thực tiễn qua quá trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng
dạy cho các em học sinh có tố chất và yêu thích toán học tại trường THCS Nguyễn
Huệ
2. Tính thực tiễn, ý nghĩa : Qua nhiều năm bồi dưỡng tôi nhận thấy phương trình và
hệ phương trình không mẫu mực được quan tâm và ra đề thi nhiều trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp vì vậy , cho đến năm học 2008 – 2009 đã thôi thúc tôi viết lên
những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nay tôi nhận
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :3
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
thấy đề tài phần nào đã đem lại hiệu quả cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường,
cấp huyện và học sinh giỏi toàn diện đi lên, các thầy cô cũng đã quan tâm nhiều
hơn đến phương trình và hệ phương trình không mẫu mực vì vậy không gặp khó
khăn trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN :
1. Cơ sở lí luận khoa học :
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm
chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống
của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc
lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học
toán. Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em
một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay
mà phải cần thiết rèn luyện khả năng phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh,
đặc biệt đối với những bài toán được các em coi là “lạ”.

* Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:
Điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường thiếu thốn, không có phòng học để mở việc bồi
dưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ
thể từ lớp 6 đến lớp 9. Phòng thư viện của nhà trường còn ít đầu sách, do đó việc tìm tòi
sách đọc là vấn đề hạn chế. Nhưng khó khăn nhất vẫn là các em học sinh do điều kiện
của địa phương với đặc thù là vùng 2 của huyện , số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tế
khó khăn,dân di cư tự do nhiều, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế nhiều về
tinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.
Vì vậy để cho môn toán ngày càng được nhiều học sinh yêu thích trước hết người
Thầy phải tác động như thế nào đó vào tiềm thức của các em, không những học sinh khá,
giỏi mà cần phải đánh thức các em có học lực trung bình và những học sinh chưa thật sự
yêu thích môn toán, để đạt được các mục tiêu này cần phải có một cú “hích” đó chính là
đào tạo , phát hiện ra những học sinh giỏi nhằm khuyến khích động viên các em kịp thời ,
là nhân tố khơi dậy và là tấm gương sáng cho những học sinh khác noi theo.
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :5
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (NỘI DUNG SKKN) :
Phần I : Phương trình
I/ Phương trình một ẩn
Phương pháp thường vận dụng :
1/
Đưa về phương trình tích :

a/Các bước :
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Dùng các phép biến đổi đại số đưa PT về dạng f(x).g(x)....h(x)=0
+ Dùng ẩn phụ
+ Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách số hạng....



+ =

ĐS : x=1; x= 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình :
3
1 2 1x x− + + =
Giải : Điều kiện x
≥
- 2
Đặt : 2t x= + ( t
≥
0)
⇔
3 2
3 1t t− + =
⇔
3 2
3 1t t− = −
⇔
3- t
2
= (1- t)
3
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :6
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
⇔

2
– 4x + 1)
3
= (x
2
–x - 1)
3
–( 3x-2)
3
gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)
3
- (a
3
–b
3
)= -3ab( a - b)
ĐS :
1 5 2
2 3; ;
2 3
±
±
d/ (x
2
– 3x + 2)
3
+ (- x
2
+x + 1)
3

b/ Ví dụ1 : Giải phương trình :
6
4
2 2
1 1 3 2
19 5 95 3
x x x x
− − − +
+ + =
--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :7
Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điều kiện :
2
2
1 0
1 0
3 2 0
x
x
x x
− ≥


− ≥


− + ≥


+ 1 > 0
x
2
– 3x + 3,5 =
2 2
(x – 2x 2)(x – 4x 5 )
2
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương :
(x
2
– 2x + 2 ) và (x
2
– 4x + 5)
Đáp số : x = 3.
c/ Bài toán áp dụng :
a/
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
gợi ý :
2 2
( 1 2) ( 1 3) 1x x− − + − − =
áp dụng bất đẳng thức :
a b a b+ ≥ +
dấu bằng sảy ra khi ab
≥
0 với a=
1 2x − −
; b= 3-
1x −
b/ 13[(x

Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
b/ Ví dụ
Ví dụ 1:Giải phương trình :
4 2
4 2 4 2 4 2
1
4 8
8 14 8 12 8 16
2
25(3 25 ) 29 18.3 7
x x
x x x x x x
− +
− + − + − +
+ = − −
(1)
Gợi ý :
2 2
2 2 2 2 ( 4)
( 4) 1 ( 4) 2
3 7 7 29
x
x x
−
− + − +
+ + =
x =
±
2 là nghiệm số của (1)

x x
+ < + =
• Xét x< 2 ta có :
2 2
3 1 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2 2 2 2
x x
+ > + =
Vậy ta có nghiệm duy nhất là 2.
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1. 2
x
+ 3
x
+ 5
x-1
= 2
1-x
+ 3
1-x
+ 5
1-x
2. 3
x
+ 4
x
= 5
x

ta có hệ phương trình :
4
4
x y
y x

= −


= +


Đây là bài toán quen thuộc nên giải một cách dễ dàng
Lưu ý : x + y
≠
0
1 2
1 13 1 13
; ;
2 2
x x
− + − −
= = (loại)
Đáp số :
1
1 13
2
x
− +
=

2 2 2
2 2
4 ( )
4 4
x y x y x y
y x x y
 
= − − = − +
 
⇔
 
= + = −
 
 
⇔
2
( )( 1) 0
4
x y x y
x y
+ − + =


= −

Vì x + y
≠
0 nên ta có hệ :
2
1 0

;
2
x
− +
=
c/ Bài toán áp dụng :
Giải phương trình :
1. 2 – x
2
= 2 x−
2. x
3
+ 1 = 2
3
2 1x −
3.
3 3
2 2 2
(3 1) (3 1) 9 1 1x x x+ + − + − =
II/ Phương trình nhiều ẩn :
1/
Đưa về phương trình tích :

a/Các bước :
Đưa phương trình về dạng f
1
(x,y,....).....f
n
(x,y......) = a
1.

y
2
– x
2
= 91
⇔

( ) ( )
91y x y x+ − =
Vì
y
>0;
x
>0;
( ) ( )
y x y x+ > −
Và
y
-
x
>0
91 = 1.91 = 13. 7
Nên ta có :
91
1
13
7
y x
y x
y x

 =



=




 =




=



--------------------------------------------------------------------------------------------
Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan Page :11