Chuyên đề:
Phơng pháp giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực
A/ Đặt vấn đề:
Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán mà
đầu đề có vẻ lạ, không bình thờng, những bài toán không thể giải trực tiếp
bằng các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc. Những bài toán nh vậy thờng đ-
ợc gọi là không mẫu mực, có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện t duy
Toán học và thờng là sự thử thách đối với học sinh trong các kỳ thi HSG, thi
vào cấp 3, các lớp chuyên toán, Tuy nhiên quen thuộc hay không mẫu
mực, phụ thuộc vào trình độ của ngời giải Toán. Tôi xin đa ra một số phơng
pháp giải một số phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực, với phơng
pháp này tôi đã giúp đỡ các em học sinh luyện tập và làm quen với phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực để từ đó biết cách t duy suy nghĩ trớc
những phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực khác.
B. Giải quyết vấn đề
I. Phần I: Phơng trình.
1. Phơng trình một ẩn:
Với phơng trình một ẩn có 4 phơng pháp thờng vận dụng là: Đa về ph-
ơng trình tích, áp dụng các bất đẳng thức chứng minh nghiệm duy nhất và đa
về hệ phơng trình.
a. Phơng pháp đa về phơng trình tích.
* Các bớc:
- Tìm tập xác định của phơng trình.
- Dùng các phép biến đổi đại số, đa phơng trình về dạng f(x).g(x)
.h(x) = 0 (gọi là phơng trình tích). Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) =
0 là những phơng trình quen thuộc. Nghiệm của phơng trình là tập hợp các
nghiệm của các phơng trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0 thuộc tập xác định.
- Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ân đa phơng
trình về dạng tích (với ẩn phụ). Giải phơng trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm
của phơng trình đã cho.

023
037
0)23)(37(
0)37(2)37(3
067233)7)(3(
672332110
2
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx
xxxx
Vì 2 vế đều dơng nên ta có:



=
=




=+
=+

)(1
)(2

(2x + 3) (3
x
- 9) = 0




=
=




=
=+

2
2
3
093
032
x
x
x
x
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S =





2
- x - 1) - (3x - 2)
3
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]





=+
=
=

=+
=
014
023
01
0)14)(23)(1(3
0231231
2
2
22
3
3


3
2
=
x
.
Giải (3):
x
2
- 4x + 1 = 0

= 4 - 1 = 3 > 0, Pt có 2 nghiệm
32;32
21
=+=
xx
.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là:
S=






+
+
32;32;
3
2



=+
=+




==
==

=
=+
=
)2(2124
)1(18124
202
18018
0)2)(18(
03620
36)20(
2
2
2
xx
xx
yy
yy
yy
yy

=+
=+
xx
xx
3
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
232182
232182
2
1
==
+=+=
x
x
Vậy tập nghiệm của phơng trình là:
S =
{ }
223;223;234;234

Ví dụ 5: Giải phơng trình:
(x + 2)
4
+ x
4
= 82
Đặt y = x + 1
(x + 2)
4
+ x
4

2
= 4,

y =

2.
Với y = 2

x + 1 = 2

x = 1.
Với y = -2

x + 1 = -2

x = -3.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S = {1;-3}.
Chú ý: Phơng trình dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c (a, b, c là hằng số) đặt
ẩn phụ y = x +
2
ba
+
, thì phơng trình đa đợc về dạng dy
4
+ ey
2

++
+
++
xxxxxx
xxxxxx
ĐK: x

-4; x

-5; x

-6; x

-7.
( )( )



==
==+

=+
=+
++=++
=
+

+

=

1
)5(
1
)5(
1
)4(
1
2
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xxxxxx
4
Thoả mãn điều kiện.
Vậy tập nghiệm của phơng trình S = {-13; 2}.
b. Phơng pháp áp dụng bất đẳng thức.
*Các bớc:
- Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)

a; g(x)

a (a là
hằng số).
- Nghiệm của phơng trình là các giá trị thoả mãn đồng thời f(x)=a và
g(x)=a.
- Biến đổi phơng trình về dạng h(x)=m (m là hằng số), mà ta luôn có
h(x)

= 0

x = -1.
Vậy nghiệm của phơng trình là x = -1.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2 2 2
4
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2
( 3) 2 ( 3) 4 ( 2) 1 3 2
x x x x x x
x x x
+ + + + + = +
+ + + + + = +
Mà:
2 2 2
4
( 3) 2 ( 3) 4 ( 2) 1 2 4 1 3 2x x x + + + + + + + = +
Nên dấu =xảy ra
2
( 3) 0
2 0
x
x

=


=