WWW.ToanCapBa.Net
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG MẪU MỰC
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
1. Phương pháp biến đổi tương đương
Một số kĩ năng thường áp dụng như phân tích thành tích, bình phương hoặc lập
phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2 (1)
1 2. (2)
x xy y y x
y x y x

+ + = +


− + + =


Giải: ĐK:
1 0.x y− + ≥
Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung
2 2 2
(3)
(1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0
2 2 (4)
x y
x y xy y y x x y x y



Kết luận : Hệ có 3 nghiệm.
Bài 2. (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1 (1)
(2)
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −

Giải: ĐK:
0.x y+ >
Ta có
2 2 2
2 2
2 1
(1) 2 2 1 ( ) 1 2 . 0
1 (3)
2

0; 1
3 0
3; 2
y x
y y
y x
= =

− = ⇒

= = −

.
-Vì
0x y+ >
nên (4) không thỏa mãn. Vậy hệ có hai nghiệm.
Bài 3. (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
1 19 (1)
6 (2)
x y x
y xy x

+ =


+ = −



2
3
xy = −
thì
3
8 1
(1) 1 19 2.
27 3
x x y⇔ − = ⇔ = ⇒ = −
-Nếu
3
3 27 1
,(1) 1 19 3
2 8 2
xy x x y= − ⇔ − = ⇔ = − ⇒ =
-Nếu
1,(1) 0,xy x= − ⇔ =
vô lí.
Bài 4. (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình:
1
3 (1 ) 2 (1)
1
7 (1 ) 4 2 (2)
x
x y
y
x y

+ =


y
x y
x y


+ =
= +


+
 
⇔ ⇒ = −
 
+
 
− =
= −
 
+
+


( nhân vế với vế)
2 2
21 (7 24 )( ) 24 38 7 0 6xy y x x y x xy y y x⇒ = − + ⇒ + − = ⇒ =
(vì x, y dương).
Thay vào phương trình (1) ta được
1 2 1 1 1 2
. 1 0 7 .
7

1
4
1
( ) 2 7
x
x y
y
x
x y
y

+
+ + =



+

+ = +


. Đặt
2
1
a x y
x
b
y
= +


Từ đây ta tìm được x và y.
- 2 –
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
6 (1)
1 5 (2)
y xy x
x y x

+ =


+ =


Giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ. Chia cả hai vế của (1) và (2) cho
2
x
ta được hệ
2
2
2
2
2
1

 
+ =
+ − =
 ÷
 

 

. Đến đây ta đặt
2
1
. 6
2 5
S y
P S
x
y
S P
P
x

= +

=

 
⇒
 
− =






++
49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx
yx
xy
yx
Giải : Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên nếu
đặt ẩn phụ theo tổng và tích như cách thông thường ta sẽ gặp một hệ khó, phức tạp và
không có nghiệm đẹp. Nhưng sau khi đặt điều kiện và khai triển ra ta được
2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
y x
x y
y x

a b
+ =



+ =


Đến đây ta có
một hệ quen thuộc.
Bài 8. (KA - 2008) Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

+ + + + = −




+ + + = −


Giải: Hệ đã cho tương đương với

ta
được hệ mới
2 3 2
2 3 2 2
5 5 5
0 0,
4 4 4 4
5 5 5 5 5 1 3
;
4 4 4 4 4 2 2
a
a ab b b a a a a b
a b a a a a b a a b
   
+ + = − = − − + + = = = −
   
  
⇔ ⇔ ⇔

  

  
+ = − − − − − = − = − − = − = −

  
   
Từ đó ta tìm được x, y.
3. Phương pháp thế
Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biếu thức) từ phương trình này thế
vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản hoặc nhờ đó mà ta có cách

, từ (2) ta suy ra
2 2x y y x+ = + −
, thế vào (1) ta được
7 3x y x y+ = + −
. Do đó ta có hệ
2 2
2 2 2
3 2
3 2
1
7 9 6 2 6 2 1
19; 10.
2 4 4 4 2 11 10 0
x y
x y
x y
x y x y x xy y x y
x y
x y y x y x xy y y
− ≤ − ≤


− ≤ − ≤
= =

 
+ = + + + − − ⇔ = − ⇔
 

= =

+

Giải : ĐK
0.x y+ ≠
Phương trình thứ nhất tương đương với
2
2 2 2
2
3 1
3( ) 6 ( ) 13 3 ( ) 13 (*)
( )
x y x y x y x y
x y
x y
 
+ + + + − = ⇔ + + + − =
 ÷
+
+
 
Từ phương trình thứ hai ta suy ra
1
3 2x
x y
= −
+
, thế vào phương trình (*) ta được
2 2 2
1
3( 3 2 ) ( ) 13 4( ) 18( ) 14 0

từ (2) và thế vào (1) thì ta được một phương trình mà ẩn y
chỉ có bậc 1:
3 2 3 2 2
3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3)x x x xy y x xy x x x x+ − + + − = − ⇔ + = + + −
-Nếu x=0 thì (1) vô lí.
-Nếu x=-1 thì hệ trở thành
2
16 4y y= ⇒ = ±
.
-Nếu
1& 0x x≠ − ≠
thì từ (3) suy ra
2
2 49 49
24
x x
y
x
+ −
=
. Thế trở lại phương trình (2)
ta được
- 4 –
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
2
2 2 2
2

⇔ + = ⇔ + + − = −
 ÷
 ÷
 
⇔ + + + + = ⇔ + + =
⇔ + + + = ⇔ − + =
Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4).
Không phái lúc nào ta cũng may mắn khi áp dụng phương pháp ‘‘ thế đến cùng’’ như
vậy, chẳng hạn như gặp phương trình bậc 4 mà không nhẩm được nghiệm như bài
toán sau :
Bài 12. Giải hệ phương trình :
2
2 2
2 2 4 0 (1)

2 2 3 0 (2)
b bc c
b c b c

− + + =


− − + − =



Giải : Rõ ràng phương trình đầu có bậc nhất đối với b và c, điều đó gợi ý cho ta rút
một ẩn từ phương trình này và thế vào phương trình kia. Tuy nhiên sau khi rút gọn ta
được một phương trình bậc 4 mà nghiệm lẻ. Ở đây ta cần một kĩ năng tách khéo léo
hơn :

−
 
Suy ra
5 3 4 3
;
3 3
3 5 3 4
; .
3 3
b c
b c

+ +
= =



− −
= =



Hệ phương trình này xuất hiện khi ta giải bài toán hình học phẳng: Trong hệ tọa độ
Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng
∆
: y=3. Tìm điểm B thuộc
∆
và điểm C thuộc Ox
sao cho tam giác ABC đều.
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

.
4
x ≥ −
Nếu y=0 thì từ phương trình (1) ta suy ra x=0, thế vào phương
trình (2) ta thấy không thỏa mãn, vậy y khác 0. Đặt x=ky ta được (1) trở thành
5 5 5 10 6 5 5
k y ky y y k k y y+ = + ⇔ + = +
(3). Xét hàm số
5
( )f t t t= +
trên
¡
, ta có
4
'( ) 5 1 0 .f t t t= + > ∀ ∈¡
Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên
¡
, vậy
2
(3) ( ) ( ) .f k f y k y x y⇔ = ⇔ = ⇒ =
Thế vào (2) ta được
2 2
4 5 8 6 5 13 2 4 37 40 36 2 4 37 40 23 5x x x x x x x x+ + + = ⇔ + + + + = ⇔ + + = −
2 2 2
23 5 0 5 23
1
41
16 148 160 25 230 529 9 378 369 0
x x
x


+ = − +

Giải: ĐK
0, 0x y≥ ≥
. Ta thấy đây là một hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và
biến đổi ta được:
2 2 2 2
2 5 2 1 2 5 2 1x x x y y y+ + − + = + + − +
(3)
Xét hàm số
2 2
( ) 2 5 2 1f t t t t= + + − +
trên
[1;+ )∞
, dễ thấy f’(t)>0 trên
(1; )+∞
nên
f(t) đồng biến trên
[1;+ )∞
và do đó (3) tương đương với x=y. Thế vào (1) ta được
2 2
2 5 2 1x x x+ = − +
. Giải bằng MTCT ta được x=2. Do đó ta biến đổi như sau
2
2 2
2
4 2
2 5 6 2 1 2 4 2 2 ( 2)( 2)
1 1

Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x=y=2.
Bài 15. (KA-2010) Giải hệ phương trình:
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =


Giải: ĐK :
3
4
x ≤
. Đặt u = 2x;
5 2v y= −
Phương trình (1) trở thành u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1) ⇔ (u - v)(u
2
+ uv + v
2
+ 1) = 0 ⇔ u = v

4 2
25
( ) 4 6 2 3 4
4
f x x x x= − + + −
trên
3
0;
4
 
 
 
- 6 –
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
2
4
'( ) 4 (4 3)
3 4
f x x x
x
= − −
−
< 0
Mặt khác :
1
7
2

2 2
18( ) 38
7( ) 14
xy x y xy
x xy y x y

= + −


− + = − +


Bài 18.
2 2
5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy

+ − =

−

− = −


Bài 19.
2 2

2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y

+ + = −


− − = −


Bài 22.
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =


+ + =

Bài 23.
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x


x
xy
Bài 25.
3 2 2 2 2 2
3 2 3 3 2
81 81 33 29 4
25 9 6 4 24.
x y x y xy y
y x y xy y

− + − =


+ − − =


Bài 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
với mọi giá trị của tham số b:



=++
=+−
24
55
)1(
1).1(
abyae
yxa
bx



= +

Bài 29.
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y

+ = − −


+ + − =


Bài 30.
2 2
4 2 0
2 8 18
bc b c
b b c c
− − + =


− = − +

Bài 31.
2 2

x y x

− − − + =


− − + =


- 7 –
WWW.ToanCapBa.Net