Hệ phơng trình
Chuyên đề: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
A. Các kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax +by=c và ax+by=c. khi
đó ta có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax +by=c (1)
ax+by=c(2) (I)

- Nếu hai phơng trình (1) và (2) có nghiệm chung (x
0
;y
0
) Thì (x
0
;y
0
) gọi là
nghiệm của hệ (I). khi đó : ax
0
+by
o
= c
ax
o
+by
o
= c

- Nếu hai phờng trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm.
2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ phơng trình và đờng thẳng biểu diễn tập
nghiệm
Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)

1. ví dụ 1: Giải hệ phơng trình: 2x+3y=-2 (1)
3x-2y = - 5(2)
Cách 1: Nhân hai vế phơng trình (1) với 3, nhân hai vế phơng trình (2) với -2 ta đ-
ợc hệ phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho:
6x+9y=-6 (1)
-6x+ 4y = 10 (2)
Cộng từng vế hai phơng trình của hệ ta đợc: 13y= 4 y= 4/13
Thay y= 4/13 vào phơng trình (2) ta đợc 3x -
13
8
= 10 x= 46/13
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=46/13
y=4/13
Cách 2 : Nhân hai vế phơng trình(1) với 3, nhân hai vế phơng trình (2) với 3 ta đợc
hêj phơng trình tơng đơng với (I) :
6x+9y=-6 (1)
6x- 4y = - 10 (2)
Rút 6x từ phơng trình(1) t a đợc : 6x= -9y-6 (3)
Thay vào (2) ta đợc -13y= -4 y= 4/13
Thay y=4/13 vào (3) ta đợc x= 46/13
2
Hệ phơng trình
2. Ví dụ 2 : Giải hệ phơng trình :
10
11
5
3
=+
yx
(1)

4
3
=+
vu
9u+9v = 1
Giải ra ta tìm đợc u = 1/36 và v= 1/12
Từ 1/x= 1/36 x=36
Từ 1/y= 1/12 y = 12
* Tổng quát :
ax +by=c (1) a.a.x +a.b.y = a.c
ax+by=c(2) a.ax +a.b.y = a.c
Trừ từng vế hai phơng trình của hệ ta đợc : (a.b-a.b)y = a.c-a.c ( *)
Nếu ab- ab = 0 và ac-ac = 0 thì (*) có vô số nghiệm => hệ vô số nghiệm
Nếu ab-ab =0 và ac-ac 0 thì (*) vô nghiệm => Hệ vô nghiệm
Nếu ab-ab 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất : x=
baab
bccb
''
''


y=
baab
acca
''
''


3. ví dụ 3: Giải hệ phơng trình: x+y=1 (1)
x

=−
yx
b)
1)31(5
=+−
yx

23
=+
yx

15)31(
=+−
yx
Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
a) 6(x+y) =8+5x-3y b) (x-1)(y-2)=(x+1)(y-3)
5(y-x) =5+3x +2y (x-5)(y+4)=(x-4)(y+1)
B i 5à : Giải hệ ph¬ng tr×nh
a) x-y+2 = 0 b) x-3y-1 =0
2x
2
-3y
2
+5x-2y+7=0 x
2
-8y
2
+2(3y+1) +5 =0
Bµi 6 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh


a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m=2
b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Bµi 9: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx+2y=m+2
(2m-1)x+(m+1)y=2(m+1)
4
Hệ phơng trình
a) Giải hệ phơng trình với m=3
b) Tìm giái trị của m dể hệ phơng trình có nghiệm
Bài 10: Giải hệ phơng trình; 4x
2
+y
2
+ 4xy=4
x
2
+ y
2
-2(xy+8)=0
Bài 11: Cho hệ phơng trình
3x-4y=10 (I) mx+y=8-5n (II)
4x-y=9 6x+(2n-3m)y=16
a) Giải hệ phơng trình (I)
b) Tìm m,n để hệ phơng trình (I) tơng đơng với hệ phơng trình (II)
Bài 12: Cho hệ phơng trình -2mx+y=4
2x+my=2
a) Giải hệ phơng trình với m=2
b) Tính các giá trị x;y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S= x+y đạt giá trị lớn
nhất.
5