Phần 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước
và của toàn dân. Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài. Giáo dục cần đào tạo đội ngũ có năng lực hành động,
tính năng động, sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm cũng như năng lực cộng tác
làm việc, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp. Định hướng quan trọng trong
đổi mới phương pháp dạy học là phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát
triển năng lực hành động, năng lực cộng tác làm việc của người học. Đó cũng là
những xu hướng quốc tế trong cải cách phương pháp dạy học ở nhà trường phổ
thông.
Môn Toán là môn học không thể thiếu được ở cấp học phổ thông; các kiến
thức và phương pháp toán học là một công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các
môn học khác và hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Hơn thế nữa, học
toán còn là cơ hội tốt nhất để người học phát triển các năng lực trí tuệ.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tại trường THCS Bảo Nhai, tôi thấy còn
nhiều HS với khả năng giải toán còn hạn chế, đặc biệt với phân môn hình học,
khả năng vận dụng kiến thức lý thuyết vào giải bài toán còn chưa tốt. Càng khó
hơn với HS lớp 7 khi mới làm quen với bài toán chứng minh, khả năng nhận
dạng yêu cầu bài toán còn chưa thành thạo thì dạng toán chứng minh ba điểm
thẳng hàng là một dạng toán khó, đòi hỏi HS cần có kiến thức cơ bản của phân
môn hình học kết hợp với khả năng lập luận logic.
Với mong muốn rèn kỹ năng suy luận cho HS, giúp HS nhận thức tốt hơn,
yêu thích hơn với phân môn hình học, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 7 nói riêng, chất lượng mũi nhọn của trường THCS Bảo Nhai nói
chung, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 7 một số
phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – môn hình học lớp 7 tại
trường THCS Bảo Nhai”.
Phần 2. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN ÁP DỤNG
1. Phạm vi áp dụng: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7.
2. Thời gian áp dụng: Năm học 2014 – 2015.
1


SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

1

11,1

6

A. Kiến thức cơ bản
1. Khái niệm ba điểm thẳng hàng
A
C

B

Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng.
2. Tính chất của ba điểm thẳng hàng
Với ba điểm A, B, C thẳng hàng:
- A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.
- AC + CB = AB (Điểm C nằm giữa hai đểm A và B).
-

ACB  1800 .

3. Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Yêu cầu: Chứng minh ba điểm A, C, B thẳng hàng.
A
C

B

 Phương pháp 1.
Vận dụng mối quan hệ giữa hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh để giải bài toán
chứng minh ba điểm thẳng hàng. Với phương pháp này, bài toán chứng minh ba
điểm thẳng hàng được chia hai dạng:
 Dạng 1.
- Nếu ACD  DCB  1800 thì suy ra A, C, B thẳng hàng.
D


B

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 1: giả thiết bài toán cho
nhiều dữ kiện về góc (các góc kề bù, bằng nhau hay số đo của một số góc trong
hình).
 Phương pháp 2. Vận dụng tính chất cộng đoạn thẳng
Nếu AC + CB = AB thì điểm C nằm giữa hai điểm A và B.
Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 2: giả thiết bài toán
không hoặc ít các dữ kiện về góc mà chủ yếu là các đoạn thẳng hay biểu thức
liên hệ giữa độ dài các đoạn thẳng,
 Phương pháp 3. Chứng minh ba điểm cùng nằm trên 1 tia, 1 đường thẳng
có tính duy nhất như: đường thẳng đi qua 1 điểm và song song hoặc vuông góc
với đường thẳng cho trước, là tia phân giác của một góc hay là đường trung trực
của một đoạn thẳng.
Chẳng hạn: AC, AB cùng song song với đường thẳng xy. Theo tiên đề Ơ
Clit suy ra ba điểm A, C, B thẳng hàng.
4


x

y

A
C

B

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 3: giả thiết bài toán ít có

học tốt.
5


B. Một số bài toán cụ thể
Điều quan trọng nhất trong quá trình giải toán là phân tích được yêu cầu bài
toán, nhận biết dạng toán và phương pháp giải. Tôi đã hướng dẫn HS một số bài
toán điển hình, thường gặp với từng phương pháp và cách gợi ý, hướng dẫn HS
giải bài tập dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1. (Phương pháp 1 – Dạng 1)
Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa mặt
phẳng đối nhau bờ AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho Ax // By. Trên tia Ax lấy hai
điểm C và E (E nằm giữa A và C), trên tia By lấy hai điểm D và F sao cho BD =
AC, BF = AE. Chứng minh rằng: Ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Từ yêu cầu bài toán, HS không gặp khó khăn để vẽ hình chính xác. Từ hình
vẽ, HS chỉ ra được hai tam giác bằng nhau: AOC  BOD(c.g.c) suy ra

AOC  BOD . Mặt khác, AOC  BOC  1800 nên BOC  BOD  1800 hay ba
điểm C, O, D thẳng hàng. Hoặc suy luận: với dạng bài 1 này, điều kiện đã cho
A, O, B thẳng hàng. Để chứng minh C, O, D cũng thẳng hàng thì HS cần chỉ ra

AOC  BOD .
Giải
x

C

E

B

ABC , E là một điểm trên cạnh AB sao cho ACE  ACB .
3
3

BD và CE cắt nhau tại F; I và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ
F đến BC và AC. Vẽ các điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là
trung điểm của FH. Chứng minh rằng ba điểm H, D, G thẳng hàng.
Từ giả thiết bài toán, ta nhận thấy để giải bài toán dạng này cần sử dụng

1
đến số đo các góc được suy ra từ A  900 , BC= 2AB, ACE  ACB ,
3
1
ABD  ABC nên sử dụng phương pháp 1 – dạng 2.)
3
Giải
G
B

I

E

F

A

K

C

 Nhận xét: Từ giả thiết bài toán có thể tính số đo nhiều góc, HS khó có thể
xác định được các góc cần thiết để có lời giải. Vì thế GV cần hướng dẫn HS sử
dụng phương pháp suy ngược và định hướng HS xét các góc liên quan đến 3
điểm cần chứng minh thẳng hàng.
Bài 3 (Phương pháp 2)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC
và CD. Chứng minh rằng nếu MN 

AD  BC
thì M, I, N thẳng hàng.
2

Bài toán dạng bài 3, giả thiết bài toán chỉ cho mối liên quan giữa độ dài
các đoạn thẳng nên HS có thể loại trừ phương pháp 1, định hướng chứng minh
theo phương pháp 2. Bài toán yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng trong
trường hợp đặc biệt của độ dài đoạn MN nên để tổng quát hóa bài toán cần vẽ
hình không trùng với trường hợp đặc biệt.
8


Giải
A
M
B
I

C
D

Giả sử MN 

nhau. Bài toán không cho cụ thể số đo góc và độ dài đoạn thẳng nào nên loại trừ
phương pháp 1 và phương pháp 2. Song từ các cạnh bằng nhau, dễ dàng chỉ ra
9


các tam giác cân với các góc kề đáy bằng nhau nên phương pháp được sử dụng
trong bài là chỉ ra M, N cùng nằm trên tia phân giác của xOy – phương pháp 3.
Giải
x

A
N
M
O

Xét ∆OMA và ∆OMB có:

B

y

Hình 1

Cạnh OM chung
MA = MB (gt)
OA = OB (gt)
 ∆OMA = ∆AMB (c.c.c)
 AOM  BOM hay OM là tia phân giác của AOB . (1)
Tương tự ta dễ dàng chứng minh được ∆ONA = ∆ONB (c.c.c)
 AON  BON hay ON là tia phân giác của AOB . (2)


Hình 2
MB = MD (gt)

AMD  BMC (Hai góc đối đỉnh)
MA = MC (gt)
 ∆MBC = ∆MDA (c.g.c)
 AD = BC và MCB  MAD
 AD // BC.
CM tương tự

∆NBC = ∆NAE (c.g.c)

 AE = BC và NBC  NAE
 AE // BC.
Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng BC có hai đường thẳng AD và AE cùng
song song với BC nên theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, ta có ba
điểm A, E, D thẳng hàng.
Lại có AD = AE (cùng bằng BC – chứng minh trên) nên A là trung điểm của
đoạn DE. (□)

 Nhận xét: Bài toán có dạng tương tự bài 5 - chứng minh một điểm là trung
điểm của 1 đoạn thẳng - HS thường để sót điều kiện ba điểm đó phải thẳng hàng
nên không định hướng được phương pháp cần chứng minh.
11


Với bài toán dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng cần vận dụng phương
pháp 3 vào lập luận, yêu cầu bài toán rất đa dạng vì có nhiều tia, đường thẳng có
tính duy nhất. Nên tôi đưa ra hai bài toán cơ bản và thường gặp khi ôn luyện đội

Theo giả thiết bài toán, không cho một hình vẽ hay số đo góc, cạnh cụ thể
nên định hướng HS dùng phương pháp phản chứng suy ra điều vô lý.
12


Giải
Giả sử tất cả các điểm không cùng nằm trên một đường thẳng.
Qua mỗi cặp điểm đã cho vẽ một đường thẳng và chọn khoảng cách khác
0 từ các điểm đã cho đến các đường thẳng này.
A
D

C

B

Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là khoảng cách nhỏ
nhất (trong đó A, B, C là các điểm đã cho). Trên đường thẳng BC còn có một
điểm D nào đó.
A

B

K

H

C

D

Bước 4. Dùng kiến thức đã học kết hợp với lập luận logic theo định hướng
của bước 3 trình bày lời giải của bài toán.
Bước 5. Rút ra bài học kinh nghiệm cho bản thân sau mỗi bài toán.
Sau thời gian tự học, tôi tổ chức học buổi 2 để HS chia sẻ ý kiến về lựa chọn
phương pháp giải và cách trình bày lời giải phù hợp với từng bài toán giữa các
HS và chia sẻ với GV. Kết thúc buổi học, GV nhận xét kết quả hoạt động của
HS rồi đưa ra lời giải đúng.
Phần 5. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Để đánh giá kết quả sau thời gian ôn tập, chú trọng hướng dẫn phương
pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học lớp 7 với đối tượng HS
giỏi, tôi tiến hành khảo sát lần 2 với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Đề bài 2: Cho góc xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B
và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao
cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy . Chứng minh ba
điểm O, A, D thẳng hàng.
Kết quả đạt được như sau:
Tổng số HS
9

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

SL


0

0

0

0

So với kết quả khảo sát lần 1 (khi chưa hướng dẫn HS cụ thể các phương
pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng) đã có nhiều tiến bộ, tỉ lệ HS khá, giỏi
14


tăng lên: Giỏi đạt 33,3%, Khá đạt 55,6%; không có HS có điểm yếu, kém. HS đã
có định hướng đúng khi lựa chọn phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Tuy nhiên bài giải của HS vẫn còn một số hạn chế: lập luận bài toán chưa
chặt chẽ và có tính thuyết phục, chưa khái quát hóa được bài toán nên mất nhiều
thời gian cho việc phân tích đề bài và lựa chọn phương pháp phù hợp chứng
minh ba điểm thẳng hàng.
Tôi tiếp tục áp dụng và đẩy mạnh các biện pháp hướng dẫn HS chứng
minh hình học và chứng minh ba điểm thẳng hàng trên lớp cũng như chú trọng
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi buổi chiều, tôi nhận thấy thái độ học tập và khả
năng nhận thức của HS với phân môn hình học nói chung, dạng toán chứng
minh ba điểm thẳng hàng nói riêng đã có những tiến bộ rõ rệt. Tôi tiến hành
khảo sát chất lượng của HS lần 3 vào tháng 12/2014 với dạng toán chứng minh
ba điểm thẳng hàng.
Đề bài 3. Cho tam giác ABC, B  1200 , hai đường phân giác BD, CE. Tia
phân giác góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng:
a. ADF  BDF


SL

%

6

66,7

3

33,3

0

0

0

0

0

0

Kết quả cho thấy tỉ lệ HS có khả năng chứng minh mình hình học tốt, đạt
điểm khá, giỏi 100%, tỉ lệ HS đạt điểm giỏi tăng lên rõ rệt đạt 66,7%, tăng
33,3% so với khảo sát lần 2. Đặc biệt không còn HS có điểm trung bình, yếu,
kém. Trong bài làm của HS đã có tiến bộ thể hiện qua các bước suy luận logic,
trình bày lời giải khoa học hơn. Bên cạnh đó, HS được làm quen với dạng toán

số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – môn hình học lớp 7 tại
trường THCS Bảo Nhai” mà bản thân tôi đã tích lũy được, xin được chia sẻ,
trao đổi với các bạn đồng nghiệp. Việc đưa kinh nghiệm dạy học vào thực tiễn,
kết hợp trong quá trình bồi dưỡng HS giỏi đã có những tiến bộ rõ rệt trong nhận
thức của HS về dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng nhưng với vốn kinh
16


nghiệm ít ỏi của bản thân khó có thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy, cô để kinh nghiệm dạy học của tôi được
hoàn thiện hơn trong giảng dạy và bồi dưỡng HS giỏi đạt kết quả cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Bảo Nhai, ngày 10 tháng 01 năm 2015
Người viết

Mã Thị Thu Hằng

17


Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH CẤP TRƯỜNG
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….

Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH CẤP HUYỆN