LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình của Giảng viên - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, động
viên và góp ý kiến của các giảng viên trong khoa Toán-Lý-Tin và các bạn
sinh viên lớp K52- ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trường
THPT Cò Nòi - Sơn La. Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đã
nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian,
tài liệu tham khảo của phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòng
Quan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trường
Đại học Tây Bắc. Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn sự ủng hộ giúp đỡ
quý báu của các thầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên.

Sơn La, tháng 05 năm 2015
Người thực hiện
Sinh viên: Vũ Thị Dương

1


MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khoá luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
4. Cấu trúc của khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
PHẦN 2: NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Những lý luận chung về giải toán và kĩ năng giải toán. . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


3


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khoá luận
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Chúng
ta chỉ có thể học tốt được toán khi nắm vững kiến thức và thực hành thành
thạo các dạng bài tập có liên quan.
Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó như
thế nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán. Cần thấy rõ từ
chỗ tìm được phương hướng giải toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cả
một quá trình bao gồm nhiều khâu. Từ việc nắm vững kiến thức cơ bản
về nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao
tác có tính chất kĩ thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn
và phương pháp làm việc khoa học của người giải toán.
Thứ nhất: Dù đã nắm được lý thuyết, có kĩ thuật cao, có thành thạo
trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thực
hành giải không tốt thì không thể có lời giải chính xác cho bài toán.
Thứ hai: Khi đã định hướng được lời giải thì việc trình bày, sắp xếp các
dữ kiện của lời giải như thế nào đóng vai trò hết sức quan trọng vì rất dẫn
đến sai lầm trong các phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kí
hiệu, ngôn ngữ, ... hoặc các thao tác thực hành sai trình tự lôgic.
Thứ ba: Khi rèn luyện được kĩ năng thực hành lời giải cho các bài tập
một cách thành thạo ta có thể phát huy kỹ năng làm việc độc lập sáng
tạo, một khả năng không thể thiếu được của người giải toán
Trong bộ môn toán học nói chung và bộ môn đại số lớp 10 nói riêng,
học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập về lượng giác,
thường khó khăn trong việc biến đổi các công thức lượng giác. Đặc biệt
trong chương trình lớp 10 có những công thức lượng giác mới, số lượng

5


4. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khoá luận
bao gồm 3 chương :
Chương 1: Cơ sở lý luận
Chương 2: Một số biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài
toán lượng giác cho học sinh lớp 10.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

6


PHẦN 2 : NỘI DUNG
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Những lý luận chung về giải toán và kĩ năng giải toán.
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Giải
toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã
cho và cái phải tìm. Người học toán khi đứng trước một bài toán luôn
muốn mình giải được hoặc đáp ứng được các yêu cầu của bài toán đặt ra.
Để giải một bài toán thì người giải phải trải qua rất nhiều khâu. Từ việc
nắm vững các kiến thức cơ bản của nội dung lý thuyết đến việc luyện tập
thành thạo các quy trình xây dựng bước giải. Và thực hành có hiệu quả
các thao tác có tính chất kĩ thuật trong việc giải bài tập. Điều này đòi hỏi
tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học
của người giải toán.

Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với bài toán
đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của những bài toán đã cho, thậm chí
là bài toán na ná bài toán đã cho, ... Nghĩ đến các bài toán liên quan là để
tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải của các bào toán đó.
+ Hãy tìm cách giải bài toán thông qua các ẩn phụ.
Nhiều bài toán khi đưa ra không thể giải được một cách trực tiếp mà
phải thông qua các ẩn phụ để tìm ra những mối liên hệ mới. Nhờ đó mà
giải được bài toán cần giải.
+ Tìm tòi lời giải qua xét một số trường hợp (đặc biệt, hay tương tự,...)
* Bước 3 : Thực hiện chương trình giải.
Trình bày lời giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành
một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện
các bước đó.
Để đưa ra một chương trình giải hợp lý cho bài toán không phải là dễ.
Muốn đạt được kết quả đó đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: những kiến
thức có sẵn, những thói quen suy nghĩ, sự tập trung và cả sự may mắn
nữa. Thực hiện chương trình thì dễ dàng hơn nhiều, ở đây đòi hỏi chủ yếu
là sự kiên nhẫn. Chương trình chỉ vạch ra những nét tổng quát. Chúng ta
phải đảm bảo cho những chi tiết phù hợp với những nét tổng quát đó. Do
đó, phải kiên nhẫn khảo sát lần lượt từng chi tiết một cho tới khi rõ ràng,
8


không còn những chỗ mơ hồ, có thể che dấu một sự sai lầm. Nếu đã đề ra
chương trình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại gì mà dùng một suy luận
tạm thời, có tính chất mò mẫm thông qua các yếu tố đã cho của bài toán
mà có thể đưa đến một ý đúng thì đó là điều chính đáng. Nhưng khi thực
hiện chương trình lời giải thì phải thay đổi quan điểm đó và chỉ thừa nhận
những lí do quyết định và chặt chẽ. Khi thực hiên lời giải phải nghiệm lại
mọi chi tiết, không phải mọi chi tiết của lời giải đưa ra đều đúng. Khi lập

+ Luận chứng phải hợp lôgic
3i) Lời giải phải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ xót trường hợp nào, một
chi tiết cần thiết nào.
4i) Ngôn ngữ chính xác
Đây là yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ cho tất cả các bộ môn. Việc dạy
môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
5i) Trình bày rõ ràng đảm bảo mĩ thuật.
Yêu cầu này đặt ra với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các
yếu tố ( chữ, số , hình vẽ, kí hiệu ...) trong lời giải.
6i) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong các
cách giải đã tìm được.
7i) Nghiên cứu giải các bài tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản. Yêu cầu 5i) là yêu cầu về
mặt trình bày. Yêu cầu 6i) và 7i) là yêu cầu đề cao.
1.1.3. Khái niệm kĩ năng giải toán.
Trong lĩnh vực tâm lý học có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến
kĩ năng nhưng vẫn chưa có định nghĩa nào được sử dụng duy nhất. Có thể
tóm lược một số khái niệm kĩ năng được sử dụng như sau:
+ Theo P.A.Rudich cho rằng :" Kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là
sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu để đạt được kết quả trong
một hình thức hoạt động cụ thể." Ở đây các tác giả đã quan niệm kĩ năng
là hoạt động vật chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể. Với quan niệm
như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năng vận động, những
thao tác kĩ thuật.
+ Quan điểm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc
10


hay việc thực hiện một hành động nào đó một cách có chất lượng và hiệu



kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính, bản chất của đối tượng được thử nghiệm trong thực tiễn tồn
tại trong ý thức với tư cách của hành động.
- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc
đời mà phụ thuộc vào người học thông qua chính hoạt động của họ trong
mối quan hệ của họ với cộng đồng. Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy,
học sinh gặp rất nhiều những khó khăn trong việc vận dụng những khái
niệm và kiến thức đã lĩnh hội được để giải quyết những nhiệm vụ cụ thể.
Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản
chất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữ tri thức
đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này, tri thức không biến thành
công cụ của hoạt động nhận thức và như vậy khối kiến thức mà họ có là
khô cứng không gắn với thực tiễn, không biến thành cơ sở của kĩ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật. Như
vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì
cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn hợp lý. Nói cách khác cần
lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu của
hành động.
1.1.5. Các kĩ năng giải toán.
Trong toán học, " Kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng
minh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưa
nhận được." Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng tri thức toán
học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh)
+ Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh đã nhận được .

bước: Tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện
chượng trình giải , kiểm tra nghiên cứu lời giải.
+ Kĩ năng chứng minh toán học, cụ thể khi giải các bài tập về lượng
giác là việc chứng minh một đẳng thức dựa vào các công thức đã học. Theo
Hoàng Chúng, để có kĩ năng chứng minh toán học thì học sinh cần đạt
13


được: Hình thành động cơ chứng minh, rèn luyện những hoạt động thành
phần trong chứng minh, truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh,
các phép suy luận.
+ Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều, là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm
vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần quan
trọng của tư duy toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng
biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình
thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên
tưởng thuận.
+ Kĩ năng đọc và vẽ hình đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học
sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy
ước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có thẩm mĩ.
+ Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kĩ năng toán học hoá
các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực
tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến
thức toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh
nắm được thực chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học
một cách hình thức.
+ Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thứ
liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần

Sử dụng hình thức bài tập sau mỗi bài, mỗi chương giúp học sinh luyện
tập theo mẫu, không theo mẫu , thường xuyên và theo hình thức khác nhau.

15


1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng giải toán.
Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyện
tập này có tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài
cũng như bài tập ở nhà.
* Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những yêu cầu của
bài tập được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp. Hệ thống bài tập phải
được sắp xếp từ dễ tới khó giúp học sinh phát triển các kĩ năng từ thấp
đến cao khác nhau.
* Luyện tập thường xuyên: Mỗi khái niệm được hình thành phải được
học sinh thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn
luyện kĩ năng trong triết học, trong hoạt động học ở nhà.
* Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập khác nhau: ngoài việc
sử dụng đa dạng các bài tập toán học cần phối hợp nhiều loại bài tập để
có nhiều hình thức rèn luyện kĩ năng thực hành giải như.
- Giải bằng lời
- Giải dưới dạng viết
- Giải bằng thực nghiệm.
1.3. Chức năng của bài toán đối với việc rèn luyện kĩ năng giải
toán.
Ở trường phổ thông, giải toán là một hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học. Trong
dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụ ý khác
nhau, có thể dùng để đào tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, để làm việc
với những nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, liên hệ thực tiễn ...

công thức còn ít. Khi vận dụng những kiến thức đó vào việc giải toán còn
nhiều lúng túng, chưa rèn luyện đầy đủ, thành thạo về kĩ năng thực hiện
lời giải bài toán lượng giác, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám
phá tri thức cho học sinh nên có thể dẫn tới tình trạng hời hợt, không hiểu
sâu vấn đề.
Trong thực trạng khi giải các bài tập về lương giác, học sinh còn mắc
nhiều sai lầm khi tính toán, biến đổi các công thức như biến đổi các công
thức tổng thành tích, tích thành tổng... Để khắc phục phần nào tình trạng
đó chúng tôi thấy rằng: Các giáo viên cần phải vận dụng tối đa giờ lên lớp,
17


dạy thêm nội dung này trong các giờ tự chọn, chuẩn bị một cách hệ thống
bài tập mới bổ sung cho sách giáo khoa, phải huy động mọi biện pháp để
tạo ra môi trường hoạt động tích cực giúp học sinh nắm vững kiến thức
một cách cơ bản, vững chắc.
Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứ nội dung này, chúng tôi nhận
thấy có một số thuận lợi và khó khăn sau:
- Những thuận lợi:
+ Cách trình bày diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa mới là tương
đối dễ hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
+ Số lượng bài toán là vừa phải không gây tình trạng quá tải với đa số
mà vẫn đảm bảo việc rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập.
- Những khó khăn:
+ Đối với học sinh trung học phổ thông thì lượng giác là một kiến thức
mới và khó, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhớ các công thức
lượng giác, vì thế không tránh khỏi những bỡ ngỡ khi học nội dung này.
Số tiết dành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến
thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó.
Đặc biệt là khi giải bài tập ở nội dung này, học sinh thường biến đổi sai

, với α = kπ, k ∈ Z
sin α
*Các tính chất : Với k ∈ Z
sin(α + k2π) = sin α ; cos(α + k2π) = cos α;
tan(α + kπ) = tan α ; cot(α + kπ) = cot α.
1) Quan hệ giữa độ và rađian
π
1 =
rad và 1 rad =
180
0

19

180
π

0


Bảng chuyển đổi thông dụng
300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
π
π
π
π
2π
3π
5π
rađian


không xác định

6
1

π

π

√4 √3
2
3

√2 √2
3
2
2
1
√
3
√
3

2
1
1

2
1

cos2 α
2
1
1 + cos2 α =
, α = kπ + kπ, k ∈ Z
sin2 α
kπ
+ kπ, k ∈ Z
tan α. cot α = 1, α =
2
tan α =

20


2) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
2.1. Hai góc đối nhau
sin(−α) = − sin α,

tan(−α) = − tan α

cos(−α) = cos α,

cot(−α) = −cotα

2.2. Hai góc bù nhau
sin(π − α) = sin α,

tan(π − α) = − tan α


π
π
sin
+ α = cos α,
tan
+ α = − cot α
2
2
π
+ α = − sin α,
2
3) Công thức cộng cung
cos

cot

π
+ α = tan α
2

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b;
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b;
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a;
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a;

21


tan a + tan b
;

2
1 − cos 2a
sin2 a =
;
2
1
cos3 a = (cos 3a + 3 cos a);
4
1
sin3 a = (3 sin a − sin 3a);
4
1 − cos 2a
2
tan a =
1 + cos 2a

cos2 a =

22


6) Công thức tính theo tan
2t
;
sin x =
1 + t2

x
=t
2

cos
;
2
2
a−b
a+b
sin
;
cos a − cos b = −2 sin
2
2
sin(a + b)
tan a + tan b =
;
cos a cos b
sin(a − b)
tan a − tan b =
;
cos a cos b
sin a − sin b = 2 cos

8) Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)];
2
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)];
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)];

Biện pháp đưa ra nhằm tăng cường khả năng nhận thức, xử lý tình
huống, khắc sâu kiến thức từ việc luyện tập thành thạo các bài tập mang
tính chất củng cố lý thuyết.
Như vậy kĩ năng thực hành có thể rèn luyện cho học sinh khi áp dụng
biện pháp này là:
24


+ Xác định được dấu của các giá trị lượng giác của cung lượng giác α.
Việc xác định giá trị lượng giác của các cung có cùng chu kì.
+ Kĩ năng phân tích: Kĩ năng phân tích các cung lượng giác không đặc
biệt về các cung lượng giác đặc biệt có cùng chu kì để tính toán.
+ Kĩ năng chuyển hoá quan hệ tương đương.
+ Kĩ năng tính toán
c) Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Tính sin 10200 ; cos 4950 ; tan

23π
23π
; cot
4
6

Thực hành giải
+)Trước tiên cần hướng dẫn cho học sinh phân tích số đo các cung thành
một số nguyên lần 3600 hoặc một số nguyên lần π tuỳ vào từng trường
hợp. Sau đó sử dụng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
và bảng giá trị lượng giác của cung đặc biệt để tính
+) sin 10200 = sin(3000 + 2.3600 )√= sin 3000 = sin(−600 + 3600 )

π
= −1
4

23π
6

= − tan

= cot

5π
+ 3π
6

= cot

√
π
=− 3
3

25

5π
π π
= cot
+
6
3 2